Lotfußpunktverfahren

Das Lotfußpunktverfahren ist ein Verfahren in der analytischen Geometrie zur Berechnung des Abstandes $d$ eines Punktes $P$ zu einer Geraden $g$ .

Ebenso kann der Abstand eines Punktes $P$ zu einer Ebene $E$ berechnet werden.

Das Verfahren wird verwendet, wenn neben dem kürzesten Abstand $d$ des Punktes $P$ auch der sogenannte Lotfußpunkt $F$ gesucht ist.

Lot von P auf die Gerade g

Im Zweidimensionalen $ℝ^{2}$

Berechnung des Lotfußpunktes F und des Abstandes d eines Punktes P von einer Geraden g

Gegeben sind der Punkt $P (4 | 1)$ und die Gerade $g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \end{array})$

Berechne den Lotfußpunkt $F$ und den Abstand $d$ des Punktes $P$ zur Geraden $g$ .

Lösung:

1. Lotgerade

Man erstellt die Gleichung einer Geraden $h$ (Lotgerade) in Normalenform, die senkrecht (orthogonal) zur Geraden $g$ ist und durch den Punkt $P$ verläuft.

Der Richtungsvektor $\vec{u} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \end{array})$ der Geraden $g$ ist der Normalenvektor $\vec{n}$ der Lotgeraden $h$ .

$h : (\vec{X} - \vec{P}) \circ \vec{u}$	$=$	$0$
	↓	Setze den Punkt $P$ und den Richtungsvektor $\vec{u}$ ein.
$h : (\vec{X} - (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \end{array})$	$=$	$0$

2. Schnittpunktsberechnung

Setze $g$ in $h$ ein:

$h : (\vec{X} - (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Setze für $\vec{X}$ die Geradengleichung $g$ mit $g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \end{array})$ ein.
$((\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Berechne die Vektordifferenz $(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array})$ in der ersten Klammer.
$((\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Löse die Klammer auf, in dem du das Skalarprodukt aus $(\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \end{array})$ und den Summanden in der Klammer bildest.
$(\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Berechne die Skalarprodukte.
$- 4 + r \cdot (4 + 1)$	$=$	$0$	$+ 4$
	↓	Löse nach $r$ auf.
$5 r$	$=$	$4$	$: 5$
$r$	$=$	$\frac{4}{5}$

Setze $r = \frac{4}{5}$ in die Geradengleichung ein, um den Lotfußpunkt $F$ zu berechnen.

$\vec{F}$	$=$	$(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \end{array})$
	↓	Setze $r = \frac{4}{5}$ ein.
	$=$	$(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}) + \frac{4}{5} \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \end{array})$
	↓	Multipliziere auf der rechten Seite aus.
	$=$	$(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} \frac{8}{5} \\ - \frac{4}{5} \end{array})$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$(\begin{array}{c} 2 + \frac{8}{5} \\ 1 - \frac{4}{5} \end{array})$
	$=$	$(\begin{array}{c} \frac{18}{5} \\ \frac{1}{5} \end{array})$

Der Lotfußpunkt $F$ hat die Koordinaten: $F (\frac{18}{5} | \frac{1}{5})$ .

Berechne den Vektor $\vec{P F} = \vec{F} - \vec{P} = (\begin{array}{c} \frac{18}{5} \\ \frac{1}{5} \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - \frac{2}{5} \\ - \frac{4}{5} \end{array})$ .

Der gesuchte Abstand $d$ ist dann:

$d$	$=$	$\| \vec{P F} \|$
	$=$	$\| (\begin{array}{c} - \frac{2}{5} \\ - \frac{4}{5} \end{array}) \|$
	$=$	$\sqrt{{(- \frac{2}{5})}^{2} + {(- \frac{4}{5})}^{2}}$
	$=$	$\sqrt{\frac{4}{25} + \frac{16}{25}}$
	$=$	$\sqrt{\frac{20}{25}}$
	$=$	$\frac{2}{5} \sqrt{5}$
	$\approx$	$0,89$

Der Punkt $P$ hat von der Geraden $g$ etwa den Abstand $0,89 LE$ .

