Teil 2, Stochastik I

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Ein großer Bergbauernhof bietet seinen Gästen während ihres Urlaubsaufenthalts verschiedene Möglichkeiten an, das Leben auf dem Land zu genießen. Erfahrungsgemäß entscheiden sich die Hälfte aller Gäste auf einer der einsamen Hütten (H) zur Ruhe zu kommen, 30% verbringen ihren Aufenthalt im gemütlichen Stadl (S) und die übrigen Besucher übernachten im Bauernhaus (B). Bei der Anreise hat jeder Gast die Wahl, den steilen Weg bis zum Feriendomizil zu Fuß zurückzulegen ( $\overline T$ ) oder sich von einem Traktorshuttle (T) nach oben befördern zu lassen. Von den Hüttenbewohnern nutzen nur ein Viertel diesen Service, bei den Stadlgästen sind es die Hälfte, und von den Gästen im Bauernhaus erklimmt keiner zu Fuß den Berg. Für Stadlgäste und Gäste des Bauernhauses besteht zusätzlich die Möglichkeit ein Frühstück (F) dazu zu buchen. Jeweils ein Fünftel der Gäste nutzen dieses Angebot nicht, unabhängig davon, ob der Shuttleservice in Anspruch genommen wird oder nicht. Hüttenbewohner können kein Frühstück buchen. Die Befragung eines zufällig ausgewählten Gastes nach seinen getätigten Buchungen wird als Zufallsexperiment aufgefasst.
1. Bestimmen Sie unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse des betrachteten Zufallsexperiments.
  
