Aufgaben zum Definitions- und Wertebereich von Funktionen

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Bestimme die Definitions - und Wertemenge der folgenden Funktionen.

$f(x)=-2x^2+4x-4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge

1. Definitionsmenge

Der Definitionsmenge (oder Definitionsbereich) gibt an, welche $x$ -Werte in eine Funktion eingesetzt werden dürfen.

Bei ganzrationalen Funktionen ist die Definitionsmenge immer $\mathbb R$ , also gilt:

\displaystyle \mathbb D_f=\mathbb R

2. Wertemenge

Die Wertemenge (oder Wertebereich) einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt.

Für die Ermittlung des Wertebereichs bringe die quadratische Funktion $f(x)=-2x^2+4x-4$ auf die Scheitelpunktsform.

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle -2x^2+4x-4$
	↓	Klammere (-2) aus.
	$=$	$\displaystyle -2\cdot(x^2-2x+2)$
	↓	Mache die quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle -2\cdot(x^2-2x+1^2-1^2+2)$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle -2\cdot\left((x-1)^2+1\right)$
	↓	Multipliziere die Klammer aus.
	$=$	$\displaystyle -2\cdot(x-1)^2-2$

Lies den Scheitel und die Öffnungsrichtung ab.

Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S\left(1|-2\right)$ .

Die Parabel ist nach unten geöffnet, d.h. der größte $y$ -Wert ist $y=-2$ .

Gib die Wertemenge an.

\displaystyle \mathbb D_f=\mathbb R

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$g(x)= \dfrac{4x-1}{x^2-9}$

1. Definitionsmenge

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf. Bei gebrochen-rationalen Funktionen ist der Funktionsterm ein Bruch, der nur definiert ist, wenn der Nenner ungleich null ist. (Durch null darf nicht geteilt werden.)

Setze den Nenner $x^2-9$ gleich null:

$\displaystyle x^2-9$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +9$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 9$	$\displaystyle \sqrt{}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm 3$

Für $x=-3$ bzw. $x=3$ würde der Nenner null sein.

Die Zahlen $-3$ und $3$ müssen aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden, da bei $x=-3$ und $x=3$ jeweils eine Definitonslücke vorliegt.

Der Definitionsbereich lautet:

\displaystyle \mathbb D_f=\mathbb R

2. Wertemenge

Die Wertemenge (oder Wertebereich) einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt.

Die Funktion $g(x)=\dfrac{4x-1}{x^2-9}=\dfrac{4x-1}{(x-3)\cdot(x+3)}$ hat zwei Polstellen jeweils mit Vorzeichenwechsel bei $-3$ und $3$ (wegen des ungeraden Exponenten $1$ ).

Betrachtest du das Intervall $]-3;3[$ zwischen den beiden Polstellen, so gilt:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow-3^+}\dfrac{4x-1}{x^2-9}=\infty$ und $\displaystyle\lim_{x\rightarrow3^-}\dfrac{4x-1}{x^2-9}=-\infty$ .

Außerdem hat die Funktion an der Stelle $x=\dfrac{1}{4}$ eine Nullstelle.

Somit durchlaufen die Funktionswerte in diesem Intervall alle Werte von $\infty$ bis $-\infty$ , d.h. die Wertemenge ist:

\displaystyle \mathbb D_f=\mathbb R

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