Teil 2 Analysis 2 - lernen mit Serlo!

Betrachtet wird die Funktion $f : x \to \frac{x^{3} - x}{4 - x^{2}}$ mit ihrer maximalen Definitionsmenge $D_{f} \subset ℝ$ . Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen $G_{f}$ der Funktion $f .$

Bestimmen Sie $D_{f}$ sowie die Nullstellen von $f$ und geben Sie jeweils die Art der Definitionslücken von $f$ an. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich einer Funktion
Bestimme $D_{f}$
Gegeben ist $f (x) = \frac{x^{3} - x}{4 - x^{2}} = \frac{x (x^{2} - 1)}{(2 + x) \cdot (2 - x)} = \frac{x \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)}{(2 + x) \cdot (2 - x)}$ .
Der Nenner muss ungleich null sein, d.h. $x_{1} = - 2$ und $x_{2} = 2$ dürfen im Nenner nicht eingesetzt werden $\Rightarrow D_{f} = ℝ \ {- 2; 2}$

Bestimme die Nullstellen von $f$
Berechne $f (x) = 0$ :
Aus der Zerlegung des Zählers $0 = x \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
$x_{N_{1}} = 0, x_{N_{2}} = - 1, x_{N_{3}} = 1$
Gib jeweils die Art der Definitionslücken von $f$ an
Bei $x = - 2$ und bei $x = 2$ gibt es jeweils eine Polstelle 1. Ordnung mit Vorzeichenwechsel.
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Teil 1
Der Nenner muss ungleich null sein $\Rightarrow x_{1}$ und $x_{2}$ .
Teil 2
Setze den Zähler gleich null. Es gibt $3$ Nullstellen.
Teil 3
An den beiden Definitionslücken gibt es Polstellen (welcher Ordnung?)
$G_{f}$ besitzt genau vier lokale Extrempunkte. Die Koordinaten der beiden Extrempunkte $H_{1}$ und $T_{1}$ ergeben sich auf zwei Nachkommastellen gerundet zu $H_{1} (3,26 | - 4,74)$ bzw. $T_{1} (0,61 | - 0,11)$ . Zeigen Sie rechnerisch, dass $G_{f}$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist und geben Sie anschließend die gerundeten Koordinaten der Extrempunkte $H_{2}$ und $T_{2}$ an. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie von Graphen
Zeige rechnerisch, dass $G_{f}$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist
Berechne $f (- x)$ und zeige, dass $f (- x) = - f (x)$ ist $\Rightarrow$ Punktsymmetrie zum Ursprung.
$f (- x) = \frac{(- x)^{3} - (- x)}{4 - (- x)^{2}} = \frac{- x^{3} + x}{4 - x^{2}} = - \frac{x^{3} - x}{4 - x^{2}} = - f (x) ✓$
Gib anschließend die gerundeten Koordinaten der Extrempunkte $H_{2}$ und $T_{2}$ an
Wegen der Punktsymmetrie folgt:
$H_{1} (3,26 | - 4,74) \Rightarrow T_{2} (- 3,26 | 4,74)$
$T_{1} (0,61 | - 0,11) \Rightarrow H_{2} (- 0,61 | + 0,11)$ .
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Teil 1
Berechne $f (- x)$ und zeige, dass $f (- x) = - f (x)$ ist.
Teil 2
Wende die Punktsymmetrie auf die gegebenen Punkte an.
Ermitteln Sie für jede Asymptote von $G_{f}$ ihre Art und ihre Gleichung. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptote
Ermittle für jede Asymptote von $G_{f}$ ihre Art und ihre Gleichung
Bei $x = - 2$ und bei $x = 2$ gibt es jeweils eine Polstelle 1. Ordnung mit Vorzeichenwechsel. Demnach gibt es senkrechte Asymptoten bei $x = - 2$ und bei $x = 2$ .
Der Zählergrad ist um $1$ größer als der Nennergrad $\Rightarrow$ schräge Asymptote.
Führe eine Polynomdivision durch:
$\begin{array}{l} (x^{3} - x) : (- x^{2} + 4) = - x + \frac{3 x}{- x^{2} + 4} \\ - (x^{3} - 4 x) \\ 3 x \end{array}$
Die schräge Asymptote hat die Gleichung $y = - x$ .
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Teil 1
Bei $x = - 2$ und bei $x = 2$ gibt es jeweils eine Polstelle 1. Ordnung mit Vorzeichenwechsel. Demnach gibt es dort senkrechte Asymptoten.
Teil 2
Der Zählergrad ist um $1$ größer als der Nennergrad $\Rightarrow$ schräge Asymptote.
Führe eine Polynomdivision durch.
$G_{f}$ schneidet die x-Achse für $x > 0$ im Punkt $N$ (siehe Abbildung). Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an $G_{f}$ im Punkt $N$ .
$[$ Teilergebnis: $f^{'} (x) = \frac{- x^{4} + 11 x^{2} - 4}{(4 - x^{2})^{2}}$ $]$ (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Ermittle die Gleichung der Tangente an $G_{f}$ im Punkt $N$
Nach Aufgabe a) hat der Punkt $N$ die Koordinaten $N (1 | 0)$ .
Für die Tangentengleichung gilt:
$t : y = m \cdot x + b$
Dabei ist $m = f^{'} (1)$ , d.h. die 1. Ableitung von $f$ muss mit der Quotientenregel berechnet werden.
