Sachaufgaben

Marco, Sabine, Volker und Lena haben zusammen 66€. Marco hat 2€ weniger als Sabine, Volker hat doppelt so viel wie Sabine und Lena doppelt so viel wie Marco. Berechne wie viel Geld Marco, Sabine, Volker und Lena haben.

Löse mit Hilfe eines Gesamtansatzes.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen

Schreibe dir die Informationen aus der Angabe übersichtlich auf. Setze s als Variable für den Geldbetrag, den Sabine besitzt, denn in Bezug zu Sabine sind viele Angaben in der Aufgabenstellung gemacht worden.

Name	Beschreibung	Rechnung
Sabine		$s$
Marco	Marco hat 2€ weniger als Sabine.	$s - 2 €$
Volker	Volker hat doppelt so viel wie Sabine.	$2 s$
Lena	Lena hat doppelt so viel wie Marco.	$2 \cdot (s - 2 €)$
Alle zusammen	Marco, Sabine, Volker und Lena haben zusammen 66€	$s + (s - 2 €) + 2 s + 2 (s - 2 €) = 66 €$

Berechne mit dem Gesamtansatz nun $s$ .

$s + (s - 2 €) + 2 s + 2 (s - 2 €)$	$=$	$66 €$
	↓	Löse die Klammern auf.
$s + s - 2 € + 2 s + 2 s - 4 €$	$=$	$66 €$
	↓	Fasse zusammen.
$6 s - 6 €$	$=$	$66 €$	$+ 6 €$
$6 s$	$=$	$72 €$	$: 6$
$s$	$=$	$12 €$

Nachdem du $s = 12 €$ nun berechnet hast, kannst du berechnen, wie viel Geld die anderen Kinder haben.

Name	Beschreibung	Rechnung
Sabine		$s = 12 €$
Marco	Marco hat 2€ weniger als Sabine.	$s - 2 € = 12 € - 2 € = 10 €$
Volker	Volker hat doppelt so viel wie Sabine.	$2 s = 2 \cdot 12 € = 24 €$
Lena	Lena hat doppelt so viel wie Marco.	$2 (s - 2 €) = 2 \cdot 10 € = 20 €$
Alle zusammen	Marco, Sabine, Volker und Lena haben zusammen 66€	$12 € + 10 € + 24 € + 20 € = 66 € ✓$

Sabine hat also $12 €$ , Marco hat $10 €$ , Volker hat $24 €$ und Lena hat $20 €$ .

2
Herbert war fünfmal im Kino-Center für je 8,40€ Eintritt und dreimal im Filmpalast. Im Durchschnitt hat er 8,70€ pro Kinobesuch bezahlt. Was kostet die Eintrittskarte im Filmpalast?
€

