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Lotfußpunktverfahren

Das Lotfußpunktverfahren ist ein Verfahren in der analytischen Geometrie zur Berechnung des Abstandes dd eines Punktes PP zu einer Geraden gg.

Ebenso kann der Abstand eines Punktes PP zu einer Ebene EE berechnet werden.

Das Verfahren wird verwendet, wenn neben dem kürzesten Abstand dd des Punktes PP auch der sogenannte Lotfußpunkt FF gesucht ist.

Lot auf Gerade g

Lot von P auf die Gerade g

Im Zweidimensionalen R2\mathbb{R}^2

Berechnung des Lotfußpunktes F und des Abstandes d eines Punktes P von einer Geraden g

Gegeben sind der Punkt P(4∣1)P(4|1) und die Gerade g:  X⃗=(21)+r⋅(2−1)g:\;\vec X=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 2 \\-1 \end{pmatrix}

Berechne den Lotfußpunkt FF und den Abstand dd des Punktes PP zur Geraden gg.

Lotgerade h

Lösung:

1. Lotgerade

Man erstellt die Gleichung einer Geraden hh (Lotgerade) in Normalenform, die senkrecht (orthogonal) zur Geraden gg ist und durch den Punkt PP verläuft.

Der Richtungsvektor u⃗=(2−1)\vec{u}=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix} der Geraden gg ist der Normalenvektor n⃗\vec n der Lotgeraden hh.

h:  (X⃗−P⃗)∘u⃗\displaystyle h:\;\left(\vec X-\vec P\right)\circ \vec u==0\displaystyle 0
↓

Setze den Punkt PP und den Richtungsvektor u⃗\vec u ein.

h:  (X⃗−(41))∘(2−1)\displaystyle h:\;\left(\vec X-\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}==0\displaystyle 0

2. Schnittpunktsberechnung

Setze gg in hh ein:

  h:  (X⃗−(41))∘(2−1)\displaystyle \;h:\;\left(\textcolor{ff6600}{\vec X}-\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}==0\displaystyle 0
↓

Setze für X⃗\textcolor{ff6600}{\vec{X}} die Geradengleichung gg mit g:  X⃗=(21)+r⋅(2−1)g:\;\vec X=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 2 \\-1 \end{pmatrix} ein.

((21)+r⋅(2−1)−(41))∘(2−1)\displaystyle \left(\textcolor{ff6600}{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 2 \\-1 \end{pmatrix}} -\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}==0\displaystyle 0
↓

Berechne die Vektordifferenz (21)−(41)\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 \\1 \end{pmatrix} in der ersten Klammer.

((−20)+r⋅(2−1))∘(2−1)\displaystyle \left(\begin{pmatrix}-2\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 2 \\-1 \end{pmatrix} \right)\textcolor{009999}{\circ \begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}==0\displaystyle 0
↓

Löse die Klammer auf, in dem du das Skalarprodukt aus (2−1)\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix} und den Summanden in der Klammer bildest.

(−20)∘(2−1)+r⋅(2−1)∘(2−1)\displaystyle \begin{pmatrix}-2\\0\end{pmatrix}\textcolor{009999}{\circ \begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}+r\cdot\begin{pmatrix} 2 \\-1 \end{pmatrix} \textcolor{009999}{\circ \begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}==0\displaystyle 0
↓

Berechne die Skalarprodukte.

−4+r⋅(4+1)\displaystyle -4+r\cdot(4+1)==0\displaystyle 0+4\displaystyle +4
↓

Löse nach rr auf.

5r\displaystyle 5r==4\displaystyle 4:5\displaystyle :5
r\displaystyle r==45\displaystyle \dfrac{4}{5}

Setze r=45r=\dfrac{4}{5} in die Geradengleichung ein, um den Lotfußpunkt FF zu berechnen.

F⃗\displaystyle \vec{F}==(21)+r⋅(2−1)\displaystyle \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 2 \\-1 \end{pmatrix}
↓

Setze r=45r=\dfrac{4}{5} ein.

==(21)+45⋅(2−1)\displaystyle \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}+\dfrac{4}{5} \cdot\begin{pmatrix} 2 \\-1 \end{pmatrix}
↓

Multipliziere auf der rechten Seite aus.

==(21)+(85−45)\displaystyle \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} \dfrac{8}{5} \\-\dfrac{4}{5} \end{pmatrix}
↓

Fasse zusammen.

