Lösung Aufgabe a

Um auf die Länge der Strecke $\overline{MK}$ zu kommen, benötigst du den Vierstreckensatz.

Ausgehend vom Zentrum $S$, kannst du die "kurzen" Längen $\overline{KS}$ und $\overline{CJ}$ mit $\overline{MS}$ und $\overline{AB}$ ins Verhältnis setzen:

$${\displaystyle \frac{\stackrel{{\displaystyle \overline{KS}}}{\overbrace{\overline{MS}-\overline{MK}}}}{\overline{CJ}}=\frac{\overline{MS}}{\overline{AB}}}$$

Umgestellt nach $\overline{MS}-\overline{MK}$ergibt sich:

$${\displaystyle \overline{MS}-\overline{MK}=\frac{\overline{MS}}{\overline{AB}}\cdot \overline{CJ}.}$$

Nun kannst du einsetzen:

$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \mathrm{4,5}\text{cm}-\overline{MK}}& =& \frac{\mathrm{4,5}\text{cm}}{\mathrm{7,5}\text{cm}}\cdot 4\text{cm}\\ \mathrm{4,5}\text{cm}-\overline{MK}& =& \mathrm{2,4}\text{cm}\\ \overline{MK}& =& \mathrm{2,1}\text{cm}\end{array}$$

Die Oberfläche des Kerzenständers besteht aus verschiedenen Elementen:

1) Der Mantelfläche des Kegelstumpfs,

2) dem Mantel des "großen", äußeren Zylinders,

3) dem Mantel des "kleinen", inneren Zylinders und

4) zwei Kreisflächen.

1) Zuerst berechnest du die Mantelfläche des Kegelstumpfs.

Da die Formel zur Berechnung $M_{\text{Kegel}}=r\cdot m\cdot \pi$ lautet, wobei $m$ die Mantellinie ist, musst du zunächst die Längen der beiden Mantellinien bestimmen:

$m_{\text{Kegel groß}}=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{{\mathrm{3,75}}^2+{\mathrm{4,5}}^2}=\mathrm{5,9}\text{cm}$

und

$m_{\text{Kegel klein}}=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{2^2+{\mathrm{2,4}}^2}=\mathrm{3,1}\text{cm}.$

Nun kannst du die Mantelfläche des "kleinen" vom "großen" Kegel abziehen:

$\begin{array}{rcl}{M}_{\text{Kegelstumpf}}& =& M_{\text{Kegel groß}}-M_{\text{Kegel klein}}\\ & & \\ & =& \mathrm{3,75}\text{cm}\cdot \mathrm{5,9}\text{cm}\cdot \pi -2\text{cm}\cdot \mathrm{3,1}\text{cm}\cdot \pi \\ & & \\ & \approx & \mathrm{50,03}{\text{cm}}^2\end{array}$

2) Dann berechnest du die Mantelfläche des "äußeren" Zylinders. Dieser besitzt den Radius $2\text{cm}$ und die Höhe $\mathrm{2,4}\text{cm}$.

Aus $M_{Zylinder}=u\cdot h\cdot \pi =2\cdot r\cdot h\cdot \pi$ ergibt sich

$M_{\text{Zylinder groß}}=2\cdot 2\cdot \mathrm{2,4}\cdot \pi =\frac{48}{5}\pi \text{cm}\approx \mathrm{30,16}{\text{cm}}^2.$

3) Genauso berechnest du die Mantelfläche des "inneren" Zylinders. Dieser besitzt den Radius $\mathrm{0,75}\text{cm}$ und die Höhe $2\text{cm}$.

Dadurch erhältst du

$M_{\text{Zylinder klein}}=2\cdot \mathrm{0,75}\cdot 2\cdot \pi =3\pi {\text{cm}}^2\approx \mathrm{9,42}{\text{cm}}^2.$

4) Die Kreisflächen sind einerseits der "Fuß" des großen Kegels, also ein Kreis mit Radius $\mathrm{3,75}\text{cm}$.

Setzte dies in die Kreisformel ein, und du erhältst

$A_{\text{Kreis unten}}=r^2\cdot \pi ={\mathrm{3,75}}^2\cdot \pi \approx \mathrm{44,18}{\text{cm}}^2.$

Die beiden Flächen oben, ein Kreisring und ein kleiner Kreis, ergänzen sich zu einem Kreis mit Radius $2\text{cm}$:

$A_{\text{Kreis oben}}=r^2\cdot \pi =2^2\cdot \pi =4\pi {\text{cm}}^2\approx \mathrm{12,57}{\text{cm}}^2.$

In der Summe erhältst du also

$O_{\text{Kerzenständer}}=(\mathrm{50,03}+\mathrm{30,16}+\mathrm{9,42}+\mathrm{44,18}+\mathrm{12,57}){\text{cm}}^2\approx \mathrm{146,4}{\text{cm}}^2$

Hinweis: Werden die Oberflächeninhalte auf eine Stelle nach dem Komma gerundet, erhält man auch das Ergebnis $\mathrm{146,4}{\text{cm}}^2$.