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Durchschnitt
Herbert ist insgesamt $8$ Mal ins Kino gegangen. Er bezahlte dabei jeweils im Schnitt $8,70 €$ .
Für alle $8$ Kinobesuche zahlte er insgesamt:
$8 \cdot 8,70 € = 69,60 €$
Nun kostete ein Besuch im Kino-Center jeweils $8,40 €$ . Für die $5$ Besuche dort bezahlte er also:
$5 \cdot 8,40 € = 42,00 €$
Um die Kosten von den drei Kinobesuchen im Filmpalast zu berechnen, müssen von den Gesamtkosten $69,60 €$ die Kosten für die Kinobesuche im Kino-Center abgezogen werden.
$69,60 € - 42 € = 27,60 €$
Das sind die Kosten für drei Kinobesuche im Filmpalast. Für einen Besuch folgt also:
$27,60 € : 3 = 9,20 €$
Alternative Lösung für Fortgeschrittene
Definiere eine Variable $x$ :
$x :$ Kosten für einen Kinobesuch im Filmpalast
Aus den Informationen im Text kannst du eine Gleichung aufstellen.
$(5 \cdot 840 ct + 3 \cdot x) : 8 = 870 ct$
Nun brauchst du nur noch nach $x$ auflösen.
$x = 920 ct$
$\Rightarrow$ Die Eintrittskarte im Filmpalast kostet 9,20€.
Berechne zuerst die Kosten, die Herbert im Filmpalast bezahlen musste.
3
Kevin-Johannes wird aufgetragen, eine Sachaufgabe zu erstellen. Uninspiriert wie er ist, schreibt er eine Sachaufgabe über einen Jungen, der Kevin-Johannes heißt und eine Sachaufgabe zu erstellen hat. Kevin-Johannes benötigt genau $360 s$ , um diese Aufgabe zu erstellen. Wie viele Minuten hat Kevin-Johannes umgerechnet an diesem Meisterstück zeitgenössischer Schreibkunst gearbeitet?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umrechnung von Zeiteinheiten
$360$ Sekunden in Minuten umwandeln:
$360 s \div 60 s = 6$
Antwort: Kevin- Johannes hat $6$ Minuten zur Erstellung dieses weltbewegenden Stücks Text gebraucht.
4
Anton ist sehr schön und sehr toll. Unglücklicherweise löst das nicht seine Geldprobleme. Er schuldet einem Schulfreund $3 €$ und $115 c t$ und einem anderen Kumpel $12,40 €$ und $340 c t$ . Wie viele $5 -$ Centmünzen müsste Anton seinen beiden Freunden zahlen, wollte er seine Schulden ausschließlich mit Münzen besagten Wertes tilgen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umrechnungen innerhalb der Geldeinheit Euro
Freund 1:
gegeben: $3 € 115 c t$
Schritt 1: wandle 3€ in Cent um:
$3 \cdot 100 c t = 300 c t$
Schritt 2:
addiere 300 Cent und 115 Cent:
$300 c t + 115 c t = 415 c t$
Anton schuldet Freund 1 umgerechnet 415 Cent
Freund 2:
gegeben: $12,40 € 340 c t$
Schritt 1: wandle 12,40€ in Cent um:
$12,40 \cdot 100 c t = 1240 c t$
Schritt 2: addiere 1240 Cent und 340 Cent:
$1240 c t + 340 c t = 1580 c t$
Anton schuldet Freund 2 umgerechnet 1580 Cent
Letzer Schritt:
Addiere nun die Schulden, die Anton bei seinen Freunden hat, und teile das Ergebnis durch 5:
$415 c t + 1580 c t = 1995 c t$
$1995 c t : 5 c t = 399$
Die Antwort lautet (Trommelwirbel!) 399 $5 -$ Centmünzen! Viel Spaß beim Kleingeldklauben, Anton!
5
Ein rechteckiger Garten der Länge 12m und der Breite 9,5m soll eingezäunt werden. Wie lang ist der Zaun, wenn für zwei Gartentore jeweils 2,7m ausgespart werden?
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnung am Rechtek
Länge $l = 12 m$
Breite $b = 9,5 m$
Die Zaunlänge entspricht dem Umfang eines Rechtecks. Berechne also den Umfang $U$ .
$U = 2 l + 2 b$
Setzte die gegebenen Zahlenwerte für $l$ und $b$ ein.
$U = 2 \cdot 12 m + 2 \cdot 9,5 m$
$U = 43 m$
Für zwei Gartentore sollen jeweils 2,7 m ausgespart werden. Subtrahiere also die Gesamtlänge der Gartentore von dem Umfang des Gartens.
$2 \cdot 2,7 m = 5,4 m$
$43 m - 5,4 m = 37,6 m$
Der Zaun ist $37,6 m$ lang.
6
Herr Döhr will eine Reise nach Griechenland buchen. Dafür benötigt er jedoch $400 s$ Zeit. Wie viel Minuten braucht er dafür?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umrechnung von Zeiteinheiten
$400 s$ in Minuten umwandeln:

$400 s : 60 s = 6,67 M i n u t e n$ (auf zwei Kommastellen gerundet)

Antwort: Herr Döhr braucht 6,67 Minuten, um eine Reise zu buchen.
7
Frau Meier kauft einen neuen Wohnzimmerschrank zum Preis von $6768 €$ . Ein Viertel des Preises bezahlt sie sofort.
1. Wie viel muss sie pro Monat bezahlen, wenn sie den Rest des Kaufpreises auf $12$ Monate verteilen lässt?
  €
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Geldeinheiten
  Kaufpreis: $6768 €$
  Summe die direkt bezahlt wird: $\frac{1}{4} \cdot 6768 €$
  Gesamtansatz für die monatliche Rate aufstellen.
  $(6768 € - \frac{1}{4} \cdot 6768 €) : 12 = 423 €$
  
