Das Lotfußpunktverfahren ist ein Verfahren in der analytischen Geometrie zur Berechnung des Abstandes d eines Punktes P zu einer Geraden g.
Ebenso kann der Abstand eines Punktes P zu einer Ebene E berechnet werden.
Das Verfahren wird verwendet, wenn neben dem kürzesten Abstand d des Punktes P auch der sogenannte Lotfußpunkt F gesucht ist.
Im Zweidimensionalen R2
Berechnung des Lotfußpunktes F und des Abstandes d eines Punktes P von einer Geraden g
Gegeben sind der Punkt P(4∣1) und die Gerade g:X=(21)+r⋅(2−1)
Berechne den Lotfußpunkt F und den Abstand d des Punktes P zur Geraden g.
Lösung:
1. Lotgerade
Man erstellt die Gleichung einer Geraden h (Lotgerade) in Normalenform, die senkrecht (orthogonal) zur Geraden g ist und durch den Punkt P verläuft.
Der Richtungsvektor u=(2−1) der Geraden g ist der Normalenvektor n der Lotgeraden h.
h:(X−P)∘u | = | 0 | |
| ↓ | Setze den Punkt P und den Richtungsvektor u ein. |
h:(X−(41))∘(2−1) | = | 0 | |
2. Schnittpunktsberechnung
Setze g in h ein:
h:(X−(41))∘(2−1) | = | 0 | |
| ↓ | Setze für X die Geradengleichung g mit g:X=(21)+r⋅(2−1)ein. |
((21)+r⋅(2−1)−(41))∘(2−1) | = | 0 | |
| ↓ | Berechne die Vektordifferenz (21)−(41) in der ersten Klammer. |
((−20)+r⋅(2−1))∘(2−1) | = | 0 | |
| ↓ | Löse die Klammer auf, in dem du das Skalarprodukt aus (2−1) und den Summanden in der Klammer bildest. |
(−20)∘(2−1)+r⋅(2−1)∘(2−1) | = | 0 | |
| ↓ | Berechne die Skalarprodukte. |
−4+r⋅(4+1) | = | 0 | +4 |
| ↓ | Löse nach r auf. |
5r | = | 4 | :5 |
r | = | 54 | |
Setze r=54 in die Geradengleichung ein, um den Lotfußpunkt F zu berechnen.
F | = | (21)+r⋅(2−1) | |
| ↓ | Setze r=54 ein. |
| = | (21)+54⋅(2−1) | |
| ↓ | Multipliziere auf der rechten Seite aus. |
| = | (21)+58−54 | |
| ↓ | Fasse zusammen. |
| = | 2+581−54 | |
| = | 51851 | |
Der Lotfußpunkt F hat die Koordinaten: F(51851).
Berechne den Vektor PF=F−P=51851−(41)=−52−54.
Der gesuchte Abstand d ist dann:
d | = | PF | |
| = | −52−54 | |
| = | (−52)2+(−54)2 | |
| = | 254+2516 | |
| = | 2520 | |
| = | 525 | |
| ≈ | 0,89 | |
Der Punkt P hat von der Geraden g etwa den Abstand 0,89LE.
Im Dreidimensionalen R3
Berechnung des Lotfußpunktes F und des Abstandes d eines Punktes P von einer Geraden g
Vorgehensweise anhand eines Beispiels
Gegeben sind der Punkt P(5∣2∣3) und die Gerade g:X=101+r⋅122.
Berechne den Lotfußpunkt F und den Abstand d des Punktes P zur Geraden g.
Lösung:
1. Lotebene
Man erstellt die Gleichung einer Lotebene H in Normalenform, die senkrecht (orthogonal) zur Geraden g ist und durch den Punkt P verläuft.
Der Richtungsvektor u=122 der Geraden g ist der Normalenvektor der Lotebene H.
H:(X−P)∘u | = | 0 | |
| ↓ | Setze den Punkt P und den Richtungsvektor u ein. |
H:X−523∘122 | = | 0 | |
2. Schnittpunktsberechnung
Setze g in H ein:
H:X−523∘122 | = | 0 | |
| ↓ | Setze für X die Geradengleichung g mit g:X=101+r⋅122 ein. |
101+r⋅122−523∘122 | = | 0 | |
| ↓ | Berechne die Vektordifferenz 101−523 in der ersten Klammer. |
−4−2−2+r⋅122∘122 | = | 0 | |
| ↓ | Löse die Klammer auf, in dem du das Skalarprodukt aus 122 und den Summanden in der Klammer bildest. |
−4−2−2∘122+r⋅122∘122 | = | 0 | |
| ↓ | Berechne die Skalarprodukte. |
(−4−4−4)+r⋅(1+4+4) | = | 0 | |
| ↓ | Fasse zusammen. |
−12+9⋅r | = | 0 | +12 |
| ↓ | Löse nach r auf. |
9⋅r | = | 12 | :9 |
r | = | 912 | |
| ↓ | Kürze. |
r | = | 34 | |
Setze r=34 in die Geradengleichung ein, um den Lotfußpunkt F zu berechnen.
