Bestimmen Sie $D_f$ sowie die Nullstellen von $f$ und geben Sie jeweils die Art der Definitionslücken von $f$ an.

$G_f$ besitzt genau vier lokale Extrempunkte. Die Koordinaten der beiden Extrempunkte $H_1$ und $T_1$ ergeben sich auf zwei Nachkommastellen gerundet zu $H_1(\mathrm{3,26}|-\mathrm{4,74})$ bzw. $T_1(\mathrm{0,61}|-\mathrm{0,11})$. Zeigen Sie rechnerisch, dass $G_f$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist und geben Sie anschließend die gerundeten Koordinaten der Extrempunkte $H_2$ und $T_2$ an.

Ermitteln Sie für jede Asymptote von $G_f$ ihre Art und ihre Gleichung.

$G_f$ schneidet die x-Achse für $x>0$ im Punkt $N$ (siehe Abbildung). Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an $G_f$ im Punkt $N$.

[Teilergebnis: $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{-4x^4+11x^2-4}{(4-x^2{)}^2}}$ ]

Gegeben sind die Gleichungen der zweiten, dritten und vierten Ableitungsfunktion der Funktion $f$:

$f^{\prime \prime }(x)={\displaystyle \frac{6(x^3+12x)}{(4-x^2{)}^3}}$

$f^{\prime \prime \prime }(x)={\displaystyle \frac{18(x^4+24x^2+16)}{(4-x^2{)}^4}}$

$f^{\prime \prime \prime \prime }(x)={\displaystyle \frac{72(x^5+40x^3+80x)}{(4-x^2{)}^5}}$

(Nachweis nicht erforderlich!)

Es gilt: $D_f^{\prime \prime }=D_f^{\prime \prime \prime }=D_f^{\prime \prime \prime \prime }$

Untersuchen Sie die vierte Ableitungsfunktion $f^{\prime \prime \prime \prime }$ auf Nullstellen. Tragen Sie ausgehend von den gegebenen Ableitungen die fehlenden Zahlen in die leeren Kästchen im Term der fünften Ableitungsfunktion $f^{\prime \prime \prime \prime \prime }$ ein.

$f^{\prime \prime \prime \prime \prime }(x)={\displaystyle \frac{\square \cdot (x^{\square }+60x^{\square }+240x^{\square }+64}{(4-x^2{)}^{\square }}}$