Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate der Staulänge den Wert null hat

Setze $f(x)$ gleich null:

$0=x\cdot (8-5x)\cdot \left(1-\dfrac{x}{4}\right)^2$

Es wird der Satz vom Nullprodukt angewendet.

Es ist $x=0$ oder $8-5x=0$ oder $\left(1-\dfrac{x}{4}\right)^2=0$.

Also ist $x=0$ und/oder $x=\dfrac{8}{5}=1{,}6$ und/oder $x=4$.

Zu diesen x-Werten gehören die Uhrzeiten $6:00$ Uhr, $7:36$ Uhr und $10:00$ Uhr. Zu diesen Zeiten ist die momentane Änderungsrate der Staulänge gleich null.

Die Funktion $f$ hat den Grad $4$, d.h. der Graph der Funktion hat maximal vier einfache Nullstellen.

Die ersten beiden Nullstellen sind einfache Nullstellen. Die Nullstelle $x=4$ ist eine doppelte Nullstelle. Es gibt also insgesamt vier Nullstellen. Somit gibt es keine weiteren Nullstellen und keine weiteren Zeitpunkte, an denen die momentane Änderungsrate der Staulänge den Wert null hat.

Es ist $f(2)<0$.

$x=2$ heißt, die Uhrzeit ist $8:00$ Uhr, also $2$ Stunden nach dem Beginn des Staus.

Der Funktionswert um $8$ Uhr ist negativ. Die Staulänge nimmt um $8$ Uhr ab.

Maximale Änderungsrate

Gesucht ist der Hochpunkt des Graphens der Funktion $f$.

Setze $f'(x)=0$:

$(5x^2- 16x +8)\cdot\left(1-\dfrac{x}{4}\right) =0$

Verwende zur Lösung dieser Gleichung den Satz vom Nullprodukt.

Es ist $\mathrm{(I)}:\;5x^2- 16x +8=0$ oder $\mathrm{(II)}:\;1-\dfrac{x}{4} =0$

Lösung der Gleichung $\mathrm{(I)}$

Hier wird die Mitternachtsformel verwendet.

Die Werte für $a$, $b$ und $c$ werden abgelesen und eingesetzt:

$a=5$, $b=-16$ und $c=8$

Somit ist $x_1= \dfrac{8+2\cdot\sqrt{6}}{5} \approx 2{,}58$ und $x_2 = \dfrac{8-2\cdot\sqrt{6}}{5} \approx 0{,}62$.

Lösung der Gleichung $\mathrm{(II)}$

Die dritte Lösung von $f'(x)=0$ ist $x_3=4$.

Betrachtet man den Graphen von $f$, so liegt der gesuchte Hochpunkt beim kleinsten $x$-Wert, bei dem der Graph eine waagrechte Tangente hat, also bei $x=0{,}62$.

Zu diesem $x$-Wert gehört die Uhrzeit $6:37$ Uhr. Somit nimmt die Staulänge um $6:37$ Uhr am stärksten zu.

Die maximale Staulänge wird erreicht, wenn die Funktion $f$ (die momentane Änderungsrate) die $x$-Achse schneidet. Hier wechselt $f$ vom Positiven ins Negative.

Dieser Zeitpunkt wurde schon in Aufgabe a) berechnet. Es ist $x=1{,}6$.

Um $7:36$ Uhr ist die Staulänge maximal.

Die Staulänge kann für jeden Zeitpunkt von $6:00$ Uhr bis $10:00$ Uhr durch die Funktion $s$ angegeben werden.

Die Funktion $s$ gibt dann die Staulänge an, wenn $s$ eine Stammfunktion von $f$ ist.

Es muss gelten: $s'(x)=f(x)$

Die Ableitung von $s$ wird berechnet und mit der Funktion $f$ verglichen.

$s(x)=-\dfrac{1}{16}x^5+\dfrac{3}{4}x^4-3x^3+4x^2$

$s'(x)=-\dfrac{5}{16}x^4+3x^3-9x^2+8x=f(x)$

Somit ist $s$ eine Stammfunktion von $f$.

Weiterhin gilt: $s(0)=\left(\dfrac{0}{4}\right)^2\cdot (4-0)^3=0\cdot 4^3=0$

Die Staulänge um $6:00$ Uhr ist gleich null, d.h. hier beginnt gerade der Stau.

Die Funktion $s$ ist also die zu $f$ gehörende Stammfunktion.

Bestätigen Sie rechnerisch, dass sich der Stau um $10:00$ Uhr vollständig aufgelöst hat.

Wenn sich der Stau um $10:00$ Uhr (hier ist $x=4$) vollständig aufgelöst hat, muss $s(4)$ gleich null sein.

$s(x)=\left(\dfrac{x}{4}\right)^2\cdot (4-x)^3$

Setze $x=4$ ein:

$s(4)=\left(\dfrac{4}{4}\right)^2\cdot (4-4)^3=1\cdot 0^3=0$

Somit hat sich der Stau um $10:00$ Uhr vollständig aufgelöst.

Zunahme der Staulänge

Um $6:30$ Uhr ist $x=0{,}5$ und um $8:00$ Uhr ist $x=2$.

Berechnet werden muss also die Differenz $\Delta s=s(2)-s(0{,}5)$.

$s(x)=\left(\dfrac{x}{4}\right)^2\cdot (4-x)^3$

Der Stau hat von $6:30$ Uhr bis $8:00$ Uhr um rund $1{,}33 \;\text{km}$ zugenommen.

Mittlere Änderungsrate der Staulänge für diesen Zeitraum

Hier muss der Differenzenquotient $m=\dfrac{\Delta s}{\Delta x}$ berechnet werden:

Die mittlere Änderungsrate der Staulänge für diesen Zeitraum beträgt rund $0{,}8867\;\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.

Um $7:30$ Uhr, d.h. bei $x=1{,}5$ hat der Stau eine bestimmte Länge. Die Staulänge nimmt ab $x=1{,}5$ weiter zu, da die momentane Änderungsrate positiv ist. Die Zunahme erfolgt so lange, bis der Graph die $x$-Achse schneidet. Das ist bei $x\approx2{,}2$, d.h. um etwa $8:12$ Uhr der Fall. Ab $8:12$ Uhr muss dann der Stau sich um den gleichen Betrag verringern, um den er von $7:30$ bis $8:12$ Uhr zugenommen hat. Das ist etwa bei $x=2{,}9$ ($8:54$ Uhr) der Fall.

Um etwa $8:54$ Uhr hat der Stau die gleiche Länge wie um $7:30$ Uhr.

Die Flächen zwischen dem Graphen und der $x$-Achse einmal im Bereich von $x=1{,}5$ bis $x=2{,}2$ und dann von $x=2{,}2$ bis $x=2{,}9$ müssen demnach gleich groß sein.

In der folgenden Abbildung sind die beiden gleich großen Flächen und der Zeitpunkt der gleichen Staulänge wie um $7:30$ Uhr markiert (blauer Punkt).