Knoten des Baumdiagramms

Die Merkmale in diesem Zufallsexperiment sind:

• $D$: Hat Datenschutzbedenken

• $\bar{D}$: Hat keine Datenschutzbedenken

• $F$: Hat ein Fitnessarmband

• $\bar{F}$: Hat kein Fitnessarmband

Jedes Ereignis musst du auf eine Stufe eingezeichnen. Dadurch ergibt sich ein 2-stufiges Baumdiagramm.

Der Satz "Von den Kunden mit Datenschutzbedenken nutzen $23 \%$ ein Fitnessarmband." verrät uns, dass auf der ersten Stufe die Datenschutzbedenken stehen müssen.

Wahrscheinlichkeiten des Baumdiagramms

• Die schwarzen Wahrscheinlichkeiten wurden aus der Aufgabenstellung übernommen

• Die blauen Wahrscheinlichkeiten müssen berechnet werden

  • Die Summe der Wahrscheinlichkeiten, die von einem Knoten ausgehen, ist 100%

  • Die 1. Pfadregel kann genutzt werden, um beim 3. Pfad die fehlende Wahrscheinlichkeit zu bestimmen

Da die Aufgabenstellung in zwei Sätzen formuliert ist, handelt es sich um die bedingte Wahrschienlichkeit $P_F(D)$.

Person benutzt ein Fitnessarmband

Im Baumdiagramm können die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade entnommen werden, in dem das Ereignis $F$ (steht für "Person hat Fitnessarmband") zutrifft. Es werden die Pfadregeln verwendet.

$P(F)=0{,}59\cdot 0{,}23+0{,}41\cdot 0{,}4634\approx 0{,}3257$

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass $D$ eintrifft (Datenschutzbedenken) unter der Bedingung $F$ (Fitnessarmband), ist:

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa $41{,}66~\%$.

Bedeutung der Terme

Die linke Seite beschreibt gerade die Wahrscheinlichkeit (siehe Baumdiagramm):

Die rechte Seite entspricht der Wahrscheinlichkeit (siehe (b)):

Wenn die Terme ungleich sind, gilt entsprechend: $P_D(F)\neq P(F)$.

Das heißt, dass der Ausgang von $F$ von der Bedingung $D$ abhängt. Sie sind stochastisch abhängige Ereignisse.

Das Zufallsexperiment

Laut Baumdiagramm haben $59~\%$ aller Personen Datenschutzbedenken. Damit ist $p=0{,}59$ der Parameter des Zufallsexperiments.

Wir gehen davon aus, dass diese Wahrscheinlichkeit für das Auswählen jeder einzelnen Person gilt, womit die Anzahl der Kunden mit Datenschutzbedenken $X$ binomialverteilt wäre.

$n=100$ ist die Länge unserer Bernoulli-Kette. Mehr als $50~\%$ der Kunden soll Datenschutzbedenken haben, also $k>50$.

Wahrscheinlichkeit $P(X> 50)$

Für die Binomialverteilung mit Parametern $n=100,~p=0{,}59$ gilt:

Beschreibung des Ereignisses

• Aus Teilaufgabe (d) oder aus dem Baumdiagramm ist das Ereignis: "Kunde hat Datenschutzbedenken" ($D$) bekannt. Für dieses Ereignis gilt: $P(D)=0{,}59$

• Die Summe von $k=51$ bis $k=100$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $51$ Kunden Datenschutzbedenken haben. $P(X\ge 51)$

• Das Subtrahieren der Summe von $1$ weist darauf hin, dass hier ein Gegenereignis berechnet wird: $\underbrace{1-}_{\text{Gegenereignis}}~~\underbrace{\sum_{k=51}^{100}\binom{100}{k}\cdot0{,}59^k\cdot a^b}_{P(X\ge 51)}$

Insgesamt ist also $P(X\le 50)$ gesucht - die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "Höchstens 50 der Kunden haben Datenschutzbedenken".

Werte für $a$ und $b$

• a ist die Gegenwahrscheinlichkeit von 0,59. Es gilt: $a+0{,}59=1\quad\Leftrightarrow\quad a=0{,}41$

• $k$ und $b$ ergeben zusammen $100$: $b=100-k$

Eingesetzt wäre der Term: $1-\sum_{k=51}^{100}\binom{100}{k}\cdot0{,}59^k\cdot 0{,}41^{100-k}$

Terme der Wahrscheinlichkeiten

Die Wahrscheinlichkeit von "Niemand der $2n$ Kunden hat Datenschutzbedenken" ist gegeben durch die Binomialverteilung:

Gleichermaßen ist die Wahrscheinlichkeit im Fall von $n$ Personen:

Gleichung untersuchen

Die Wahrscheinlichkeit für $2n$ Personen soll halb so groß sein:

$0{,}41^{2n}\cdot 2=0{,}41^n$

Wenn $0{,}41$ mit sich selbst multipliziert wird, wird das Produkt immer kleiner.

Das Produkt kann daher nie $0{,}5$ ergeben, sodass die gesuchte Zahl $n$ nicht existieren kann.

Wert für $n$

$p=0{,}1$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fitnessarmband nicht funktioniert.

Gesucht ist die Anzahl $n$, sodass die Wahrscheinlichkeit: $\underbrace{P(X\le 1)}_{\text{min. 1 Armband kaputt}}>0{,}99$

Wir stellen die Gleichung auf und lösen nach $n$ auf:

$n$ muss damit mindestens $44$ betragen.

Wahrscheinlichkeit $P(X\le 1)$

Die Anzahl der defekten Armbänder $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n=10$, $p=0{,}1$ und $k\ge 1$.

Wahrscheinlichkeit für defekte Armbänder an höchstens einer Kontrollstation

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens ein defektes Armband wird hier als Parameter $p$ verwendet.

Es werden $n=5$ Kontrollstationen untersucht und die Anzahl der Kontrollstationen mit defekten Armbändern "$Z$" soll höchstens $1$ sein:

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa $5{,}3~\%$.