  Aufbau des Baums
  Entsprechend der Reihenfolge im Text (und ein bisschen spicken bei der nächsten Teilaufgabe) ist der Baum wie folgt aufzubauen: erst die Unterbringung, dann der Transport und zuletzt das Frühstück.
  Das Frühstück ist dabei nicht für Hüttenbesucher buchbar, deshalb benötigst du dort die Äste nicht.
  Es entstehen, je nach deiner Präferenz, zwei mögliche Bäume, die beide später zum korrekten Ergebnis führen können:
  beim linken Baum ist das Frühstück überall aufgeführt, allerdings ist die Wahrscheinlichkeit, das Frühstück zu wählen, 0%
  Wahrscheinlichkeiten
  Aus dem Text kannst du herauslesen, dass...
  ... $P (H) = 0, 5$ , also die Hälfte eine Hütte buchen
  ... $P (S) = 0, 3$ , also 30% das Stadl buchen
  ... $P_H(T)=0{,}25$ , also ein Viertel der Hüttengäste das Shuttle nehmen
  ... $P_S(T)=0{,}5$ , also die Hälfte der Stadlgäste das Shuttle nehmen
  $...P_B(\overline T)=0$ , also kein Bauernhausgast zu Fuß geht
  ...sowohl bei den Stadtl- und Bauernhausgästen, die mit dem Shuttle anreisen als auch bei den Fußgängern $1 / 5$ kein Frühstück buchen (als Wahrscheinlichkeit wäre das $P_{S\cap T}(\overline F)$ beziehungsweise $P_{B\cap T}(\overline F)$ )
  Ergänzt du überall so, dass die Wahrscheinlichkeiten, die von einem Knoten ausgehen, immer in Summe 1 ergeben, so ergibt sich folgender Baum:
  Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse
  Berechne die Wahrscheinlichkeiten mithilfe der 1. Pfadregel, indem du die Teilwahrscheinlichkeiten multiplizierst.
  $P(HTF)=0{,}5\cdot 0{,}25\cdot 0=0$
  $P(HT\overline F)=0{,}5\cdot 0{,}25\cdot 1 =0{,}125$
  $P(H\overline T F)=0{,}5\cdot 0{,}75\cdot 0=0$
  $P(H\overline T \overline F)=0{,}5\cdot 0{,}75\cdot 1=0{,}375$
  $P(STF)=0{,}3\cdot 0{,}5\cdot 0{,}2=0{,}03\\ P(ST\overline F)=0{,}3\cdot 0{,}5\cdot 0{,}8=0{,}12\\ P(S\overline T F)=0{,}3\cdot 0{,}5\cdot 0{,}2=0{,}03\\ P(S\overline T\overline F)=0{,}3\cdot 0{,}5\cdot 0{,}8=0{,}12\\ P(BTF)=0{,}2\cdot 1\cdot 0{,}2=0{,}04\\ P(BT\overline F)=0{,}2\cdot 1 \cdot 0{,}8=0{,}16\\ P(B\overline T F)=0{,}2\cdot 0\cdot 0{,}2=0\\ P(B\overline T\overline F)=0{,}2\cdot 0\cdot 0{,}8=0$
  Die Summe aller Elementarereigniswahrscheinlichkeiten ergibt 1.
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  Verwende die vorgegeben Buchstaben. Die Reihenfolge der Angaben gibt dir einen Hinweis auf die Reihenfolge im Baum: Zuerst kommen die drei Unterbringungsarten, dann die zwei Transportarten und dann bei manchen Ästen noch die Frühstücksbuchung.
  Die erste Stufe besteht also aus H, S und B. Auf der zweiten Stufe unterscheidest du den Transport $T$ und $\overline T$ . Nur bei Pfaden, die mit S oder B starten, ergänzt du dann noch $F$ und $\overline F$ für das Frühstück.
  Auf der ersten Stufe benötigst du das Wissen, dass die Summe der Pfadwahrscheinlicheiten 1 ergibt, ebenso bei der zweiten Stufe.
  Bei der dritten Stufe kommt die wichtige Information "unabhängig davon, ob der Shuttleservice in Anspruch genommen wird" vor. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit an mehreren Pfaden eingetragen werden kann.
  Vergiss nicht am Ende mit der 1. Pfadregel die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse zu berechnen.
2. Gegeben sind folgende Ereignisse:
  $E_{1} :$ "Ein Gast entscheidet sich gegen den Aufstieg zum Bergbauernhof."
  $E_2=\{STF;S\overline TF;BTF\}$
  Geben Sie $E_{1}$ in aufzählender Mengenschreibweise an und berechnen Sie $P (E_{1})$ . Fassen Sie $E_{2}$ möglichst einfach in Worte und untersuchen Sie $E_{1}$ und $E_{2}$ auf Unvereinbarkeit.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mengen
  $E_{1}$ in aufzählender Mengenschreibweise
  Gesucht sind alle Ereignisse/ alle Buchungen, bei denen der Gast das Traktorshuttle (T) verwendet.
  Du kannst Pfade mit der Wahrscheinlichkeit 0 weglassen, da es sich dabei um unmögliche Ereignisse handelt.
  Damit ergibt sich:
  $E_1=\{{\color{grey}{HTF}};HT\overline F;STF;ST\overline F;BTF;BT\overline F\}$
  Wahrscheinlichkeit von $E_{1}$
  Addiere alle Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse aus der Menge oben.
  $P(E_1)=P(HTF)+P(HT\overline F)+ P(STF)+P(ST\overline F)+P(BTF)+P(BT\overline F)=0+0{,}125+0{,}03+0{,}12+0{,}04+0{,}16=0{,}375$
  $E_{2}$ in Worten
  die einzige Gemeinsamkeit aller drei Ereignisse ist, dass ein Frühstück bestellt wird. Beim Blick auf die Wahrscheinlichkeiten fällt auf, dass es sich genau um die Ereignisse mit einem Frühstück handelt, die wirklich auftreten (also eine Wahrscheinlichkeit von mehr als 0% haben).