  $\Rightarrow$ Sie muss monatlich $423 €$ zahlen.
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  Berechne zuerst, wie viel Geld überhaupt noch bezahlt werden muss.
2. Fünf Monate nach dem Kaufabschluss bekommt sie eine Gehaltserhöhung und bezahlt ab dem $6$ . Monat $100 €$ mehr zurück. Im letzten Monat muss sie dann nur noch $346 €$ bezahlen. Nach wie vielen Monaten ist der Schrank vollständig bezahlt?
  Monate
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Geldeinheiten
  Summe, die direkt bezahlt wird: $\frac{1}{4} \cdot 6768 €$
  5 Monate lang Rate von $423 €$ + letzten Monat Rate von $346 €$ (insgesamt $6$ Monate)
  $x$ Monate lang Rate von $523 €$
  Gesamtansatz aufstellen.
  $x = [(6768 € - \frac{1}{4} \cdot 6768 €) - (5 \cdot 423 € + 346 €)] : 523 €$
  $x = (5089,5 € - 2466 €) : 524 €$
  $x = 5$
  $\Rightarrow$ Sie braucht $11$ Monate, um das Geld abzubezahlen.
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  Stelle einen Gesamtansatz auf.
8
Auf einem unbebauten, rechteckigen Grundstück, das $122,40 m$ lang und $83,16 m$ breit ist, soll ein Spiel- und Sportplatz angelegt werden.
Das Gelände soll dazu rundherum mit einem Zaun umgeben werden.
1. Wie viele $m$ Zaun braucht man, wenn dabei an einer Stelle $2,12 m$ für das Eingangstor frei gelassen werden müssen?
  m
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck und Quadrat
  Diese Aufgabe kannst du
  entweder schrittweise rechnen,
  oder lösen, indem du eine Formel anwendest.
  Hier stehen beide Möglichkeiten - suche dir die für dich passende aus.
  Lösung durch schrittweises Rechnen
  Plan zur Berechnung.
  In der Skizze erkennst du: Die Länge des Zauns sind die vier Seiten des Rechtecks zusammengerechnet minus das Tor.
  Rechne also zuerst die vier Rechtecksseiten zusammen.
  Vier Rechtecksseiten zusammenrechnen
  $\begin{array}{rr} 122,40 m \\ 83,16 m \\ 122,40 m \\ + & 83,16 m \\ 411,12 m \end{array}$
  Nun musst du noch das Tor abziehen.
  Breite des Tores abziehen
  $\begin{array}{rr} 411,12 m \\ - 2,12 m \\ 409,00 m \end{array}$
  Lösung: Man benötigt $409 m$ Zaun, um das Gelände einzuzäunen.
  Lösung mit Formel
  Plan zur Berechnung
  Gesucht ist
  der Umfang eines Rechtecks mit den Seiten $122,40 m$ und $83,16 m$
  minus die Torbreite von $2,12 m$ .
  Du brauchst also die Formel für den Umfang eines Rechtecks.
  Umfang berechnen und Torbreite abziehen
  $U = 2 \cdot a + 2 \cdot b$
  Setze hier die Werte ein:
  $122,40 m$ für $a$ , und
  $83,16 m$ für $b$
  (oder umgekehrt natürlich).
  $U = 2 \cdot 122,40 m + 2 \cdot 83,16 m = 411,12 m$
  Ziehe davon nun noch die Torbreite ab, um die Zaunlänge $l_{Z a u n}$ zu erhalten.
  $l_{Z a u n} = 411,12 m - 2,12 m = 409 m$
  Lösung: Man benötigt $409 m$ Zaun, um das Gelände einzuzäunen.
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2. Was kostet das Einzäunen des Grundstücks, wenn die Stadtverwaltung für $1 m$ Zaun $12 €$ bezahlen muss, und das Tor $264 €$ kostet?
  €
  
  Gegeben:
  $1 m$ Zaun kostet $12 €$
  Das Tor kostet $264 €$
  Außerdem weißt du aus Teilaufgabe 1:
  Man benötigt $409 m$ Zaun.
  Gesucht: Gesamtkosten
  Die Gesamtkosten sind die Kosten für den Zaun plus die Kosten für das Tor.
  Berechne zuerst die Kosten für den gesamten Zaun.
  Kosten für gesamten Zaun
  $ 1 m$ Zaun kosten $12 €$ , also kosten $409 m$ Zaun $409 \cdot 12 €$ .
  $\begin{array}{r} 409 \cdot 12 \\ 409 \\ 818 \\ 4908 \end{array}$
  Addiere nun noch die Kosten für das Tor.
  Gesamtkosten
  Kosten für Zaun + Kosten für Tor =
  $\begin{array}{rr} 4908 € \\ + & 264 € \\ 5172 € \end{array}$
  Lösung: Das Einzäunen kostet die Stadtverwaltung insgesamt $5172 €$ .
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Sachaufgaben

Alternative Lösung für Fortgeschrittene

Freund 1:

Schritt 1: wandle 3€ in Cent um:

Schritt 2:

Freund 2:

Schritt 1: wandle 12,40€ in Cent um:

Schritt 2: addiere 1240 Cent und 340 Cent:

Letzer Schritt:

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Lösung durch schrittweises Rechnen

Plan zur Berechnung.

Vier Rechtecksseiten zusammenrechnen

122,40 m83,16 m122,40 m+83,16 m411,12 m

Breite des Tores abziehen

411,12 m− 2,12 m409,00 m

Lösung mit Formel

Plan zur Berechnung

Umfang berechnen und Torbreite abziehen

U=2⋅a+2⋅b

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Kosten für gesamten Zaun

Gesamtkosten

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$\begin{array}{rr} 122,40 m \\ 83,16 m \\ 122,40 m \\ + & 83,16 m \\ 411,12 m \end{array}$

$\begin{array}{rr} 411,12 m \\ - 2,12 m \\ 409,00 m \end{array}$

$U = 2 \cdot a + 2 \cdot b$