Aufgaben zu ggT und kgV

5 und 25

Bestimme das kgV von 5 und 25 als Produkt von 5 und 25 geteilt durch $\operatorname{ggT}(5{,}25)$.

Nutze dabei, dass der ggT von 25 und 5 gleich 5 ist. Dies gilt, da $25=5^2$ ist.

$\operatorname{kgV}(5{,}25)=\frac{5\cdot25}{\operatorname{ggT}(5{,}25)}=\frac{5\cdot25}5=25$

14, 7, 25

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung

$7$ ist eine Primzahl.

$14=2\cdot7$

$25=5\cdot5$

Bestimme für das kgV die höchsten vorkommenden Potenzen aller Primfaktoren.

Primzahl $2$ hat Vielfachheit 1, $5$ hat Vielfachheit 2 und $7$ hat Vielfachheit 1.

Somit gilt: $\operatorname{kgV}(14{,}7,25)=2\cdot5^2\cdot7=350.$

15, 22, 121

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.

$15=3\cdot5$

$22=2\cdot11$

$121=11^2$

Bestimme für das kgV die höchsten vorkommenden Potenzen aller Primfaktoren.

Primzahl $2$ hat Vielfachheit 1, $3$ hat Vielfachheit 1, $5$ hat Vielfachheit 1 und $11$ hat Vielfachheit 2.

Somit gilt: $\operatorname{kgV}(15{,}22{,}121)=2\cdot3\cdot5\cdot11^2=3630.$

Bestimme für das kgV die höchsten vorkommenden Potenzen aller Primfaktoren.

Primzahl $2$ hat Vielfachheit 3, $3$ hat Vielfachheit 1, $5$ hat Vielfachheit 1, $7$ hat Vielfachheit 1, $37$ hat Vielfachheit 1 und $251$ hat Vielfachheit 1.

Somit gilt: $\operatorname{kgV}(444{,}753{,}280)=2^3\cdot3\cdot5\cdot7\cdot37\cdot251=7\,801\,080$.

21, 32, 16, 4, 7

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.

$21=3\cdot7$

$32=2^5$

$16=2^4$

$4=2^2$

$7$ ist eine Primzahl.

Bestimme für das kgV die höchsten vorkommenden Potenzen aller Primfaktoren.

Primzahl $2$ hat Vielfachheit 5, $3$ hat Vielfachheit 1 und $7$ hat Vielfachheit 1.

Somit gilt: $\operatorname{kgV}(21{,}32{,}16{,}4,7)=2^5\cdot3\cdot7=672.$

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.

Primfaktorzerlegung

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.

$105=3\cdot5\cdot7$

$\operatorname{ggT}(105{,}25)=5$

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.

$13$ ist eine Primzahl.

$169=13\cdot13$

$2197=13\cdot13\cdot13$

$\operatorname{ggT}(13{,}169{,}2197)=13$

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.

$984=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot41$

$1002=2\cdot3\cdot167$

Bestimme nun den größten Primfaktor bzw. das größte Produkt von Primfaktoren, das in allen drei Zahlen vorkommt.

Dieses ist gerade der größte gemeinsame Teiler.

$\operatorname{ggT}(984{,}1002{,}382)=2$

5 und 10

Vielfache von 5:

5,10,15,20,...

Vielfache von 10:

10,20,30,40,...

$kgV\left(5;10\right)$ = 10, denn

1.) $10=5⋅2$ und $10=10⋅1$

2.) Es gibt keine kleinere Zahl als 10, die ein Vielfaches von 5 und 10 ist.

4 und 6

Vielfache von 4:

4,8,12,16,...

Vielfache von 6:

6,12,18,24,...

$kgV\left(4;6\right)=12$, denn

1.) $12=4⋅3$ und $12=6⋅2$

2.) Es gibt keine kleinere Zahl als 12, die ein Vielfaches von 4 und 6 ist.