$f^{'} (x) = \frac{(4 - x^{2}) \cdot (3 x^{2} - 1) - (x^{3} - x) \cdot (- 2 x)}{(4 - x^{2})^{2}} = \frac{12 x^{2} - 4 - 3 x^{4} + x^{2} + 2 x^{4} - 2 x^{2}}{(4 - x^{2})^{2}}$
$f^{'} (x) = \frac{- x^{4} + 11 x^{2} - 4}{(4 - x^{2})^{2}} ✓$
$\Rightarrow m = f^{'} (1) = \frac{- 1^{4} + 11 \cdot 1^{2} - 4}{(4 - 1^{2})^{2}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$
$t : y = \frac{2}{3} \cdot x + b$
Setze $N (1 | 0)$ in $t$ ein $\Rightarrow 0 = \frac{2}{3} \cdot 1 + b \Rightarrow b = - \frac{2}{3}$ .
Die Gleichung der Tangente an $G_{f}$ im Punkt $N$ lautet $t : y = \frac{2}{3} \cdot x - \frac{2}{3}$
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Nach Aufgabe a) hat der Punkt $N$ die Koordinaten $N (1 | 0)$ .
Es ist $t : y = m \cdot x + b$ und $m = f^{'} (1)$
Berechne die 1. Ableitung von $f$ mit der Quotientenregel.
Gegeben sind die Gleichungen der zweiten, dritten und vierten Ableitungsfunktion der Funktion $f$ :
$f^{''} (x) = \frac{6 (x^{3} + 12 x)}{(4 - x^{2})^{3}} f^{'''} (x) = \frac{18 (x^{4} + 24 x^{2} + 16)}{(4 - x^{2})^{4}} f^{(4)} (x) = \frac{72 (x^{5} + 40 x^{3} + 80 x)}{(4 - x^{2})^{5}}$
(Nachweis nicht erforderlich!)
Es gilt: $D_{f}^{''} = D_{f}^{'''} = D_{f}^{(4)}$
Untersuchen Sie die vierte Ableitungsfunktion $f^{(4)}$ auf Nullstellen. Tragen Sie ausgehend von den gegebenen Ableitungen die fehlenden Zahlen in die leeren Kästchen im Term der fünften Ableitungsfunktion $f^{(5)}$ ein.
$f^{(5)} (x) = \frac{□ \cdot (x^{□} + 60 x^{□} + 240 x^{□} + 64)}{(4 - x^{2})^{□}}$ (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Substitution
Untersuche die vierte Ableitungsfunktion $f^{(4)}$ auf Nullstellen
$f^{(4)} = 0 \Rightarrow 0 = 72 (x^{5} + 40 x^{3} + 80 x) \Rightarrow 0 = x (x^{4} + 40 x^{2} + 80)$
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt: $x_{1} = 0$ und $x^{4} + 40 x^{2} + 80 = 0$
Löse die biquadratische Gleichung mithilfe der Substitution $x^{2} = z$ .
Zu lösen ist: $z^{2} + 40 z + 80 = 0$
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.
Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
$z_{1,2}$ $=$ $- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
↓
Setze $p = 40$ und $q = 80$ ein.
$=$ $- \frac{40}{2} \pm \sqrt{{(\frac{40}{2})}^{2} - 80}$
$=$ $- 20 \pm \sqrt{320}$
Du hast die beiden Lösungen $z_{1} = - 20 - \sqrt{320} \approx - 37,89$ und $z_{2} = - 20 + \sqrt{320} \approx - 2,11$ erhalten.
Die Rücksubstitution ergibt $x^{2} = - 37,89$ und $x^{2} = - 2,11$ .
Beide Gleichungen haben keine reellen Lösungen.
Also ist $x = 0$ die einzige Nullstelle von $f^{(4)}$ .
Trage ausgehend von den gegebenen Ableitungen die fehlenden Zahlen in die leeren Kästchen im Term der fünften Ableitungsfunktion $f^{(5)}$ ein
Betrachte den Vorfaktor:
Bei $f^{''}$ ist der Vorfaktor $6$ . Bei $f^{'''}$ ist der Vorfaktor $18$ , also $6 \cdot 3 = 18$ .
Bei $f^{'''}$ ist der Vorfaktor $18$ . Bei $f^{(4)}$ ist der Vorfaktor $72$ , also $18 \cdot 4 = 72$ .
Bei $f^{(4)}$ ist der Vorfaktor $72$ . Bei $f^{(5)}$ ist dann der Vorfaktor $72 \cdot 5 = 360$ .
Der Multiplikationsfaktor ( $orange$ ) von einer Ableitung zur nächsten entspricht
dem Grad der höheren Ableitung.
Vorfaktor $f^{''} \overset{\overset{}{\cdot 3}}{\to} =$ Vorfaktor von $f^{'''}$ usw.
Betrachte die Potenzen im Zähler:
$f^{''}$ hat nur ungerade Exponenten $3$ und $1$ .
$f^{'''}$ hat nur gerade Exponenten $4$ und $2$ .
$f^{(4)}$ hat nur ungerade Exponenten $5, 3, 1$ .
Dann hat $f^{(5)}$ nur gerade Exponenten $6, 4, 2$ .
Betrachte die Potenzen im Nenner:
$f^{''} : ()^{3}$
$f^{'''} : ()^{4}$
$f^{(4)} : ()^{5}$
Dann folgt für $f^{(5)} : ()^{6}$
Somit ergeben sich folgende Einsetzungen für die leeren Kästchen:
$f^{(5)} (x) = \frac{360 \cdot (x^{6} + 60 x^{4} + 240 x^{2} + 64)}{(4 - x^{2})^{6}}$
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Teil 1
Berechne $f^{(4)} = 0$ .
Löse die biquadratische Gleichung mithilfe der Substitution $x^{2} = z$ .
Teil 2
Betrachte den Vorfaktor. Wie ändert sich der Vorfaktor von einer Ableitung zur nächsten?
Betrachte die Potenzen im Zähler. Wie ändert sich die Potenzen von einer Ableitung zur nächsten?
Betrachte die Potenzen im Nenner. Wie ändert sich die Potenzen von einer Ableitung zur nächsten?
Schließe entsprechend für $f^{(5)}$ .