  Eine mögliche Formulierung: $E_{2}$ umfasst alle tatsächlich auftretenden Befragungsergebnisse, bei denen der Gast ein Frühstück wählt.
  Unvereinbarkeit
  Sowohl STF als auch BTF sind in der Menge $E_{1}$ und in der Menge $E_{2}$ . Deshalb sind die Mengen nicht unvereinbar und es gilt:
  $E_1\cap E_2=\{STF;BTF\}\neq\{\} \Rightarrow$ Die Mengen sind vereinbar
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  Wähle für den ersten Teil der Frage alle Pfade, in denen T vorkommt (und nicht $\overline T)$ und schreibe diese in eine geschweifte Klammer, so wie du es bei $E_{2}$ siehst.
  Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, addierst du alle zugehörigen Wahrscheinlichkeiten aus der letzten Teilaufgabe.
  Überlege dir zuerst, welche Gemeinsamkeit dir bei den drei Buchstabenfolgen auffällt. Überlege dann mit Blick auf das Baumdiagramm, wie das Ereignis möglichst einfach formuliert werden kann.
  Unvereinbar sind zwei Mengen dann, wenn sie kein gemeinsames Element enthalten. Du hast jetzt beide Mengen in aufzählender Mengenschreibweise. Untersuche Sie auf mindestens ein Element, das in beiden Mengen vorkommt.
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Für Kinder gibt es auf dem Bauernhof spezielle Angebote, die stetig der Nachfrage angepasst werden sollen.
Derzeit stehen Ponys (P) zur Pferdepflege und für kleine Ausritte zur Verfügung. Ebenso besteht die Möglichkeit zur Mithilfe im Kuh- und Kälberstall (S). Aus dem Vorjahr ist bekannt, dass sich von 400 Kindern 108 für die Arbeit im Stall und 250 für die Ponys begeisterten , wobei 20% dieser Ponyinteressierten auch von der Mithilfe im Stall nicht genug bekommen konnten.
1. Berechnen Sie, für wie viel Prozent der Kinder ein Alternativangebot ohne Tierkontakt wünschenswert wäre
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel
  Vierfeldertafel erstellen
  Unterschieden werden die beiden Merkmale P und S:
  $P$
  $\overline P$
  $S$
  $\overline S$
  400 Kinder sind 100% der Kinder. Diese Zahl trägst du unten rechts in die Tabelle ein.
  $P$
  $\overline P$
  $S$
  $\overline S$
  1
  108 Kinder wollten im Stall mithelfen, das sind $\frac{108}{400}=0{,}27=27\%$ .
  Außerdem interessierten sich 250 Kinder für die Ponys, also $\frac{250}{400}=0{,}625=62{,}5\%$ .
  Diese Werte sind am jeweiligen Rand der Vierfeldertafel:
  $P$
  $\overline P$
  $S$
  0,27
  $\overline S$
  0,625
  1
  Bevor du die Vierfeldertafel fertig ausfüllen kannst, benötigst du eine letzte Angabe aus dem Text: $20 %$ der Ponyinteressierten wollten auch im Stall mithelfen.
  Warum ist "der Ponyinteressierten" fettgedruckt, fragst du dich vielleicht? Es handelt sich hier um eine bedingte Wahrscheinlichkeit. Die 0,2 kannst du nicht direkt oben links eintragen, du musst zuerst ausrechnen, wie viel $20 %$ von $62{,}5\%$ sind:
  $0{,}2\cdot 0{,}625=0{,}125$
  $P$
  $\overline P$
  $S$
  0,125
  0,145
  0,27
  $\overline S$
  0,5
  0,23
  0,73
  0,625
  0,375
  1
  Es interessieren sich also 23% weder für den Stall noch für die Ponys, sie würden ein Alternativangebot bevorzugen.
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  Entscheide dich, ob du eine Vierfeldertafel mit absoluten Zahlen (z.B. der 400) oder relativen Zahlen (z.B 20%) erstellen möchtest.
  Gesucht ist am Ende eine Prozentzahl, der Kinder, die weder mit Pferden noch mit Kühen arbeiten wollen.
2. Ermitteln Sie, ob die Mithilfe im Stall bei den Ponyinteressierten beliebter ist als bei denen, die sich nicht für Ponys begeistern.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: bedingte Wahrscheinlichkeit
  Vergleiche $P_{P} (S)$ und $P_{\overline P}(S)$ :
  $P_P(S)=\frac{0{,}125}{0{,}625}=0{,}2$ (war bereits gegeben)
  $P_{\overline P}(S)=\frac{0{,}145}{0{,}375}\approx 0{,}387$
  Es gibt also mehr Stallbesucher unter den Personen, die keine Ponys mögen, als unter denen, die Ponys mögen.
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  Vergleiche den Anteil der Stallbesucher unter den Ponyfans mit dem Anteil der sonstigen Personenunter den Ponyfans.
  Dazu musst du die jeweils passende Zahl aus dem inneren der Vierfeldertafel durch die passende Zahl aus der untersten Zeile der Vierfeldertafel dividieren, um die bedingte Wahrscheinlichkeit zu berechnen.