==(2+851−45)\displaystyle \begin{pmatrix}2+\dfrac{8}{5}\\[2ex]1-\dfrac{4}{5}\end{pmatrix}
==(18515)\displaystyle \begin{pmatrix}\dfrac{18}{5}\\[2ex]\dfrac{1}{5}\end{pmatrix}

Der Lotfußpunkt FF hat die Koordinaten: F(185∣15) F\left(\dfrac{18}{5}\Big\vert \dfrac{1}{5}\right).

Berechne den Vektor PF→=F⃗−P⃗=(18515)−(41)=(−25−45) \overrightarrow{PF}=\vec F-\vec P=\begin{pmatrix}\dfrac{18}{5}\\[2ex]\dfrac{1}{5}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{2}{5}\\[2ex]-\dfrac{4}{5}\end{pmatrix}.

Der gesuchte Abstand dd ist dann:

d\displaystyle d==∣PF→∣\displaystyle \left|\overrightarrow{PF}\right|
==∣(−25−45)∣\displaystyle \left|\begin{pmatrix}-\dfrac{2}{5}\\[2ex]-\dfrac{4}{5}\end{pmatrix}\right|
==(−25)2+(−45)2\displaystyle \sqrt{\left(-\dfrac{2}{5}\right)^2+\left(-\dfrac{4}{5}\right)^2}
==425+1625\displaystyle \sqrt{\dfrac{4}{25}+\dfrac{16}{25}}
==2025\displaystyle \sqrt{\dfrac{20}{25}}
==255\displaystyle \dfrac{2}{5}\sqrt{5}
≈≈0,89\displaystyle 0{,}89

Der Punkt PP hat von der Geraden gg etwa den Abstand 0,89  LE0{,}89\; \text{LE}.

Im Dreidimensionalen R3\mathbb{R}^3

Berechnung des Lotfußpunktes F und des Abstandes d eines Punktes P von einer Geraden g

Vorgehensweise anhand eines Beispiels

Gegeben sind der Punkt P(5∣2∣3)P(5|2|3) und die Gerade g:  X⃗=(101)+r⋅(122)g:\;\vec X=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 1 \\2\\2 \end{pmatrix} .

Berechne den Lotfußpunkt FF und den Abstand dd des Punktes PP zur Geraden gg.

Lotebene H

Lösung:

1. Lotebene

Man erstellt die Gleichung einer Lotebene HH in Normalenform, die senkrecht (orthogonal) zur Geraden gg ist und durch den Punkt PP verläuft.

Der Richtungsvektor u⃗=(122)\vec{u}=\begin{pmatrix} 1 \\2\\2 \end{pmatrix} der Geraden gg ist der Normalenvektor der Lotebene HH.

H:  (X⃗−P⃗)∘u⃗\displaystyle H:\;\left(\vec X-\vec P\right)\circ \vec u==0\displaystyle 0
↓

Setze den Punkt PP und den Richtungsvektor u⃗\vec u ein.

H:  (X⃗−(523))∘(122)\displaystyle H:\;\left(\vec X-\begin{pmatrix}5\\2\\3\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}==0\displaystyle 0

2. Schnittpunktsberechnung

Setze gg in HH ein:

  H:  (X⃗−(523))∘(122)\displaystyle \;H:\;\left(\vec X-\begin{pmatrix}5\\2\\3\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}==0\displaystyle 0
↓

Setze für X⃗\textcolor{ff6600}{\vec X} die Geradengleichung gg mit g:  X⃗=(101)+r⋅(122)g:\;\vec X=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 1 \\2\\2 \end{pmatrix} ein.

((101)+r⋅(122)−(523))∘(122)\displaystyle \left(\textcolor{ff6600}{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 1 \\2\\2 \end{pmatrix}} -\begin{pmatrix}5\\2\\3\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}==0\displaystyle 0
↓

Berechne die Vektordifferenz (101)−(523)\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 5 \\2\\3 \end{pmatrix} in der ersten Klammer.

((−4−2−2)+r⋅(122))∘(122)\displaystyle \left(\begin{pmatrix}-4\\-2\\-2\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 1 \\2\\2 \end{pmatrix} \right)\textcolor{009999}{\circ \begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}}==0\displaystyle 0
↓

Löse die Klammer auf, in dem du das Skalarprodukt aus (122)\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix} und den Summanden in der Klammer bildest.