9 und 21

Vielfache von 9:

9,18,27,36,45,54,63,...

Vielfache von 21:

21,42,63,84,...

$kgV\left(9;21\right)=63$, denn

1.) $63=21⋅3$ und $63=9⋅7$

2.) Es gibt keine kleinere Zahl als 63, die ein Vielfaches von 9 und 21 ist.

10 und 12

Vielfache von 10:

10,20,30,40,50,60,70,...

Vielfache von 12:

12,24,36,48,60,72,...

$kgV\left(10;12\right)=60$, denn

1.) $60=10⋅6$ und $60=12⋅5$

2.) Es gibt keine kleinere Zahl als 60, die ein Vielfaches von 10 und 12 ist.

Hier kannst du die Primfaktorzerlegung benutzen.

Zerlege die Zahlen in Primfaktoren

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}12&=&\textcolor{orange}{2}&\cdot\textcolor{orange}2&&\cdot\textcolor{orange}{3}\\24&=&\textcolor{orange}{2}& \cdot\textcolor{orange}2&\cdot {2}&\cdot\textcolor{orange}3\\\hline \text{ggT}(12;24)&=&\textcolor{orange}{2}&\textcolor{orange}\cdot\textcolor{orange}{2}&&\cdot\textcolor{orange}{3}&&=12\end{array}$

$\Rightarrow$ Der größte gemeinsame Teiler ist 12.

Hier kannst du die Primfaktorzerlegung benutzen.

Zerlege die Zahlen in Primfaktoren.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}32&=&\textcolor{orange}{2}&\cdot\textcolor{orange}2&\cdot\textcolor{orange}{2}&\cdot{2}&\cdot {2}\\88&=&\textcolor{orange}{2}& \cdot\textcolor{orange}2&\cdot\textcolor{orange} {2}&&&\cdot 11\\\hline \text{ggT}(32;88)&=&\textcolor{orange}{2}&\textcolor{orange}\cdot\textcolor{orange}{2}&\cdot\textcolor{orange}{2}&&&&=8\end{array}$

$\Rightarrow$ Der größte gemeinsame Teiler ist 8.

Hier kannst du die Primfaktorzerlegung benutzen.

Zerlege die Zahlen in Primfaktoren.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}28&=&\textcolor{orange}{2}&\cdot\textcolor{orange}2&&\cdot\textcolor{orange}{7}\\56&=&\textcolor{orange}{2}& \cdot\textcolor{orange}2&\cdot {2}&\cdot\textcolor{orange}7\\\hline \text{ggT}(28;56)&=&\textcolor{orange}{2}&\cdot\textcolor{orange}{2}&&\cdot\textcolor{orange}{7}&&=28\end{array}$

$\Rightarrow$ Der größte gemeinsame Teiler ist 28.

Hier kannst du die Primfaktorzerlegung benutzen.

Zerlege die Zahlen in Primfaktoren.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}125&=&\textcolor{orange}{5}&\cdot5&\cdot{5}\\115&=&\textcolor{orange}{5}&&&\cdot {23}\\\hline \text{ggT}(125;115)&=&\textcolor{orange}{5}&&&&=5\end{array}$

$\Rightarrow$ Der größte gemeinsame Teiler ist 5.

Hier kannst du die Primfaktorzerlegung benutzen.

Zerlege die Zahlen in Primfaktoren.

$203\ =\ 29\ \cdot\ 7\$

$174\ =\ 29\ \cdot\ 6\$

$\Rightarrow\ ggT\ \left(203{,}174\right)\ =\ 29\$

$\Rightarrow$ Der größte gemeinsame Teiler ist 29.

Hier kannst du die Primfaktorzerlegung benutzen.

Zerlege die Zahlen in Primfaktoren.

$85\ =\ 17\ \cdot\ 5\$

$255\ =\ 17\ \cdot\ 15\$

$\Rightarrow\ ggT\ \left(85{,}255\right)\ =\ 17\$

$\Rightarrow$ Der größte gemeinsame Teiler ist 17.

