Wahlteil - GTR - lernen mit Serlo!

Aufgabe 2B

Unter den Kunden eines Krankenversicherungsunternehmens haben $59 \%$ Datenschutzbedenken. Von den Kunden mit Datenschutzbedenken nutzen $23 \%$ ein Fitnessarmband. $19 \%$ aller Kunden haben keine Datenschutzbedenken und nutzen ein Fitnessarmband.

Stellen Sie den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Vierfeldertafel
Knoten des Baumdiagramms
Die Merkmale in diesem Zufallsexperiment sind:
$D$ : Hat Datenschutzbedenken
$\bar{D}$ : Hat keine Datenschutzbedenken
$F$ : Hat ein Fitnessarmband
$\bar{F}$ : Hat kein Fitnessarmband
Jedes Ereignis musst du auf eine Stufe eingezeichnen. Dadurch ergibt sich ein 2-stufiges Baumdiagramm.
Der Satz "Von den Kunden mit Datenschutzbedenken nutzen $23 \%$ ein Fitnessarmband." verrät uns, dass auf der ersten Stufe die Datenschutzbedenken stehen müssen.
Wahrscheinlichkeiten des Baumdiagramms
vollständiges Baumdiagramm
Die schwarzen Wahrscheinlichkeiten wurden aus der Aufgabenstellung übernommen
Die blauen Wahrscheinlichkeiten müssen berechnet werden
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten, die von einem Knoten ausgehen, ist 100%
Die 1. Pfadregel kann genutzt werden, um beim 3. Pfad die fehlende Wahrscheinlichkeit zu bestimmen
VorgehenWahrscheinlichkeit unten rechts im Baumdiagramm
$19 \%$ aller Kunden haben keine Datenschutzbedenken und nutzen ein Fitnessarmband.
Diese Wahrscheinlichkeit kann nicht direkt in das Innere des Baumdiagramms übernommen werden.
Man berechnet:
$\underbrace{0{,}41}_{\text{Hat keine Datenschutzbedenken}}\cdot \underbrace{x}_{\text{Hat ein Fitnessarmband}}=0{,}19$
$\Rightarrow x\approx46{,}34~\%$
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Bestimme die zwei Merkmale, die hier untersucht werden.
Skizziere für jedes Merkmal eine Stufe und trage die Wahrscheinlichkeiten ein.
Achte dabei auf die Reihenfolge: Gibt es bei einer Wahrscheinlichkeit eine Vorbedingung, sollte das Merkmal auf die zweite Stufe
Bestimme mit den Pfadregeln die übrigen Wahrscheinlichkeiten.

Eine unter allen Kunden zufällig ausgewählte Person nutzt ein Fitnessarmband. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie Datenschutzbedenken hat.

(3 BE)

Es gilt $0{,}23 \neq 0{,}59 \cdot 0{,}23+0{,}19$ .
Begründen Sie damit, dass die Ereignisse „Eine unter allen Kunden zufällig ausgewählte Person hat Datenschutzbedenken.“ und „Eine unter allen Kunden zufällig ausgewählte Person nutzt ein Fitnessarmband." stochastisch abhängig sind. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Unabhängigkeit von Ereignissen
Bedeutung der Terme
Die linke Seite beschreibt gerade die Wahrscheinlichkeit (siehe Baumdiagramm):
Die rechte Seite entspricht der Wahrscheinlichkeit (siehe (b)):
Wenn die Terme ungleich sind, gilt entsprechend: $P_D(F)\neq P(F)$ .
Das heißt, dass der Ausgang von $F$ von der Bedingung $D$ abhängt. Sie sind stochastisch abhängige Ereignisse.
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Untersuche die Terme und deren Bedeutung im Sachzusammenhang. Welche Ereignisse stellen sie dar?
Das Kriterium für stochastische Unabhängigkeit für Ereignisse $A$ und $B$ ist:
$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$ oder äquivalent $P(A|B)=P(A)$

100 Kunden des Unternehmens werden zufällig ausgewählt.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als $50 \%$ der ausgewählten Kunden Datenschutzbedenken haben. (2 BE)

