Aufgaben zu ggT und kgV

5 und 25

Bestimme das kgV von 5 und 25 als Produkt von 5 und 25 geteilt durch $\mathrm{ggT}(\mathrm{5,25})\backslash operatorname\{ggT\}(5\{,\}25)$.

Nutze dabei, dass der ggT von 25 und 5 gleich 5 ist. Dies gilt, da $25=5^{2}25=5^2$ ist.

$\mathrm{kgV}(\mathrm{5,25})=\frac{5\cdot 25}{\mathrm{ggT}(\mathrm{5,25})}=\frac{5\cdot 25}{5}=25\backslash operatorname\{kgV\}(5\{,\}25)=\backslash frac\{5\backslash cdot25\}\{\backslash operatorname\{ggT\}(5\{,\}25)\}=\backslash frac\{5\backslash cdot25\}5=25$

14, 7, 25

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung

$77$ ist eine Primzahl.

$14=2\cdot 714=2\backslash cdot7$

$25=5\cdot 525=5\backslash cdot5$

Bestimme für das kgV die höchsten vorkommenden Potenzen aller Primfaktoren.

Primzahl $22$ hat Vielfachheit 1, $55$ hat Vielfachheit 2 und $77$ hat Vielfachheit 1.

Somit gilt: $\mathrm{kgV}(\mathrm{14,7},25)=2\cdot 5^2\cdot 7=350.\backslash operatorname\{kgV\}(14\{,\}7,25)=2\backslash cdot5^2\backslash cdot7=350.$

15, 22, 121

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.

$15=3\cdot 515=3\backslash cdot5$

$22=2\cdot 1122=2\backslash cdot11$

$121={11}^{2}121=11^2$

Bestimme für das kgV die höchsten vorkommenden Potenzen aller Primfaktoren.

Primzahl $22$ hat Vielfachheit 1, $33$ hat Vielfachheit 1, $55$ hat Vielfachheit 1 und $1111$ hat Vielfachheit 2.

Somit gilt: $\mathrm{kgV}(\mathrm{15,22,121})=2\cdot 3\cdot 5\cdot {11}^2=3630.\backslash operatorname\{kgV\}(15\{,\}22\{,\}121)=2\backslash cdot3\backslash cdot5\backslash cdot11^2=3630.$

Bestimme für das kgV die höchsten vorkommenden Potenzen aller Primfaktoren.

Primzahl $22$ hat Vielfachheit 3, $33$ hat Vielfachheit 1, $55$ hat Vielfachheit 1, $77$ hat Vielfachheit 1, $3737$ hat Vielfachheit 1 und $251251$ hat Vielfachheit 1.

Somit gilt: $\mathrm{kgV}(\mathrm{444,753,280})=2^3\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 37\cdot 251=7801080\backslash operatorname\{kgV\}(444\{,\}753\{,\}280)=2^3\backslash cdot3\backslash cdot5\backslash cdot7\backslash cdot37\backslash cdot251=7\backslash ,801\backslash ,080$.

21, 32, 16, 4, 7

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.

$21=3\cdot 721=3\backslash cdot7$

$32=2^{5}32=2^5$

$16=2^{4}16=2^4$

$4=2^{2}4=2^2$

$77$ ist eine Primzahl.

Bestimme für das kgV die höchsten vorkommenden Potenzen aller Primfaktoren.

Primzahl $22$ hat Vielfachheit 5, $33$ hat Vielfachheit 1 und $77$ hat Vielfachheit 1.

Somit gilt: $\mathrm{kgV}(\mathrm{21,32,16,4},7)=2^5\cdot 3\cdot 7=672.\backslash operatorname\{kgV\}(21\{,\}32\{,\}16\{,\}4,7)=2^5\backslash cdot3\backslash cdot7=672.$

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.

Primfaktorzerlegung

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.

$105=3\cdot 5\cdot 7105=3\backslash cdot5\backslash cdot7$

$\mathrm{ggT}(\mathrm{105,25})=5\backslash operatorname\{ggT\}(105\{,\}25)=5$

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.

$1313$ ist eine Primzahl.

$169=13\cdot 13169=13\backslash cdot13$

$2197=13\cdot 13\cdot 132197=13\backslash cdot13\backslash cdot13$

$\mathrm{ggT}(\mathrm{13,169,2197})=13\backslash operatorname\{ggT\}(13\{,\}169\{,\}2197)=13$

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.

$984=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 41984=2\backslash cdot2\backslash cdot2\backslash cdot3\backslash cdot41$

$1002=2\cdot 3\cdot 1671002=2\backslash cdot3\backslash cdot167$

Bestimme nun den größten Primfaktor bzw. das größte Produkt von Primfaktoren, das in allen drei Zahlen vorkommt.

Dieses ist gerade der größte gemeinsame Teiler.

$\mathrm{ggT}(\mathrm{984,1002,382})=2\backslash operatorname\{ggT\}(984\{,\}1002\{,\}382)=2$

5 und 10

Vielfache von 5:

5,10,15,20,...

Vielfache von 10:

10,20,30,40,...

$kgV(5;10)kgV\backslash left(5;10\backslash right)$ = 10, denn

1.) $10=5\cdot 210=5\cdot 2$ und $10=10\cdot 110=10\cdot 1$

2.) Es gibt keine kleinere Zahl als 10, die ein Vielfaches von 5 und 10 ist.