(−4−2−2)∘(122)+r⋅(122)∘(122)\displaystyle \begin{pmatrix}-4\\-2\\-2\end{pmatrix}\textcolor{009999}{\circ \begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}}+r\cdot\begin{pmatrix} 1 \\2\\2 \end{pmatrix} \textcolor{009999}{\circ \begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}}==0\displaystyle 0
↓

Berechne die Skalarprodukte.

(−4−4−4)+r⋅(1+4+4)\displaystyle (-4-4-4)+r\cdot(1+4+4)==0\displaystyle 0
↓

Fasse zusammen.

−12+9⋅r\displaystyle -12+9\cdot r==0\displaystyle 0+12\displaystyle +12
↓

Löse nach rr auf.

9⋅r\displaystyle 9\cdot r==12\displaystyle 12:9\displaystyle :9
r\displaystyle r==129\displaystyle \dfrac{12}{9}
↓

Kürze.

r\displaystyle r==43\displaystyle \dfrac{4}{3}

Setze r=43r=\dfrac{4}{3} in die Geradengleichung ein, um den Lotfußpunkt FF zu berechnen.

F⃗\displaystyle \vec F==(101)+r⋅(122)\displaystyle \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+ r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}
↓

Setze r=43r=\dfrac{4}{3} ein.

==(101)+43⋅(122)\displaystyle \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+ \dfrac{4}{3}\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}
↓

Fasse zusammen.

==(1+4⋅130+4⋅231+4⋅23)\displaystyle \begin{pmatrix}1+\dfrac{4\cdot 1}{3}\\[2ex]0+\dfrac{4\cdot 2}{3}\\[2ex]1+\dfrac{4\cdot 2}{3}\end{pmatrix}
↓

Vereinfache.

==(7383113)\displaystyle \begin{pmatrix}\dfrac{7}{3}\\[2ex]\dfrac{8}{3}\\[2ex]\dfrac{11}{3}\end{pmatrix}

Der Lotfußpunkt FF hat die Koordinaten: F(73∣83∣113) F\left(\dfrac{7}{3}\Big\vert \dfrac{8}{3}\Big\vert\dfrac{11}{3}\right).

Berechne den Vektor PF→=F⃗−P⃗=(7383113)−(523)=(−832323) \overrightarrow{PF}=\vec F-\vec P=\begin{pmatrix}\dfrac{7}{3}\\[2ex]\dfrac{8}{3}\\[2ex]\dfrac{11}{3}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{8}{3}\\[2ex]\dfrac{2}{3}\\[2ex]\dfrac{2}{3}\end{pmatrix}.

Der gesuchte Abstand dd ist dann:

d=∣PF→∣=∣(−832323)∣d=\left|\overrightarrow{PF}\right|=\left|\begin{pmatrix}-\dfrac{8}{3}\\[2ex]\dfrac{2}{3}\\[2ex]\dfrac{2}{3}\end{pmatrix}\right|

d\displaystyle d==(−83)2+(23)2+(23)2\displaystyle \sqrt{\left(-\dfrac{8}{3}\right)^2+\left(\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(\dfrac{2}{3}\right)^2}
↓

Berechne die Quadrate.

==649+49+49\displaystyle \sqrt{\dfrac{64}{9}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9}}
↓

Fasse zusammen.

==729\displaystyle \sqrt{\dfrac{72} {9}}
↓

Ziehe die Wurzel

==2⋅3⋅23\displaystyle \dfrac{2\cdot 3\cdot\sqrt{2}} {3}
↓

Kürze.

==2⋅2\displaystyle 2\cdot\sqrt{2}
≈≈2,83\displaystyle 2{,}83

Der Punkt PP hat von der Geraden gg etwa den Abstand 2,83  LE2{,}83\; \text{LE}.

Lotfußpunkt F und Abstand d eines Punktes P von einer Ebene E

Vorgehensweise anhand eines Beispiels

Gegeben sind der Punkt P(1∣0∣4)P(1|0|4) und die Ebene E:  X⃗∘(110)=2E:\; \vec X\circ \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=2.

Berechne den Lotfußpunkt FF und den Abstand dd des Punktes PP zur Ebene EE.

Falls die Ebene in einer anderen Form vorliegt, sollte zuerst die Umformung in die Normalenform erfolgen.

Lotebene

Lösung:

1. Lotgerade

Man erstellt die Gleichung einer Geraden hh (Lotgerade) in Parameterform, die senkrecht (orthogonal) zur Ebene EE ist und durch den Punkt PP verläuft.