Setzt man für $a$ und $b$ geeignete Werte ein, so kann mit dem Term
die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im Sachzusammenhang berechnet werden.
Geben Sie diese Werte für $a$ und $b$ an.
Beschreiben Sie das zugehörige Ereignis. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Beschreibung des Ereignisses
Aus Teilaufgabe (d) oder aus dem Baumdiagramm ist das Ereignis: "Kunde hat Datenschutzbedenken" ( $D$ ) bekannt. Für dieses Ereignis gilt: $P(D)=0{,}59$
Die Summe von $k=51$ bis $k=100$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $51$ Kunden Datenschutzbedenken haben. $P(X\ge 51)$
Das Subtrahieren der Summe von $1$ weist darauf hin, dass hier ein Gegenereignis berechnet wird: $\underbrace{1-}_{\text{Gegenereignis}}~~\underbrace{\sum_{k=51}^{100}\binom{100}{k}\cdot0{,}59^k\cdot a^b}_{P(X\ge 51)}$
Insgesamt ist also $P(X\le 50)$ gesucht - die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "Höchstens 50 der Kunden haben Datenschutzbedenken".

Werte für $a$ und $b$
a ist die Gegenwahrscheinlichkeit von 0,59. Es gilt: $a+0{,}59=1\quad\Leftrightarrow\quad a=0{,}41$
$k$ und $b$ ergeben zusammen $100$ : $b=100-k$
Eingesetzt wäre der Term: $1-\sum_{k=51}^{100}\binom{100}{k}\cdot0{,}59^k\cdot 0{,}41^{100-k}$
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Bestimme ein Ereignis, welches die Trefferwahrscheinlichkeit $p=0{,}59$ hat.
Verwende hierzu Teilaufgabe (d).
$a$ und $0{,}59$ müssen zusammenaddiert $1$ ergeben.
$b$ und $k$ müssen zusammen $100$ ergeben.

Untersuchen Sie, ob es eine natürliche Zahl $n$ gibt, für die die folgende Aussage richtig ist:

Werden $2 n$ Kunden des Unternehmens zufällig ausgewählt, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter diesen niemand Datenschutzbedenken hat, halb so groß wie bei $n$ Kunden.

(3 BE)

Bevor Fitnessarmbänder in den Verkauf gelangen, wird ihre Funktionsfähigkeit überprüft.

Erfahrungsgemäß sind $10 \%$ der Fitnessarmbänder falsch eingestellt.

Berechnen Sie, wie viele Fitnessarmbänder mindestens überprüft werden müssen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99 \%$ mindestens ein falsch eingestelltes Fitnessarmband zu entdecken. (3 BE)

An 5 Kontrollstationen werden jeweils 10 Fitnessarmbänder kontrolliert. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens an einer Kontrollstation mindestens ein falsch eingestelltes Fitnessarmband entdeckt wird. (5 BE)

$\displaystyle P_F(D)$	$=$	$\displaystyle \frac{P(D\cap F)}{P(F)}$
	↓	$P(F)$ von oben
	$=$	$\displaystyle \frac{P(D\cap F)}{0{,}3257}$
	↓	Baumdiagramm
	$=$	$\displaystyle \frac{0{,}59\cdot0{,}23}{0{,}3257}$
	$≈$	$\displaystyle 0{,}4166$

Verwenden des Gegenereignis
	↓
$\displaystyle P\left(X>50\right)$	$=$	$\displaystyle 1-P\left(X\le50\right)$
	↓	Verwenden der Verteilungsfunktion
	$=$	$\displaystyle 1-F_{100;0{,}59}\left(50\right)$
	↓	Taschenrechner
	$=$	$\displaystyle 1-0{,}0427...$
	$≈$	$\displaystyle 95{,}72\ \%$

$\displaystyle P_{2n}(X=0)$	$=$	$\displaystyle \binom{2n}{0}\cdot0{,}59^0\cdot0{,}41^{2n-0}$
	↓	Binomialkoeffizient ist 1. Außerdem $0{,}59^0=1$
	$=$	$\displaystyle 1\cdot1\cdot0{,}41^{2n}$
	$=$	$\displaystyle 0{,}41^{2n}$

