Position der Nullstellen

Der Graph schneidet die x-Achse bei $x_1=-2x\_1=-2$ und $x_2=1x\_2=1$.

Vielfachheit der Nullstellen

Die Nullstelle bei $x=1x=1$ hat die Vielfachheit eins, denn es handelt sich um eine schneidende Nullstelle, die gleichzeitig kein Terrassenpunkt ist.

Die Nullstelle bei $x=-2x=-2$ ist ein Terrassenpunkt. Aufgrund des Grades 4 der Funktion f muss die Vielfachheit 3 sein (denn die Summe aller Vielfachheiten der Nullstellen ist maximal so groß wie der Grad).

Funktionsterm in Linearfaktorenform (Produktform)

Jede Nullstelle liefert einen Linearfaktor, indem man in die Form $(x-x_N)\backslash left(x-x\_N\backslash right)$ einsetzt, wobei $x_{N}x\_N$ die gefundene Nullstelle ist.

Die Vielfachheit kommt als Exponent außen an die Klammer.

Der Leitkoeffizient muss erst noch berechnet werden. Du kannst ihn mit a bezeichnen:

$f\left(x\right)=a(x-1){(x-(-2))}^3=a(x-1){(x+2)}^{3}f\backslash left(x\backslash right)=a\backslash left(x-1\backslash right)\backslash left(x-\backslash left(-2\backslash right)\backslash right)^3=a\backslash left(x-1\backslash right)\backslash left(x+2\backslash right)^3$

Da die Funktion vom Grad 4 ist, gibt es keine weiteren Nullstellen oder Faktoren in der Produktform.

Setze nun einen Punkt ein, z.B. den y-Achsenabschnitt $P\left(0\mathrm{\mid }2\right)P\backslash left(0|2\backslash right)$, um a zu bestimmen:

Insgesamt gilt für f also:

$f(x)=-\frac{1}{4}(x-1)(x+2{)}^{3}f(x)=-\backslash frac\; 1\; 4(x-1)(x+2)^3$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(0\right)=-\frac{1}{2}f\text{'}\backslash left(0\backslash right)=-\backslash frac\{1\}\{2\}$

Das bedeutet, dass die Steigung am y-Achsenabschnitt negativ sein müsste, der Graph dort also fallen müsste. Diese Aussage ist falsch, denn der Graph steigt dort.

Das bedeutet, dass der Graph bei $x=1x=1$ rechtsgekrümmt ist. Diese Aussage ist wahr. (Fährst du mental mit einem Auto auf dem Graphen der Funktion entlang, so lenkst du an dieser Stelle nach rechts.)

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(-2)=f^{\mathrm{\prime }}(-2)f\text{'}\text{'}\backslash left(-2\backslash right)=f\text{'}\backslash left(-2\backslash right)$

Diese Aussage ist wahr. Aufgrund der Vielfachheit 3 der Nullstelle $x=-2x=-2$ gilt $f(-2)=f^{\mathrm{\prime }}(-2)=f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(-2)=0f\backslash left(-2\backslash right)=f\text{'}\backslash left(-2\backslash right)=f\text{'}\text{'}\backslash left(-2\backslash right)=0$.

Alternative Begründung: Da bei $x=-2x=-2$ eine waagerechte Tangente ist, gilt $f^{\mathrm{\prime }}(-2)=0f\text{'}\backslash left(-2\backslash right)=0$. Da es sich um einen Terrassenpunkt handelt, ist aber auch $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(-2)=0f\text{'}\text{'}\backslash left(-2\backslash right)=0$

$W_f=\mathbb{R}W\_f=\backslash mathbb\{R\}$

Diese Aussage ist falsch. Aufgrund des geraden Grades (f ist vom Grad 4) gibt es einen absoluten Hoch- oder Tiefpunkt und somit eine eingeschränkte Wertemenge. Im Graph ist zu sehen, dass es sich um einen absoluten Hochpunkt handelt.

Bestimmtes Integral angeben

Der Graph verläuft im Intervall $[0;1]\backslash left[0;1\backslash right]$ im I. Quadranten. Benutze diese Intervallgrenzen als Grenzen für das Integral:

${\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)dx={\int }_0^1(-\frac{1}{4}(x^4+5x^3+6x^2-4x-8))dx}\backslash displaystyle\backslash int\_0^1f\backslash left(x\backslash right)\backslash \; dx=\backslash \; \backslash int\_0^1\backslash left(-\backslash dfrac\{1\}\{4\}\backslash left(x^4+5x^3+6x^2-4x-8\backslash right)\backslash right)dx$

Stammfunktion von f bilden

Bilde eine Stammfunktion von f. Du kannst dich selbst kontrollieren: Wenn du dein Ergebnis ableitest, muss wieder $f\left(x\right)f\backslash left(x\backslash right)$ entstehen.

${\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)dx={[-\frac{1}{4}(\frac{1}{5}{x}^5+\frac{5}{4}{x}^4+2x^3-2x^2-8x)]}_0^1}\backslash displaystyle\backslash int\_0^1f\backslash left(x\backslash right)dx=\backslash left[-\backslash frac\{1\}\{4\}\backslash left(\backslash frac\{1\}\{5\}x^5+\backslash frac\{5\}\{4\}x^4+2x^3-2x^2-8x\backslash right)\backslash right]\_0^1$

Wert des bestimmten Integrals berechnen

Den Wert des bestimmten Integrals berechnest du, indem du die obere Grenze und die untere Grenze in die gefundene Stammfunktion einsetzt und die Ergebnisse voneinander subtrahierst: