Teil 2 Analysis I - lernen mit Serlo!

An einem Küstenabschnitt stranden immer wieder Delfine. Diese werden in einer Auffangstation gesund gepflegt, bis sie wieder in freier Natur überleben können. Um die Kapazität der Auffangstation zu erhöhen, soll ein zusätzliches Becken aus Edelstahl angefertigt werden, welches die Form eines geraden Kreiszylinders hat und nach oben offen ist.

Dazu steht ein begrenzter Vorrat an Edelstahlblechen zur Verfügung. Diese haben modellhaft insgesamt eine Fläche von $180 \pi \mathrm{m}^{2}$ . Aus Platzgründen kann das Becken nur einen maximalen Durchmesser von $20 \mathrm{~m}$ haben.

Die Funktion $V: r \mapsto V(r)$ beschreibt die Maßzahl des Volumens des Beckens in Kubikmetern in Abhängigkeit vom Radius $r$ in Metern.

Bei den Berechnungen kann auf das Mitführen von Einheiten verzichtet werden. Runden Sie Ihre Ergebnisse gegebenenfalls auf eine Nachkommastelle.

Stellen Sie eine Gleichung der Funktion V auf. Begründen Sie, dass für die mathematisch maximale Definitionsmenge der Funktion $V$ gilt: $\left.D_{V}=\right] 0 ; 10$ ]

[ Mögliches Ergebnis: $V(r)=-\frac{1}{2} \pi r^{3}+90 \pi r$ ] (5 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe

Haupt- und Nebenbedingung

Es handelt sich um ein Aquarium in Form eines Zylinders, dessen maximales Volumen später gesucht ist. Deshalb ist unsere Hauptbedingung, die von der Höhe h und dem Radius r abhängig ist:

$V(h,r)=r^2\pi h$

Die Nebenbedingung kannst du aus dem Text herauslesen: Das Aquarium ist nach oben geöffnet und besteht aus $180\pi \mathrm{m}^2$ .

Der Oberflächeninhalt A ist gegeben
	↓
$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle 180\pi$
$\displaystyle Boden+Mantel$	$=$	$\displaystyle 180\pi$
	↓	Der Mantel ist ein Rechteck mit den Seitenlängen $2\pi r$ und h, wobei $2\pi r$ dem Umfang des Kreises entspricht.
$\displaystyle r^2\ \pi+2\pi r\cdot h$	$=$	$\displaystyle 180\pi$

Nebenbedingung umformen und in Hauptbedingung einsetzen

In deiner Hauptbedingung soll nur noch die Variable r vorkommen. Forme deswegen die Nebenbedingung nach h um:

$\displaystyle r^2\pi\ +\ 2\pi rh$	$=$	$\displaystyle 180\pi$	$\displaystyle -r^2\pi$
$\displaystyle 2\pi rh$	$=$	$\displaystyle 180\pi-r^2\pi$	$\displaystyle :2\pi r$
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle \frac{180\pi-r^2\pi}{2\pi r}$
	↓	Setze h in die Hauptbedingung ein
$\displaystyle V\left(r\right)$	$=$	$\displaystyle r^2\pi\cdot\frac{180\pi-r^2\pi}{2\pi r}$
$\displaystyle V(r)$	$=$	$\displaystyle \frac{r^{\not2}\not{\pi}\cdot\left(180\pi-r^2\pi\right)}{2\not{\pi} \not r}$
	↓	Kürze
$\displaystyle V(r)$	$=$	$\displaystyle 90\pi r-0{,}5r^3$

Untersuchung der Definitionsmenge

untere Grenze: Die Zahl 0 ist aus der Definitionsmenge ausgeschlossen, da der Radius nicht negativ sein kann und auch für den Radius 0 noch kein Aquarium entsteht.

obere Grenze: Laut Vorgabe in der Aufgabenstellung soll der Durchmesser maximal 20m betragen. Der Radius ist der halbe Durchmesser, also 10m.

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Zeigen Sie, dass unter den oben genannten Vorgaben das Becken für einen Radius von $r=2 \sqrt{15}$ den maximalen Rauminhalt aufweist. Überprüfen Sie anschließend, ob dieses Becken für eine vorübergehende Haltung von drei Delfinen ausreicht, wenn pro Delfin $360 \mathrm{~m}^{3}$ Wasser zur Verfügung stehen sollen.

(7 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen

Ableitung von V

Die Ableitung von $V(r)=-\frac 1 2 \pi r^3+90\pi r$ ist:

$V'(r)=-1{,}5\pi r^2+90\pi$

Kandidaten für Extremstellen

Die Kandidaten für Extremstellen von $V$ liegen bei den Nullstellen von $V'$ :

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle V'(r)$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -1{,}5\pi r^2+90\pi$
	↓	$-1{,}5\pi$ ausklammern
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -1{,}5\pi\left(r^2-60\right)$	$\displaystyle :\left(-1{,}5\pi\right)$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle r^2-60$	$\displaystyle +60$
$\displaystyle 60$	$=$	$\displaystyle r^2$
	↓	Ziehe die Wurzel, beachte, dass es zwei Lösungen gibt
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{60}$
	↓	Zeige, dass $\sqrt{60}=2\sqrt{15}$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{4\cdot15}$
	↓	Teilweise radizieren
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \pm2\sqrt{15}$

Die Lösung $r=-2\sqrt{15}$ ist negativ und liegt somit nicht in $D_V$ .