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$z_{1,2}$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
	↓	Setze $p = 40$ und $q = 80$ ein.
	$=$	$- \frac{40}{2} \pm \sqrt{{(\frac{40}{2})}^{2} - 80}$
	$=$	$- 20 \pm \sqrt{320}$

Bestimme Df

Bestimme die Nullstellen von f

Gib jeweils die Art der Definitionslücken von f an

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Zeige rechnerisch, dass Gf punktsymmetrisch zum Ursprung ist

Gib anschließend die gerundeten Koordinaten der Extrempunkte H2 und T2 an

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Ermittle für jede Asymptote von Gf ihre Art und ihre Gleichung

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Ermittle die Gleichung der Tangente an Gf im Punkt N

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Untersuche die vierte Ableitungsfunktion f(4) auf Nullstellen

Trage ausgehend von den gegebenen Ableitungen die fehlenden Zahlen in die leeren Kästchen im Term der fünften Ableitungsfunktion f(5) ein

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Bestimme $D_{f}$

Bestimme die Nullstellen von $f$

Gib jeweils die Art der Definitionslücken von $f$ an

Zeige rechnerisch, dass $G_{f}$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist

Gib anschließend die gerundeten Koordinaten der Extrempunkte $H_{2}$ und $T_{2}$ an

Ermittle für jede Asymptote von $G_{f}$ ihre Art und ihre Gleichung

Ermittle die Gleichung der Tangente an $G_{f}$ im Punkt $N$

Untersuche die vierte Ableitungsfunktion $f^{(4)}$ auf Nullstellen

Trage ausgehend von den gegebenen Ableitungen die fehlenden Zahlen in die leeren Kästchen im Term der fünften Ableitungsfunktion $f^{(5)}$ ein