Im Dreidimensionalen $ℝ^{3}$

Berechnung des Lotfußpunktes F und des Abstandes d eines Punktes P von einer Geraden g

Vorgehensweise anhand eines Beispiels

Gegeben sind der Punkt $P (5 | 2 | 3)$ und die Gerade $g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$ .

Berechne den Lotfußpunkt $F$ und den Abstand $d$ des Punktes $P$ zur Geraden $g$ .

Lösung:

1. Lotebene

Man erstellt die Gleichung einer Lotebene $H$ in Normalenform, die senkrecht (orthogonal) zur Geraden $g$ ist und durch den Punkt $P$ verläuft.

Der Richtungsvektor $\vec{u} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$ der Geraden $g$ ist der Normalenvektor der Lotebene $H$ .

$H : (\vec{X} - \vec{P}) \circ \vec{u}$	$=$	$0$
	↓	Setze den Punkt $P$ und den Richtungsvektor $\vec{u}$ ein.
$H : (\vec{X} - (\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ 3 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$	$=$	$0$

2. Schnittpunktsberechnung

Setze $g$ in $H$ ein:

$H : (\vec{X} - (\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ 3 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Setze für $\vec{X}$ die Geradengleichung $g$ mit $g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$ ein.
$((\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ 3 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Berechne die Vektordifferenz $(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ 3 \end{array})$ in der ersten Klammer.
$((\begin{array}{c} - 4 \\ - 2 \\ - 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Löse die Klammer auf, in dem du das Skalarprodukt aus $(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$ und den Summanden in der Klammer bildest.
$(\begin{array}{c} - 4 \\ - 2 \\ - 2 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Berechne die Skalarprodukte.
$(- 4 - 4 - 4) + r \cdot (1 + 4 + 4)$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$- 12 + 9 \cdot r$	$=$	$0$	$+ 12$
	↓	Löse nach $r$ auf.
$9 \cdot r$	$=$	$12$	$: 9$
$r$	$=$	$\frac{12}{9}$
	↓	Kürze.
$r$	$=$	$\frac{4}{3}$

Setze $r = \frac{4}{3}$ in die Geradengleichung ein, um den Lotfußpunkt $F$ zu berechnen.

$\vec{F}$	$=$	$(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$
	↓	Setze $r = \frac{4}{3}$ ein.
	$=$	$(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + \frac{4}{3} \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$(\begin{array}{c} 1 + \frac{4 \cdot 1}{3} \\ 0 + \frac{4 \cdot 2}{3} \\ 1 + \frac{4 \cdot 2}{3} \end{array})$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$(\begin{array}{c} \frac{7}{3} \\ \frac{8}{3} \\ \frac{11}{3} \end{array})$

Der Lotfußpunkt $F$ hat die Koordinaten: $F (\frac{7}{3} | \frac{8}{3} | \frac{11}{3})$ .

Berechne den Vektor $\vec{P F} = \vec{F} - \vec{P} = (\begin{array}{c} \frac{7}{3} \\ \frac{8}{3} \\ \frac{11}{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} - \frac{8}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{array})$ .

Der gesuchte Abstand $d$ ist dann:

$d = | \vec{P F} | = | (\begin{array}{c} - \frac{8}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{array}) |$

$d$	$=$	$\sqrt{{(- \frac{8}{3})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$
	↓	Berechne die Quadrate.
	$=$	$\sqrt{\frac{64}{9} + \frac{4}{9} + \frac{4}{9}}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\sqrt{\frac{72}{9}}$
	↓	Ziehe die Wurzel
	$=$	$\frac{2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2}}{3}$
	↓	Kürze.
	$=$	$2 \cdot \sqrt{2}$
	$\approx$	$2,83$

Der Punkt $P$ hat von der Geraden $g$ etwa den Abstand $2,83 LE$ .

Lotfußpunkt F und Abstand d eines Punktes P von einer Ebene E

Vorgehensweise anhand eines Beispiels

Gegeben sind der Punkt $P (1 | 0 | 4)$ und die Ebene $E : \vec{X} \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) = 2$ .

Berechne den Lotfußpunkt $F$ und den Abstand $d$ des Punktes $P$ zur Ebene $E$ .

