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Aufgabe 3A

Bild

Die Abbildung zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken AB,BC\overline{A B}, \overline{B C} und CD\overline{C D} mit

A(11110),B(111128),C(111128)A(11|11| 0), B(-11|11| 28), C(11|-11| 28) und D(11110)D(-11|-11| 0) besteht. A,B,CA, B, C und DD sind Eckpunkte eines Quaders.

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

  1. Bild

    Begründen Sie, dass die Punkte BB und CC symmetrisch bezüglich der x3x_{3}-Achse liegen. (2 BE)

  2. Berechnen Sie die Länge des Streckenzugs in der Wirklichkeit. (3 BE)

  3. Die Ebene EE enthält die Punkte A,BA, B und CC, die Ebene FF enthält die Punkte B,CB, C und DD.

    Bestimmen Sie eine Gleichung von EE in Koordinatenform. (3 BE)

    [Zur Kontrolle: 14x1+14x2+11x3=30814 x_{1}+14 x_{2}+11 x_{3}=308 ]

  4. Berechnen Sie die Größe α\alpha des Winkels, unter dem EE die x1x2x_{1} x_{2}-Ebene schneidet.

    Geben Sie einen Term an, mit dem aus α\alpha die Größe des Winkels zwischen den Ebenen EE und FF berechnet werden kann. (5 BE)

  5. Die Ebene EE teilt den Quader in zwei Teilkörper.

    Bestimmen Sie das Verhältnis der Volumina der beiden Teilkörper. (4 BE)

  6. Das Saarpolygon wird von verschiedenen Positionen aus betrachtet. Die Abbildungen 1 und 2 stellen das Saarpolygon für zwei dieser Positionen schematisch dar.

    Abbildung 2

    Abbildung 2

    Abbildung 1

    Abbildung 1

    Geben Sie zu jeder der beiden Abbildungen einen möglichen Vektor an, der die zu der Position gehörige Blickrichtung beschreibt.

    Stellen Sie das Saarpolygon schematisch für eine Betrachtung von oben dar. (4 BE)

  7. Der Punkt P(00h)P(0|0| h) liegt innerhalb des Quaders und hat von den drei Strecken AB,BC\overline{A B}, \overline{B C} und CD\overline{C D} den gleichen Abstand. Das folgende Gleichungssystem liefert den Wert von hh :

    i. OQ=(11110)+t(22028),t[0;1]\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{O Q}=\left(\begin{array}{c}11 \\ 11 \\ 0\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}-22 \\ 0 \\ 28\end{array}\right), t \in[0 ; 1]

    ii. PQAB=0\overrightarrow{P Q} \cdot \overrightarrow{A B}=0

    iii. PQ=28h|\overline{P Q}|=28-h

    Erläutern Sie die Überlegungen, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Wertes von hh zugrunde liegen. (4 BE)