Dabei ist der Punkt PP der Aufpunkt der Lotgeraden hh. Der Normalenvektor n⃗\vec{n} der Ebene EE ist der Richtungsvektor der Lotgeraden hh.

h:  X⃗\displaystyle h:\;\vec X==P⃗+r⋅n⃗\displaystyle \vec P+r\cdot \vec n
↓

Setze den Punkt PP und den Vektor n⃗\vec n ein.

h:  X⃗\displaystyle h:\;\vec X==(104)+r⋅(110)\displaystyle \begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}+ r\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}

2. Schnittpunktsberechnung

Der Schnittpunkt FF (Lotfußpunkt) zwischen der Geraden hh und der Ebene EE wird berechnet. Setze hh in EE ein und löse nach rr auf.

E:  X⃗∘(110)\displaystyle E:\; \vec X\circ \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}==2\displaystyle 2
↓

Setze für X⃗\textcolor{ff6600}{\vec X} die Geradengleichung hh mit h:  X⃗=(104)+r⋅(110)h:\;\vec X=\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}+ r\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} ein.

((104)+r⋅(110))∘(110)\displaystyle \left(\textcolor{ff6600}{\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}+ r\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}\right)\circ\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}==2\displaystyle 2
↓

Löse die Klammer auf, in dem du das Skalarprodukt aus (110)\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} und den Summanden in der Klammer bildest.

(104)∘(110)+r⋅(110)∘(110)\displaystyle \begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}\textcolor{009999}{\circ\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}+ r\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\textcolor{009999}{\circ\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}==2\displaystyle 2
↓

Berechne die Skalarprodukte.

(1+0+0)+r⋅(1+1+0)\displaystyle (1+0+0)+r\cdot(1+1+0)==2\displaystyle 2
↓

Fasse zusammen.

1+2⋅r\displaystyle 1+2\cdot r==2\displaystyle 2−1\displaystyle -1
↓

Löse nach rr auf.

2⋅r\displaystyle 2\cdot r==1\displaystyle 1:2\displaystyle :2
r\displaystyle r==12\displaystyle \dfrac{1}{2}

Setze r=12r=\dfrac{1}{2} in die Geradengleichung hh ein, um den Lotfußpunkt FF zu berechnen.

F⃗\displaystyle \vec{F}==(104)+r⋅(110)\displaystyle \begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}+ r\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}
↓

Setze r=12r=\dfrac{1}{2} ein.

==(104)+12⋅(110)\displaystyle \begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}+ \dfrac{1}{2}\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}
↓

Fasse zusammen.

==(1+120+124+0)\displaystyle \begin{pmatrix}1+\dfrac{1}{2}\\[2ex]0+\dfrac{1}{2}\\[2ex]4+0\end{pmatrix}
↓

Vereinfache.

==(32124)\displaystyle \begin{pmatrix}\dfrac{3}{2}\\[2ex]\dfrac{1}{2}\\[2ex]4\end{pmatrix}

Der Lotfußpunkt FF hat die Koordinaten: F(32∣12∣4) F\left(\dfrac{3}{2}\Big\vert \dfrac{1}{2}\Big\vert4\right).

Berechne den Vektor PF→ \overrightarrow{PF}:

Es ist F⃗=P⃗+12⋅(110)  ⇒  PF→=F⃗−P⃗=(12120)\vec{F}=\vec{P}+\dfrac{1}{2} \cdot\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\overrightarrow{PF}=\vec{F}-\vec{P}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}\\[2ex]\dfrac{1}{2}\\[2ex]0\end{pmatrix}

Der gesuchte Abstand dd ist dann:

d=∣PF→∣=∣(12120)∣d=\left|\overrightarrow{PF}\right|=\left|\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}\\[2ex]\dfrac{1}{2}\\[2ex]0\end{pmatrix}\right|

d\displaystyle d==(12)2+(12)2+02\displaystyle \sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+0^2}
↓

Berechne die Quadrate.

==14+14+0\displaystyle \sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+0}
↓

Fasse zusammen.

==24\displaystyle \sqrt{\dfrac{2} {4}}
↓

Ziehe die Wurzel

==22\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}} {2}
≈≈0,71\displaystyle 0{,}71

Der Punkt PP hat von der Ebene EE etwa den Abstand 0,71  LE0{,}71\; \text{LE}.

MerkeAbstand d

Der gesuchte Abstand dd des Punktes PP von der Geraden gg oder von einer Ebene EE ist der Betrag des Vektors PF→\overrightarrow{PF}:

Übungsaufgaben: Lotfußpunktverfahren

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zum Abstand


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