4 und 6

Vielfache von 4:

4,8,12,16,...

Vielfache von 6:

6,12,18,24,...

$kgV(4;6)=12kgV\backslash left(4;6\backslash right)=12$, denn

1.) $12=4\cdot 312=4\cdot 3$ und $12=6\cdot 212=6\cdot 2$

2.) Es gibt keine kleinere Zahl als 12, die ein Vielfaches von 4 und 6 ist.

9 und 21

Vielfache von 9:

9,18,27,36,45,54,63,...

Vielfache von 21:

21,42,63,84,...

$kgV(9;21)=63kgV\backslash left(9;21\backslash right)=63$, denn

1.) $63=21\cdot 363=21\cdot 3$ und $63=9\cdot 763=9\cdot 7$

2.) Es gibt keine kleinere Zahl als 63, die ein Vielfaches von 9 und 21 ist.

10 und 12

Vielfache von 10:

10,20,30,40,50,60,70,...

Vielfache von 12:

12,24,36,48,60,72,...

$kgV(10;12)=60kgV\backslash left(10;12\backslash right)=60$, denn

1.) $60=10\cdot 660=10\cdot 6$ und $60=12\cdot 560=12\cdot 5$

2.) Es gibt keine kleinere Zahl als 60, die ein Vielfaches von 10 und 12 ist.

Hier kannst du die Primfaktorzerlegung benutzen.

Zerlege die Zahlen in Primfaktoren

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Der größte gemeinsame Teiler ist 12.

Hier kannst du die Primfaktorzerlegung benutzen.

Zerlege die Zahlen in Primfaktoren.

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Der größte gemeinsame Teiler ist 8.

Hier kannst du die Primfaktorzerlegung benutzen.

Zerlege die Zahlen in Primfaktoren.

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Der größte gemeinsame Teiler ist 28.

Hier kannst du die Primfaktorzerlegung benutzen.

Zerlege die Zahlen in Primfaktoren.

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Der größte gemeinsame Teiler ist 5.

Hier kannst du die Primfaktorzerlegung benutzen.

Zerlege die Zahlen in Primfaktoren.

$203=29\cdot 7203\backslash \; =\backslash \; 29\backslash \; \backslash cdot\backslash \; 7\backslash$

$174=29\cdot 6174\backslash \; =\backslash \; 29\backslash \; \backslash cdot\backslash \; 6\backslash$

$\Rightarrow ggT\left(\mathrm{203,174}\right)=29\backslash Rightarrow\backslash \; ggT\backslash \; \backslash left(203\{,\}174\backslash right)\backslash \; =\backslash \; 29\backslash$

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Der größte gemeinsame Teiler ist 29.

Hier kannst du die Primfaktorzerlegung benutzen.

Zerlege die Zahlen in Primfaktoren.

$85=17\cdot 585\backslash \; =\backslash \; 17\backslash \; \backslash cdot\backslash \; 5\backslash$

$255=17\cdot 15255\backslash \; =\backslash \; 17\backslash \; \backslash cdot\backslash \; 15\backslash$

$\Rightarrow ggT\left(\mathrm{85,255}\right)=17\backslash Rightarrow\backslash \; ggT\backslash \; \backslash left(85\{,\}255\backslash right)\backslash \; =\backslash \; 17\backslash$

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Der größte gemeinsame Teiler ist 17.

Hier kannst du die Primfaktorzerlegung benutzen.

Zerlege die Zahlen in Primfaktoren:

$\Rightarrow \backslash Rightarrow\backslash$Der größte gemeinsame Teiler ist $11\backslash textcolor\{orange\}\{11\}$.

Hier kannst du die Primfaktorzerlegung benutzen.

Zerlege die Zahlen in Primfaktoren:

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Der größte gemeinsame Teiler ist $3\backslash textcolor\{turquoise\}3$.

Hier kannst du die Primfaktorzerlegung benutzen.

Zerlege die Zahlen in Primfaktoren:

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Die Zahlen haben keinen gemeinsamen Primfaktor.

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Der größte gemeinsame Teiler ist $1\backslash textcolor\{turquoise\}\{1\}$.

Hier kannst du die Primfaktorzerlegung benutzen.

Zerlege die Zahlen in Primfaktoren:

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Der größte gemeinsame Teiler ist $99$.

Hier kannst du die Primfaktorzerlegung benutzen.

Zerlege die Zahlen in Primfaktoren:

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Die Zahlen haben keinen gemeinsamen Primfaktor.

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Der größte gemeinsame Teiler ist $1\backslash textcolor\{turquoise\}\{1\}$.

Hier kannst du die Primfaktorzerlegung benutzen.

Zerlege die Zahlen in Primfaktoren:

$\Rightarrow \backslash Rightarrow\backslash$Der größte gemeinsame Teiler ist $66$.

Hier kannst du die Primfaktorzerlegung benutzen.

Zerlege die Zahlen in Primfaktoren:

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Der größte gemeinsame Teiler ist $5\backslash textcolor\{turquoise\}5$.

4,13,20

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung

13 ist eine Primzahl.

Zerlegung der Zahlen in Primfaktoren:

16,30,144

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.

Zerlegung der Zahlen in Primfaktoren:

19,69,33,56

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.

Zerlegung der Zahlen in Primfaktoren:

45,150,89,156

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.

Zerlegung der Zahlen in Primfaktoren: