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Aufgabe 1B

Bild

Gegeben ist die Schar der in R\mathbb{R} definierten Funktionen faf_{a} mit

fa(x)=ex(xa)2f_{a}(x)=e^{x} \cdot(x-a)^{2} mit aRa \in \mathbb{R}.

Jeder Graph der Schar hat genau einen Hochpunkt und genau einen Tiefpunkt.

  1. Der Graph von f1f_{1} hat in einem seiner Wendepunkte eine negative Steigung.

    Bestimmen Sie diesen Wendepunkt und diese Steigung. (6 BE)

  2. Jeder Graph von faf_{a} hat mit jeder der beiden Koordinatenachsen genau einen gemeinsamen Punkt.

    Geben Sie die Koordinaten dieser Punkte an.

    Begründen Sie, dass der gemeinsame Punkt mit der xx-Achse der Tiefpunkt des Graphen von faf_{a} ist. (4 BE)

  3. Für jeden Wert von aa mit a0a \neq 0 schließt die Gerade durch die beiden Extrempunkte des Graphen von faf_{a} mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Die Koordinaten der Hochpunkte sind: (a24ea2)\left(a-2 \mid 4 e^{a-2}\right)

    Berechnen Sie denjenigen Wert von aa, für den dieses Dreieck gleichschenklig ist. (6 BE)

  4. Für jeden Wert von aa gilt: fa(a)=0f_{a}(a)=0 und fa(a)=0f_{a}^{\prime}(a)=0 und fa(a)0f_{a}^{\prime \prime}(a) \neq 0

    Geben Sie die Bedeutung dieser Tatsache für die Graphen der Stammfunktionen zu faf_{a} an. (3 BE)

  5. Bild

    Abbildung 2 zeigt für einen bestimmten Wert von aa die Graphen von faf_{a}^{\prime} und faf_{a}^{\prime \prime}.

    Entscheiden Sie, welcher der beiden Graphen I und II zu welcher Ableitungsfunktion gehört, und begründen Sie Ihre Entscheidung. (3 BE)

  6. Abbildung 3

    Abbildung 3

    Der Schalldruckpegel wird oft umgangssprachlich als Lautstärke bezeichnet. Bei einem bestimmten Weckton eines Weckers wird der Schalldruckpegel durch die Funktionen hh und kk beschrieben:

    h(x)=20sin(x)h(x)=20 \cdot \sin (x) für 0x20 \leq x \leq 2

    k(x)=20sin(x2)+20sin(2)k(x)=20 \cdot \sin (x-2)+20 \cdot \sin (2)

    für 2x42 \leq x \leq 4

    Dabei ist xx die seit Beginn des Wecktons vergangene Zeit in Sekunden. h(x)h(x) und k(x)k(x) geben den Schalldruckpegel in Dezibel (db) an.

    Die Abbildung 3 zeigt die Graphen von hh und kk.

    Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Weckton den größten Schalldruckpegel hat.

    (6 BE)

  7. Dem Graphen von hh ist zu entnehmen, dass der Weckton in den ersten zwei Sekunden bestimmte Schalldruckpegel mehr als einmal annimmt. Zwei Zeitpunkte mit gleichem Schalldruckpegel haben jeweils einen bestimmten Abstand.

    Berechnen Sie den größten dieser Abstände. (6 BE)

  8. Berechnen Sie unter Verwendung der folgenden Information den durchschnittlichen Funktionswert von kk: (6 BE)

    Der durchschnittliche Funktionswert von kk im Intervall [a;b][a ; b] stimmt mit der Höhe eines Rechtecks überein, das die beiden folgenden Eigenschaften hat:

    • Das Rechteck hat die Breite bab-a.

    • Das Rechteck hat den gleichen Inhalt wie die Fläche, die für axba \leq x \leq b zwischen dem Graphen von kk und der xx-Achse liegt.