Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen

Der Baumbestand eines Waldes in $km^2$ kann näherungsweise durch die Funktion $w\left(x\right)=80\cdot1{,}1^x$ beschrieben werden, wobei $x\in\mathbb{R}^+$ für die Anzahl vergangener Jahre seit der ersten Messung steht.

Begründe anhand des Funktionsterms, ob der Wald wächst oder schrumpft.
- Der Wald wächst
- Der Wald schrumpft
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: exponentielles Wachstum
Ist der Wachstumsfaktor einer Exponentialfunktion größer als 1, so liegt exponentielles Wachstum vor. Der Wachstumsfaktor $b$ ist dabei die Basis der Exponentialfunktion der Form $a\cdot b^x$ .
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Untersuche, ob der Wachstumsfaktor größer oder kleiner als 1 ist.
Berechne, wie groß der Wald in 10 Jahren ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswerte berechnen
$\displaystyle w\left(10\right)$ $=$ $\displaystyle 80\cdot1{,}1^{10}$
$≈$ $\displaystyle 207{,}50$
Nach zehn Jahren ist der Wald ca. $207{,}5\ km^2$ groß.
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Da $x$ für die Zahl der vergangenen Jahre steht, setzt du 10 in die Funktionsgleichung ein.

Bestimme, wann der Wald $100\ km^2$ groß ist.

Bestimme, vor wie vielen Jahren der Wald halb so groß war wie jetzt.

Bestimme, wie lange der Wald braucht, um seine Größe zu verdoppeln.

Vergleiche mit dem Ergebnis der vorherigen Teilaufgabe und formuliere dazu eine Aussage zur benötigten Zeit zum Verdoppeln der Waldgröße.

Häufig interessiert in Sachsituationen die Halbwerts- oder Verdopplungszeit einer Größe, also die Zeit, die benötigt wird, damit sich der Wert halbiert oder verdoppelt. Im Folgenden kannst du als Verdopplungszeit 7 Jahre annehmen.
Erkläre, warum der Wachstumsprozess des Waldes mit dieser Annahme näherungsweise auch mithilfe des Terms
$w_2\left(x\right)=80\cdot2^{\frac{x}{7}}$
beschrieben werden kann.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Halbwerts- und Verdopplungszeit
Startwert $80km^2$
Der Wald hat weiterhin die gleiche Ausgangsgröße von $80\ km^2$
Wachstumsfaktor 2
Statt dir das Wachstum um 10% in einem Jahr anzuschauen, fragst du jetzt, wann sich die Größe des Waldes verdoppelt hat. Deshalb benutzt du den Wachstumsfaktor 2.
Natürlich geht das nicht ohne weitere Anpassungen, deshalb wurde auch im Exponenten etwas ergänzt.
Neuer Exponent $\frac{x}{7}$
Die 7 Jahre sind die Zeit, die der Wald benötigt, um seine Größe zu verdoppeln.
Dadurch, dass im Exponent durch 7 dividiert wird, braucht es 7 Jahre, bis der Exponent den Wert 1 annimmt und sich somit der Wald auch wirklich verdoppelt hat:
$w_2\left(1\right)=80\cdot2^{\frac{1}{7}}$ ist noch keine Verdopplung der Waldfläche.
$w_2\left(7\right)=80\cdot2^{\frac{7}{7}}=80\cdot2^1=160$ ist die erste Verdopplung der Waldfläche.
$w_2\left(14\right)=80\cdot2^{\frac{14}{7}}=80\cdot2^2=320$ ist die zweite Verdopplung der Waldfläche und
$w_2\left(-7\right)=80\cdot2^{\frac{-7}{7}}=80\cdot\frac{1}{2}=40$ ist der Zeitpunkt, an dem der Wald die halbe Größe hatte.
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Beachte die Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen den beiden Funktionstermen:
Warum ist die 80 gleich?
Was bedeutet der neue Wachstumsfaktor 2?
Warum wird im Exponenten die Variable durch 7 geteilt?

$\displaystyle 100$	$=$	$\displaystyle 80\cdot1{,}1^x$	$\displaystyle :80$
$\displaystyle 1{,}25$	$=$	$\displaystyle 1{,}1^x$
	↓	Logarithmieren
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \log_{1{,}1}1{,}25$
$\displaystyle x$	$≈$	$\displaystyle 2{,}34$

$\displaystyle 40$	$=$	$\displaystyle 80\cdot1{,}1^x$	$\displaystyle :80$
$\displaystyle \frac{1}{2}$	$=$	$\displaystyle 1{,}1^x$
	↓	Logarithmieren
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \log_{1{,}1}\left(\frac{1}{2}\right)$
$\displaystyle x$	$≈$	$\displaystyle -7{,}27$

$\displaystyle 160$	$=$	$\displaystyle 80\cdot1{,}1^x$	$\displaystyle :80$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle 1{,}1^x$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \log_{1{,}1}2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 7{,}27$

$\displaystyle w\left(10\right)$	$=$	$\displaystyle 80\cdot1{,}1^{10}$
	$≈$	$\displaystyle 207{,}50$

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Startwert 80km280km^280km2

Wachstumsfaktor 2

Neuer Exponent x7\frac{x}{7}7x​

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Startwert $80km^2$

Neuer Exponent $\frac{x}{7}$