Hier kannst du die Primfaktorzerlegung benutzen.

Zerlege die Zahlen in Primfaktoren:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}11&=& \textcolor{orange}{11}\\121&=& \textcolor{orange}{11}&\cdot {11}&\\1331&=&\textcolor{orange}{11}&\cdot{11}&\cdot{11}\\\hline \text{ggT}(11;121;1331)&=&\textcolor{orange}{11}\end{array}$

$\Rightarrow\$Der größte gemeinsame Teiler ist $\textcolor{orange}{11}$.

Hier kannst du die Primfaktorzerlegung benutzen.

Zerlege die Zahlen in Primfaktoren:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}63&=&&&\textcolor{turquoise}{3}&\cdot3&\cdot{7}\\156&=&{2}&\cdot{2}&\cdot\textcolor{turquoise}{3}&&&\cdot{13}\\234&=&{2}&&\cdot\textcolor{turquoise}{3}&\cdot3&&\cdot{13}\\\hline \text{ggT}(63;156;234)&=&&&\textcolor{turquoise}{3}\end{array}$

$\Rightarrow$ Der größte gemeinsame Teiler ist $\textcolor{turquoise}3$.

Hier kannst du die Primfaktorzerlegung benutzen.

Zerlege die Zahlen in Primfaktoren:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}39&=&{3}&&&&\cdot {13}\\245&=&&{5}& \cdot{7}&\cdot{7}\\399&=&{3}&&\cdot{7}&&&\cdot{19}\\\hline \text{ggT}(39;245;399)&&&&&&&&=\textcolor{turquoise}1\end{array}$

$\Rightarrow$ Die Zahlen haben keinen gemeinsamen Primfaktor.

$\Rightarrow$ Der größte gemeinsame Teiler ist $\textcolor{turquoise}{1}$.

Hier kannst du die Primfaktorzerlegung benutzen.

Zerlege die Zahlen in Primfaktoren:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}108&=&{2}&\cdot {2}&\cdot\textcolor{turquoise}{3}&\cdot\textcolor{turquoise}{3}&\cdot3\\369&=&&&\textcolor{turquoise}{3}&\cdot\textcolor{turquoise}{3}&&&\cdot{41}\\612&=&{2}&\cdot{2}&\cdot\textcolor{turquoise}{3}&\cdot\textcolor{turquoise}{3}&\cdot3&\cdot{17}\\\hline \text{ggT}(108;369;612)&=&&&\textcolor{turquoise}{3}&\cdot\textcolor{turquoise}{3}&&&&=9\end{array}$

$\Rightarrow$ Der größte gemeinsame Teiler ist $9$.

Hier kannst du die Primfaktorzerlegung benutzen.

Zerlege die Zahlen in Primfaktoren:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}99&=&&{3}&\cdot {3}&\cdot{11}\\438&=&{2}&\cdot{3}&&&\cdot{73}\\562&=&{2}&&&&&\cdot{281}\\\hline \text{ggT}(99;438;562)&&&&&&&&=\textcolor{turquoise}1\end{array}$

$\Rightarrow$ Die Zahlen haben keinen gemeinsamen Primfaktor.

$\Rightarrow$ Der größte gemeinsame Teiler ist $\textcolor{turquoise}{1}$.

Hier kannst du die Primfaktorzerlegung benutzen.

Zerlege die Zahlen in Primfaktoren:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}90&=&\textcolor{turquoise}{2}&&\cdot\textcolor{turquoise}{3}&\cdot{3}&&\cdot{5}\\108&=&\textcolor{turquoise}{2}&\cdot{2}&\cdot\textcolor{turquoise}{3}&\cdot{3}&\cdot{3}\\204&=&\textcolor{turquoise}{2}&\cdot{2}&\cdot\textcolor{turquoise}{3}&&&&\cdot{17}\\276&=&\textcolor{turquoise}{2}&\cdot{2}&\cdot\textcolor{turquoise}{3}&&&&&\cdot{23}\\\hline \text{ggT}(90;108;204;276)&=&\textcolor{turquoise}{2}&&\cdot\textcolor{turquoise}{3}&&&&&&=6\end{array}$

$\Rightarrow\$Der größte gemeinsame Teiler ist $6$.