$\displaystyle P_n(X=0)$	$=$	$\displaystyle \binom{2n}{0}\cdot0{,}59^0\cdot0{,}41^{n-0}$
	↓	Binomialkoeffizient ist 1. Außerdem $0{,}59^0=1$
	$=$	$\displaystyle 1\cdot1\cdot0{,}41^n$
	$=$	$\displaystyle 0{,}41^n$

$\displaystyle 0{,}41^{2n}\cdot2$	$=$	$\displaystyle 0{,}41^n$	$\displaystyle :0{,}41^n$
$\displaystyle \frac{0{,}41^{2n}}{0{,}41^n}\cdot2$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Potengesetze
$\displaystyle 0{,}41^n\cdot2$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle 0{,}41^n$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}$

Aufgabe 2B

Knoten des Baumdiagramms

Wahrscheinlichkeiten des Baumdiagramms

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Person benutzt ein Fitnessarmband

Bedingte Wahrscheinlichkeit

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Bedeutung der Terme

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Das Zufallsexperiment

Wahrscheinlichkeit $P(X> 50)$

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Beschreibung des Ereignisses

Werte für $a$ und $b$

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Terme der Wahrscheinlichkeiten

Gleichung untersuchen

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Wert für $n$

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Wahrscheinlichkeit $P(X\le 1)$

Wahrscheinlichkeit für defekte Armbänder an höchstens einer Kontrollstation

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$\displaystyle P(X\le1)$	$>$	$\displaystyle 0{,}99$
	↓	Verwenden das Gegenereignis "Es ist kein Armband kaputt"
$\displaystyle 1-P\left(X=0\right)$	$>$	$\displaystyle 0{,}99$	$\displaystyle -0{,}99$
$\displaystyle 0{,}01-P\left(X=0\right)$	$>$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +P\left(X=0\right)$
$\displaystyle 0{,}01$	$>$	$\displaystyle P\left(X=0\right)$
	↓	Binomialverteilung mit $n$ , $p=0{,}1$ und $k=0$
$\displaystyle 0{,}01$	$>$	$\displaystyle \binom{n}{0}\cdot 0{,}1^0\cdot 0{,}9^n$
	↓	Binomialkoeffizient ist $1$ und $0{,}1^0=1$
$\displaystyle 0{,}01$	$>$	$\displaystyle 1\cdot 1\cdot 0{,}9^n$
$\displaystyle 0{,}01$	$>$	$\displaystyle 0{,}9^n$	$\displaystyle \log_{0{,}9}()$
	↓	Beim Anwenden vom Logarithmus mit einer Basis kleiner $1$ wird das Ungleichzeichen gedreht.
$\displaystyle \log_{0{,}9}(0{,}01)$	$<$	$\displaystyle n$
$\displaystyle 43{,}7...$	$<$	$\displaystyle n$

Gegenereignis
	↓
$\displaystyle P(X\ge 1)$	$=$	$\displaystyle 1-P(X=0)$
	↓	Binomialverteilung
	$≈$	$\displaystyle 1-0{,}3487$
	$=$	$\displaystyle 0{,}6513$

Verteilungsfunktion
	↓
$\displaystyle P(Z\le1)$	$=$	$\displaystyle F_{5;0{,}6513}(1)$
	↓	Taschenrechner
	$≈$	$\displaystyle 0{,}0533$

Aufgabe 2B

Knoten des Baumdiagramms

Wahrscheinlichkeiten des Baumdiagramms

Hast du eine Frage oder Feedback?

Person benutzt ein Fitnessarmband

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bedeutung der Terme

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Das Zufallsexperiment

Wahrscheinlichkeit P(X>50)P(X> 50)P(X>50)

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Beschreibung des Ereignisses

Werte für aaa und bbb

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Terme der Wahrscheinlichkeiten

Gleichung untersuchen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Wert für nnn

Hast du eine Frage oder Feedback?

Wahrscheinlichkeit P(X≤1)P(X\le 1)P(X≤1)

Wahrscheinlichkeit für defekte Armbänder an höchstens einer Kontrollstation

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Wahrscheinlichkeit $P(X> 50)$

Werte für $a$ und $b$

Wert für $n$

Wahrscheinlichkeit $P(X\le 1)$