F | = | 101+r⋅122 | |
| ↓ | Setze r=34 ein. |
| = | 101+34⋅122 | |
| ↓ | Fasse zusammen. |
| = | 1+34⋅10+34⋅21+34⋅2 | |
| ↓ | Vereinfache. |
| = | 3738311 | |
Der Lotfußpunkt F hat die Koordinaten: F(3738311).
Berechne den Vektor PF=F−P=3738311−523=−383232.
Der gesuchte Abstand d ist dann:
d=PF=−383232
d | = | (−38)2+(32)2+(32)2 | |
| ↓ | Berechne die Quadrate. |
| = | 964+94+94 | |
| ↓ | Fasse zusammen. |
| = | 972 | |
| ↓ | Ziehe die Wurzel |
| = | 32⋅3⋅2 | |
| ↓ | Kürze. |
| = | 2⋅2 | |
| ≈ | 2,83 | |
Der Punkt P hat von der Geraden g etwa den Abstand 2,83LE.
Lotfußpunkt F und Abstand d eines Punktes P von einer Ebene E
Vorgehensweise anhand eines Beispiels
Gegeben sind der Punkt P(1∣0∣4) und die Ebene E:X∘110=2.
Berechne den Lotfußpunkt F und den Abstand d des Punktes P zur Ebene E.
Falls die Ebene in einer anderen Form vorliegt, sollte zuerst die Umformung in die Normalenform erfolgen.
Lösung:
1. Lotgerade
Man erstellt die Gleichung einer Geraden h (Lotgerade) in Parameterform, die senkrecht (orthogonal) zur Ebene E ist und durch den Punkt P verläuft.
Dabei ist der Punkt P der Aufpunkt der Lotgeraden h. Der Normalenvektor n der Ebene E ist der Richtungsvektor der Lotgeraden h.
h:X | = | P+r⋅n | |
| ↓ | Setze den Punkt P und den Vektor n ein. |
h:X | = | 104+r⋅110 | |
2. Schnittpunktsberechnung
Der Schnittpunkt F (Lotfußpunkt) zwischen der Geraden h und der Ebene E wird berechnet. Setze h in E ein und löse nach r auf.
E:X∘110 | = | 2 | |
| ↓ | Setze für X die Geradengleichung h mit h:X=104+r⋅110 ein. |
104+r⋅110∘110 | = | 2 | |
| ↓ | Löse die Klammer auf, in dem du das Skalarprodukt aus 110 und den Summanden in der Klammer bildest. |
104∘110+r⋅110∘110 | = | 2 | |
| ↓ | Berechne die Skalarprodukte. |
(1+0+0)+r⋅(1+1+0) | = | 2 | |
| ↓ | Fasse zusammen. |
1+2⋅r | = | 2 | −1 |
| ↓ | Löse nach r auf. |
2⋅r | = | 1 | :2 |
r | = | 21 | |
Setze r=21 in die Geradengleichung h ein, um den Lotfußpunkt F zu berechnen.
F | = | 104+r⋅110 | |
| ↓ | Setze r=21 ein. |
| = | 104+21⋅110 | |
| ↓ | Fasse zusammen. |
| = | 1+210+214+0 | |
| ↓ | Vereinfache. |
| = | 23214 | |
Der Lotfußpunkt F hat die Koordinaten: F(23214).
Berechne den Vektor PF:
Es ist F=P+21⋅110⇒PF=F−P=21210
Der gesuchte Abstand d ist dann:
d=PF=21210
d | = | (21)2+(21)2+02 | |
| ↓ | Berechne die Quadrate. |
| = | 41+41+0 | |
| ↓ | Fasse zusammen. |
| = | 42 | |
| ↓ | Ziehe die Wurzel |
| = | 22 | |
| ≈ | 0,71 | |
Der Punkt P hat von der Ebene E etwa den Abstand 0,71LE.
Übungsaufgaben: Lotfußpunktverfahren
Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zum Abstand