Die Lösung $r=2\sqrt{15}\approx7{,}7$ liegt in $D_V=]0;10]$

(Da die Nullstelle eine einfache Vielfachheit hat und es somit eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel ist, liegt dort auch tatsächlich eine Extremstelle)

Funktionswerte an den Extrema und Rändern

Setze die Extremstelle $r=2\sqrt{15}\approx7{,}7$ und die Randextremstelle $r=10$ in $V(r)$ ein:

$V(2\sqrt{15})\approx1460{,}1$

$V(10)\approx1256{,}6$

Da der linke Rand ausgeschlossen ist, musst du hier den Grenzwert von $V(r)$ für $r\to0$ bestimmen:

$lim_{r\to 0}V(r)=0$

Das maximale Volumen gibt es also bei einem Radius von $7{,}7$ m. Es beträgt $1460{,}1 m^3$ .

Artgerechte Delfinhaltung

Drei Delfine brauchen laut Angabe ein Becken, dass mindestens $3\cdot360m^3=1080m^3$ groß ist.

Damit ist das Becken mit $1460{,}1m^3$ ausreichend groß.

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Berechnen Sie für den unter 2.2 gegebenen Beckenradius die Größe der Grundfläche des Beckens $A_{0}$ in Quadratmetern.
[ Ergebnis: $A_{0} \approx 188{,}5 \mathrm{~m}^{2}$ ]
(2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisumfang und Kreisfläche
Setze $r=2\sqrt{15}$ in die Formel $A=r^2\pi$ ein:
$A=(2\sqrt{15})^2\pi=60\pi\approx 188{,}5$
Das größtmögliche Becken hat eine Grundfläche von $188{,}5m^2$
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Verwende die Formel für den Flächeninhalt des Kreises. Den Radius bekommst du aus der letzten Teilaufgabe.
Ein zu Beginn (Zeitpunkt $t_{0}=0$ ) $0{,}5 \mathrm{~m}^{2}$ großer Algenteppich, der sich am Boden des Beckens mit der Grundfläche $A_{0}$ (siehe 2.3) gebildet hat, verdoppelt seine Fläche täglich.
Stellen Sie eine Gleichung der Funktion $A: t \mapsto A(t)$ auf, welche die Fläche des Algenteppichs in Quadratmetern in Abhängigkeit von der Zeit $t$ in Tagen angibt. Für die Definitionsmenge der Funktion $A$ gilt $D_{A}=[0 ; 8]$ .
(2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
Verwende eine einfache Exponentialfunktion der Form $A(t)=a\cdot b^t$
Zu Beginn ist der Algenteppich $0{,}5m^2$ groß: $a=0{,}5$
Die Größe verdoppelt sich täglich: $b=2$
Insgesamt also: $A(t)=0{,}5\cdot 2^t$
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Es handelt sich um eine Exponentialfunktion
Überlege dir den Startwert
Überlege dir den Wachstumsfaktor

Zeigen Sie, dass sich die Wachstumsfunktion A näherungsweise durch die Funktionsgleichung $\tilde{A}(t)=0{,}5 \cdot e^{0{,}6931 \cdot t}$ mit $D_{\tilde{A}}=D_{A}$ darstellen lässt und berechnen Sie damit, nach wie vielen Tagen zwei Drittel der gesamten Grundfläche des Beckens von Algen bedeckt wären, wenn nicht eingegriffen würde.

Runden Sie Ihr Ergebnis auf ganze Tage.

(6 BE)

$\displaystyle \tilde{A}\left(t\right)$	$=$	$\displaystyle 0{,}5\cdot e^{0{,}6931t}$
	↓	Potenzgesetz $a^{x\cdot y}=(a^x)^y$
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\cdot\left(e^{0{,}6931}\right)^t$
	↓	Berechne die Potenz in der Klammer: $e^{0{,}6931}\approx1{,}99991\approx2$
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\cdot2^t$
	$=$	$\displaystyle A\left(t\right)$

$\displaystyle \tilde{A}\left(t\right)$	$=$	$\displaystyle 40\pi$
$\displaystyle 0{,}5\cdot e^{0{,}6931t}$	$=$	$\displaystyle 40\pi$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle e^{0{,}6931t}$	$=$	$\displaystyle 80\pi$
	↓	Verwende den ln
$\displaystyle 0{,}6931t$	$=$	$\displaystyle \ln\left(80\pi\right)$	$\displaystyle :0{,}6931$
$\displaystyle t$	$≈$	$\displaystyle 8{,}0$

Haupt- und Nebenbedingung

Nebenbedingung umformen und in Hauptbedingung einsetzen

Untersuchung der Definitionsmenge

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Ableitung von V

Kandidaten für Extremstellen

Funktionswerte an den Extrema und Rändern

Artgerechte Delfinhaltung

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Äquivalenz der Funktionsterme

Bewachsene Beckenfläche

Zeitpunkt berechnen

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