Gleichung der Geraden durch die Punkte A und B

Verwende die Zwei-Punkteform der Geradengleichung für $A(4|18)$ und $B(12|6)$:

$y=\dfrac{6-18}{12-4}\cdot(x-4)+18=-\dfrac{12}{8}\cdot(x-4)+18=-\dfrac{3}{2}\cdot x+24$

Die Gleichung der Geraden, die den Mittelabschnitt beschreibt, lautet:$y=-\dfrac{3}{2}\cdot x+24$.

Größe des Winkels dieses Abschnitts der Rutschbahn gegenüber der Horizontalen

Es ist $\tan\varphi=m\;\Rightarrow\;\varphi=\tan^{-1}\left(-\dfrac{3}{2}\right)\approx-56{,}3^\circ$

Die Größe des gesuchten Winkels beträgt rund $56^\circ$.

Aufstellen des LGS

Ansatz:

$f(x)=ax^2+bx+c\;\Rightarrow\;f'(x)=2ax+b$

Erstelle mit den Bedingungen $f(12)=6,\; f(20)=0$ und $f'(20)=0$ ein lineares Gleichungssystem. (Der Auslaufbogen hat in seinem Endpunkt $C$ eine waagerechte Tangente.) :

$f(12)=6\;\Rightarrow\;\mathrm{(I)}\;\;\;6=a\cdot 12^2+b\cdot 12+c\;\Rightarrow\;\mathrm{(I)}\;\;\;6=a\cdot 144+b\cdot 12+c$

$f(20)=0\;\Rightarrow\;\mathrm{(II)}\;\;0=a\cdot 20^2+b\cdot 20+c\;\Rightarrow\;\mathrm{(II)}\;\;0=a\cdot 400+b\cdot 20+c$

$f'(20)=0\;\Rightarrow\;\mathrm{(III)}\;0=2a\cdot20+b\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow\mathrm{(III)}\;\;0=a\cdot40+b$

Der GTR-Rechner liefert als Lösung:

$a=\dfrac{3}{32}, b=-\dfrac{15}{4}$ und $c=\dfrac{75}{2}$

Die gesuchte quadratische Funktion hat die Gleichung:

Graphische Darstellung

Im Bereich $4 \leq x \leq 20$ ist die Fläche orange gekennzeichnet.

Flächeninhalt der Seitenfläche

Die markierte Fläche setzt sich aus zwei Teilen zusammen:

$A_{\text{ges}}=96+16=112$

Der Flächeninhalt der Seitenfläche beträgt $112\;\text{m}^2$.

Aufstellen der Normalengleichung

Erstelle die Gleichung der Normalen im Punkt $A(4|18)$ an der Geraden $y=-\frac{3}{2} x+24$.

Die Normale steht senkrecht auf der Geraden, d.h. $m_1\cdot m_2=-1$.

Eingesetzt in die Formel für die Normale:

Die Normalengleichung lautet also $n(x)=\dfrac{2}{3}\cdot x+\dfrac{46}{3}$.

Mittelpunkt M hat die Koordinaten $\left(0 \left\lvert\, \frac{46}{3}\right.\right)$

$n(0)=\dfrac{46}{3}$

Die Normale schneidet die y-Achse im Punkt $M(0|\frac{46}{3})$.

Die folgende Abbildung ist nicht gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Radius des Kreises

Die Entfernung der beiden Punkte $M(0|\frac{46}{3})$ und $A(4|18)$ ist der Radius des Kreises:

$r=d_{AM}=\sqrt{(4-0)^2+\left(18-\frac{46}{3}\right)^2}\approx4{,}8$

Der Radius des Kreises beträgt rund $4{,}8\;\text{m}$.

Höhe des Startpunkts der Rutschbahn oberhalb der Wasseroberfläche an

Berechne $h(0)$:

$h(0)=5{,}2$

Die Höhe des Startpunkts der Rutschbahn oberhalb der Wasseroberfläche beträgt $5{,}2\;\text{m}.$

Koordinaten des Endpunktes der Rutschbahn

Setze $h(x)=0{,}2$:

$\frac{3}{2500} x^{5}-\frac{3}{100} x^{4}+\frac{1}{4} x^{3}-\frac{3}{4} x^{2}+5{,}2=0{,}2$

Für $x>$0 liefert der GTR-Rechner die Lösung $x=10$.

Die Rutschbahn endet $0{,}2$ Meter oberhalb der Wasseroberfläche.

Deshalb hat der Endpunkt der Rutschbahn die Koordinaten $(10|0{,}2)$.

Lass Dir den Graphen von $h'(x)$ anzeigen

Der Graph hat zwei Tiefpunkte an den Stellen $x_1\approx1{,}464466...$ und $x_2\approx8{,}53553...$.

Der Graph hat an diesen beiden Stellen die größte Neigung.

Größte Neigung in Prozent

Für die Steigung an den Stellen $x_1$ und $x_2$ gilt dann:

$h'(1{,}46)=h'(8{,}54)=-0{,}9375$

Es ergibt sich eine Neigung von etwa $94\;\%$.

Berechnung der Punkte bzw. Stellen

Berechne $h'(x)=0$:

Du hast die drei Lösungen $x_1=0, x_2=5$ und $x_3=10$ erhalten.

Geradengleichung durch die Punkte

Betrachte nun die Punkte $(0|h(0))$ und $(5|h(5))$ auf dem Graphen und berechne die Geradengleichung $g(x)$ durch diese beiden Punkte.

$(0|h(0))\;\Rightarrow\;(0|5{,}2)$ und $(5|h(5))\;\Rightarrow\;(5|2{,}7)$

$g(x)=\dfrac{2{,}7-5{,}2}{5-0}\cdot (x-0)+5{,}2\;\Rightarrow\;g(x)=-\dfrac{1}{2}\cdot x+5{,}2$

Probe für den dritten Punkt

Für die dritte Lösung $x_3=10$ ergibt sich der Punkt $(10|h(10))$.

Aus Aufgabe f) ist bekannt, dass der Punkt $(10|0{,}2)$ auf $h$ liegt.

Prüfe, ob der Punkt $(10|0{,}2)$ auch auf $g$ liegt:

$g(10)=-\dfrac{1}{2}\cdot 10+5{,}2=0{,}2\;\Rightarrow\;$der Punkt $(10|0{,}2)$ liegt auch auf $g$.

Der Punkt $(10|h(10))=(10|0{,}2)$ liegt also auch auf der Geraden $g$.