Falls die Ebene in einer anderen Form vorliegt, sollte zuerst die Umformung in die Normalenform erfolgen.

Lösung:

1. Lotgerade

Man erstellt die Gleichung einer Geraden $h$ (Lotgerade) in Parameterform, die senkrecht (orthogonal) zur Ebene $E$ ist und durch den Punkt $P$ verläuft.

Dabei ist der Punkt $P$ der Aufpunkt der Lotgeraden $h$ . Der Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene $E$ ist der Richtungsvektor der Lotgeraden $h$ .

$h : \vec{X}$	$=$	$\vec{P} + r \cdot \vec{n}$
	↓	Setze den Punkt $P$ und den Vektor $\vec{n}$ ein.
$h : \vec{X}$	$=$	$(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})$

2. Schnittpunktsberechnung

Der Schnittpunkt $F$ (Lotfußpunkt) zwischen der Geraden $h$ und der Ebene $E$ wird berechnet. Setze $h$ in $E$ ein und löse nach $r$ auf.

$E : \vec{X} \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})$	$=$	$2$
	↓	Setze für $\vec{X}$ die Geradengleichung $h$ mit $h : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})$ ein.
$((\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})$	$=$	$2$
	↓	Löse die Klammer auf, in dem du das Skalarprodukt aus $(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})$ und den Summanden in der Klammer bildest.
$(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 4 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})$	$=$	$2$
	↓	Berechne die Skalarprodukte.
$(1 + 0 + 0) + r \cdot (1 + 1 + 0)$	$=$	$2$
	↓	Fasse zusammen.
$1 + 2 \cdot r$	$=$	$2$	$- 1$
	↓	Löse nach $r$ auf.
$2 \cdot r$	$=$	$1$	$: 2$
$r$	$=$	$\frac{1}{2}$

Setze $r = \frac{1}{2}$ in die Geradengleichung $h$ ein, um den Lotfußpunkt $F$ zu berechnen.

$\vec{F}$	$=$	$(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})$
	↓	Setze $r = \frac{1}{2}$ ein.
	$=$	$(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 4 \end{array}) + \frac{1}{2} \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$(\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{2} \\ 0 + \frac{1}{2} \\ 4 + 0 \end{array})$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$(\begin{array}{c} \frac{3}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 4 \end{array})$

Der Lotfußpunkt $F$ hat die Koordinaten: $F (\frac{3}{2} | \frac{1}{2} | 4)$ .

Berechne den Vektor $\vec{P F}$ :

Es ist $\vec{F} = \vec{P} + \frac{1}{2} \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) \Rightarrow \vec{P F} = \vec{F} - \vec{P} = (\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array})$

Der gesuchte Abstand $d$ ist dann:

$d = | \vec{P F} | = | (\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array}) |$

$d$	$=$	$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + 0^{2}}$
	↓	Berechne die Quadrate.
	$=$	$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 0}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\sqrt{\frac{2}{4}}$
	↓	Ziehe die Wurzel
	$=$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$
	$\approx$	$0,71$

Der Punkt $P$ hat von der Ebene $E$ etwa den Abstand $0,71 LE$ .

MerkeAbstand d

Der gesuchte Abstand $d$ des Punktes $P$ von der Geraden $g$ oder von einer Ebene $E$ ist der Betrag des Vektors $\vec{P F}$ :

d = | \vec{P F} |

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zum Abstand

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Lotfußpunktverfahren

Im Zweidimensionalen ℝ2

Berechnung des Lotfußpunktes F und des Abstandes d eines Punktes P von einer Geraden g

Lösung:

1. Lotgerade

2. Schnittpunktsberechnung

Im Dreidimensionalen ℝ3

Berechnung des Lotfußpunktes F und des Abstandes d eines Punktes P von einer Geraden g

Vorgehensweise anhand eines Beispiels

Lösung:

1. Lotebene

2. Schnittpunktsberechnung

Lotfußpunkt F und Abstand d eines Punktes P von einer Ebene E

Vorgehensweise anhand eines Beispiels

Lösung:

1. Lotgerade

2. Schnittpunktsberechnung

Übungsaufgaben

Im Zweidimensionalen $ℝ^{2}$

Im Dreidimensionalen $ℝ^{3}$