Inhalt der Oberfläche der Pyramide $A B C D S_{k}$

$O_{\text{Pyramide}}=G+4\cdot A_{\triangle}$

Dabei ist $G=2^2=4$ und $A_{\triangle}=\dfrac{1}{2}\cdot g \cdot h$

Die Grundseite des Dreiecks ist $g=2.$

Die Mitte der Seite $\overline{BC}$ ist der Punkt $M$.

$\Rightarrow\;\vec m=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;M(2|1|0)$

Der Vektor $\overrightarrow{MS_k}=\begin{pmatrix}1\\1\\k\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\0\\k\end{pmatrix}$

Die Dreieckshöhe ist $h=|\overrightarrow{MS_k}|=\sqrt{(-1)^2+k^2}=\sqrt{1+k^2}.$

Dann folgt für den Inhalt der Pyramidenoberfäche:

.

Koordinaten des Spiegelpunktes $S_{k}$'

Für den Spiegelpunkt gilt:

Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $S_k'(3|3|-k)$.

Abstand von $S_k$ zu $S_k'$ beträgt 6

$\overrightarrow{S_kS_k'}=\begin{pmatrix}3\\3\\-k\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\-2k\end{pmatrix}$

$\left|\overrightarrow{S_kS_k'}\right|=\sqrt{2^2+2^2+(-2k)^2}=\sqrt{8+4k^2}$

Nun soll gelten: $\sqrt{8+4k^2}=6$

Da $k>1$ ist, erhält man als Lösung der Gleichung $k^2=7$ nur den positiven Wert $k=\sqrt{7}$.

Für $k=\sqrt{7}$ hat $S_{k}$ zu seinem Spiegelpunkt den Abstand $6$.

Gleichung von $L$ in Koordinatenform

$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{AS_k}=\begin{pmatrix}1\\1\\k\end{pmatrix}$

Es soll gelten:

$\vec n\circ \overrightarrow{AB}=0$ und $\vec n\circ \overrightarrow{AS_k}=0$

1. Gleichung: $\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}=0\;\Rightarrow\;2\cdot n_1+0+0=0\;\Rightarrow\;n_1=0$

2. Gleichung: $\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}1\\1\\k\end{pmatrix}=0$

Mit $n_1=0$ erhält man die Gleichung: $n_2+k\cdot n_3=0$

Wähle z.B. $n_3=-1,$ dann folgt: $n_2-k=0\;\Rightarrow\;n_2=k$.

Der Normalenvektor lautet demnach: $\vec n=\begin{pmatrix}0\\k\\-1\end{pmatrix}$

Da die Ebene $L$ den Koordinatenursprung $A(0|0|0)$ enthält, gilt für die Ebenengleichung: $L:\;k\cdot y-z=0$

Größe von $k$

Der Normalenvektor der Grundfläche $A B C D$ ist der Normalenvektor der xy-Ebene:

$\vec n_{xy}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$. Sein Betrag ist $|\vec n|=1$.

Der Normalenvektor der Seitenfläche ist $\vec n_L=\begin{pmatrix}0\\k\\-1\end{pmatrix}$.

Sein Betrag ist $|\vec n_L|=\sqrt{k^2+1}$.

Dann gilt für den Winkel: $\cos60^{\circ}=\dfrac{|\vec n_{xy}\circ\vec n_L|}{|\vec n_{xy}|\cdot|\vec n_L|}$

Da $k>1$ ist, erhält man als Lösung der Gleichung $k^2=3$ nur den positiven Wert $k=\sqrt{3}$.

Für $k=\sqrt{3}$ bilden die beiden Ebenen einen Winkel von $60^{\circ}$ miteinander.

Das Dreieck $B S_{k} D$ soll rechtwinklig sein

Berechne die Vektoren $\overrightarrow{BS_k}$ und $\overrightarrow{DS_k}$ und setze dann ihr Skalarprodukt gleich null.

$\overrightarrow{BS_k}=\begin{pmatrix}1\\1\\k\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\\k\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{DS_k}=\begin{pmatrix}1\\1\\k\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\\k\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{BS_k}\circ\overrightarrow{DS_k}=0\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}-1\\1\\k\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}1\\-1\\k\end{pmatrix}=0$

Man erhält die Gleichung:

Da $k>1$ ist, erhält man als Lösung der Gleichung $k^2=2$ nur den positiven Wert $k=\sqrt{2}$.

Für $k=\sqrt{2}$ ist das Dreieck $B S_{k} D$ rechtwinklig.

Die $x$ - und die $y$-Koordinate von $F_{k}$

Der Punkt $F$ hat wegen $z=1$ die Koordinaten $F(x|y|1)$.

Die Gerade durch die Punkte $B$ und $S_k$ hat die Gleichung:

$g_{BS_k}:\vec x=\overrightarrow{OB}+ r\cdot \overrightarrow{BS_k}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\k\end{pmatrix}$

Der Punkt $F$ liegt auf dieser Geraden:

$\Rightarrow\;\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}$

Aus Gleichung $\mathrm{(III)}$ folgt dann $r=\dfrac{1}{k}$.

$r=\dfrac{1}{k}$ eingesetzt liefert die x- und y-Koordinaten: $x=2-\dfrac{1}{k}$ und $y=\dfrac{1}{k}$.

Damit hat der Punkt $F$ die Koordinaten $F(2-\frac{1}{k}|\frac{1}{k}|1)$.

Verhältnis des Volumens der Pyramide $E_{k} F_{k} G_{k} H_{k} T$ zum Volumen der Pyramide $A B C D S_{k}$

Das Pyramidenvolumen ist $V=\dfrac{1}{3}\cdot G \cdot h$.

Die Dreiecke $ABS_k$ und $E_kF_kS_k$ sind ähnlich.

$S_k$ hat die z-Koordinate $z=k$.

Ein Punkt im Viereck $E_kF_kG_kH_k$ hat die z-Koordinate $z=1$.

Dann gilt mit dem Strahlensatz:

$\Rightarrow\;\dfrac{|\overline{E_kF_K}|}{|\overline{AB}|}=\dfrac{k-1}{k}$

Das Verhältnis der beiden Pyramidenvolumina soll $\dfrac{1}{8}$ betragen:

Nach Kürzen mit $\dfrac{1}{3}$ und Einsetzen von $\dfrac{|\overline{E_kF_K}|}{|\overline{AB}|}=\dfrac{k-1}{k}$ folgt:

Du hast die Lösungen $k_1=-\sqrt{5}+3\approx0{,}764$, $k_2=2$ und $k_3=\sqrt{5}+3\approx5{,}24$ erhalten. Die Lösung $k_1$ entfällt, da $k>1$ sein muss.

Für $k=2$ oder $k=\sqrt{5}+3$ beträgt das Verhältnis der beiden Pyramidenvolumina $\dfrac{1}{8}$.