Hier kannst du die Primfaktorzerlegung benutzen.

Zerlege die Zahlen in Primfaktoren:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}120&=&{2}&\cdot{2}&\cdot{2}&\cdot{3}&\cdot\textcolor{turquoise}{5}\\145&=&&&&&\textcolor{turquoise}{5}&&&&\cdot{29}\\275&=&&&&&\textcolor{turquoise}{5}&\cdot5&\cdot{11}\\345&=&&&&{3}&\cdot\textcolor{turquoise}{5}&&&\cdot{23}\\\hline \text{ggT}(120;145;275;345)&=&&&&&\textcolor{turquoise}5&&&&&=\textcolor{turquoise}5\end{array}$

$\Rightarrow$ Der größte gemeinsame Teiler ist $\textcolor{turquoise}5$.

4,13,20

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung

13 ist eine Primzahl.

Zerlegung der Zahlen in Primfaktoren:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cl}4&=&\textcolor{orange}{2}&\cdot\textcolor{orange}2&\\13&=&&&&{13}\\20&=&\textcolor{orange}2&\cdot\textcolor{orange}2&\cdot5\\\hline \text{kgV}(4;13;20)&=&\textcolor{orange}{2}&\cdot\textcolor{orange}{2}&\cdot5&\cdot13&&=260\end{array}$

16,30,144

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.

Zerlegung der Zahlen in Primfaktoren:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cl}16&=&\textcolor{orange}2&\cdot\textcolor{orange}2&\cdot\textcolor{orange}2&\cdot\textcolor{orange}2\\30&=&\textcolor{orange}2&&&&\cdot\textcolor{orange}3&&\cdot5\\144&=&\textcolor{orange}2&\cdot\textcolor{orange}2&\cdot\textcolor{orange}2&\cdot\textcolor{orange}2&\cdot\textcolor{orange}3&\cdot3\\\hline \text{kgV}(16;30;144)&=&\textcolor{orange}{2}&\cdot\textcolor{orange}{2}&\cdot\textcolor{orange}2&\cdot\textcolor{orange}2&\cdot\textcolor{orange}3&\cdot3&\cdot5&=720\end{array}$

19,69,33,56

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.

Zerlegung der Zahlen in Primfaktoren:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cl}19&=&&&&&&&{19}\\69&=&&&&\textcolor{orange}{3}&&&&\cdot23\\33&=&&&&\textcolor{orange}3&&\cdot11\\56&=&2&\cdot2&\cdot2&&\cdot7\\\hline \text{kgV}(19;69;33;56)&=&{2}&\cdot{2}&\cdot2&\cdot3&\cdot7&\cdot11&\cdot19&\cdot23&&=807576\end{array}$

45,150,89,156

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.

Zerlegung der Zahlen in Primfaktoren:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cl}45&=&&&\textcolor{orange}{3}&\cdot3&\cdot\textcolor{orange}5\\150&=&\textcolor{orange}{2}&&\cdot\textcolor{orange}3&&\cdot\textcolor{orange}5&\cdot5\\89&=&&&&&&&&89\\156&=&\textcolor{orange}2&\cdot2&\cdot\textcolor{orange}3&&&&\cdot13\\\hline \text{kgV}(45;150;89;156)&=&\textcolor{orange}{2}&\cdot{2}&\cdot\textcolor{orange}3&\cdot3&\cdot\textcolor{orange}5&\cdot5&\cdot13&\cdot89&=1041300\end{array}$