	$P$	$\overline P$
$S$	0,125	0,145	0,27
$\overline S$	0,5	0,23	0,73
	0,625	0,375	1

Nachdem beim Besitzer des Bergbauernhofs im vorletzten Jahr immer wieder Anfragen nach Freizeitaktivitäten für Erwachsene eingingen, bietet er seit letztem Jahr auch die in folgender Preisliste aufgeführten Erlebnisse an:

Die Gäste zeigen erfahrungsgemäß folgendes Wahlverhalten:

nur Melkkurs	nur Kochkurs	nur geführte Wanderung	Kochkurs und geführte Wanderung	kein Erlebnis
15%	22%	18%	10%	35%

Andere Kombinationen von Erlebnissen wurden nicht gewählt.

Ermitteln Sie die zu erwartenden Einnahmen des Bergbauernhofs durch das Erlebnisangebot für das aktuelle Jahr, wenn mit 900 erwachsenen Gästen für dieses Jahr gerechnet wird. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Ergänze die Tabelle aus der Angabe um den Gewinn bei dieser Buchung. Bucht man dabei den Kochkurs und die Wanderung, so bekommt man 10% Rabatt:
$0{,}9\cdot(8 € +22 €)=0{,}9\cdot 30 €=27 €$
Buchung
nur Melkkurs
nur Kochkurs
nur geführte Wanderung
Kochkurs und geführte Wanderung
kein Erlebnis
Anteil an Buchungen
15%
22%
18%
10%
35%
Einnahmen
12 €
22 €
8 €
27 €
0 €
Berechne jetzt den Erwartungswert:
$\mu=0{,}15\cdot 12 €+0{,}22\cdot 22 €+ 0{,}18 \cdot 8 €+0{,}1\cdot 27 € +0{,}35 \cdot 0 €=10{,}78 €$
Dies sind die zu erwartenden Einnahmen pro Besucher. Wenn du diese mit 900 multiplizierst, bekommst du die erwarteten Gesamteinnahmen:
$900\cdot 10{,}78 €=9702 €$
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Bestimme den zu erwartenden Gewinn pro Gast, indem du die Einnahmen mit der Wahrscheinlichkeit dieser Einnahmen verrechnest.
Multipliziere diesen Wert mit 900.

Buchung	nur Melkkurs	nur Kochkurs	nur geführte Wanderung	Kochkurs und geführte Wanderung	kein Erlebnis
Anteil an Buchungen	15%	22%	18%	10%	35%
Einnahmen	12 €	22 €	8 €	27 €	0 €

Da es für einzelne Erlebnisse für die zeitgleich anwesenden Urlaubsgäste Teilnehmerbegrenzungen gibt, interessiert sich der Landwirt für die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse. Bestimmen Sie diese.

$\mathrm{E}_{3}$ : „Von 25 Gästen wählen genau acht nur die geführte Wanderung.“

$\mathrm{E}_{4}$ : „Von 25 Gästen wählen mindestens vier und weniger als neun den Melkkurs.“ (3 BE)

Aufgrund der steigenden Nachfrage nach „Urlaub auf dem Bauernhof“ überlegt der Besitzer des Bergbauernhofs zusätzlich ein besonderes Erlebnis, Übernachtungen im Freien auf einem gemütlichen Heuwagen, anzubieten. Ein befreundeter Bauernhofbesitzer behauptet basierend auf seinen Erfahrungen, dass höchstens $30 %$ der Gäste dieses Angebot in Anspruch nehmen. Dennoch ist der Besitzer des Bergbauernhofs der festen Überzeugung, dass Übernachtungen im Freien ein neuer Trend sind und schätzt die Nachfrage deutlich höher ein (Gegenhypothese). Um dies zu überprüfen befragt er 200 seiner Gäste.

Entwickeln Sie für den Bauern einen geeigneten Hypothesentest auf einem Signifikanzniveau von $5 %$ und geben Sie an, ob der Behauptung des befreundeten Bauern auf Basis des Tests zugestimmt werden kann, wenn sich 131 Befragte gegen eine Übernachtung im Freien aussprechen. (5 BE)

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle P\left(4\le X<9\right)$	$=$
	↓	Bilde eine Differenz aus zwei kumulierten Wahrscheinlichkeiten. Beachte dabei, dass nur bis zur 8 aufaddiert wird und alles unterhalb der 4 abgezogen wird.
	$=$	$\displaystyle F\left(25;0{,}15;8\right)-F\left(25;0{,}15;3\right)$
	$=$	$\displaystyle 0{,}97476-0{,}31708$
	$=$	$\displaystyle 0{,}65768$

$\displaystyle P_{0{,}3}^{200}\left(T>c\right)$	$\leq ≤$	$\displaystyle 0{,}05$
$\displaystyle 1-P_{0{,}3}^{200}\left(T\le c\right)$	$\leq ≤$	$\displaystyle 0{,}05$	$\displaystyle +P_{0{,}3}^{200}\left(T\le c\right)-0{,}05$
$\displaystyle 0{,}95$	$\leq ≤$	$\displaystyle P_{0{,}3}^{200}\left(T\le c\right)$

Teil 2, Stochastik I

Aufbau des Baums

Wahrscheinlichkeiten

Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse

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$E_{1}$ in aufzählender Mengenschreibweise

Wahrscheinlichkeit von $E_{1}$

$E_{2}$ in Worten

Unvereinbarkeit

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Vierfeldertafel erstellen

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Hast du eine Frage oder Feedback?

Wahrscheinlichkeit von $E_{3}$

Wahrscheinlichkeit von $E_{4}$

Hast du eine Frage oder Feedback?

Testgröße und Hypothesen

Annahme und Ablehnungsbereich

Test durchführen

Teil 2, Stochastik I

Aufbau des Baums

Wahrscheinlichkeiten

Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse

Hast du eine Frage oder Feedback?

E1E_1E1​ in aufzählender Mengenschreibweise

Wahrscheinlichkeit von E1E_1E1​

E2E_2E2​ in Worten

Unvereinbarkeit

Hast du eine Frage oder Feedback?

Vierfeldertafel erstellen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Wahrscheinlichkeit von E3E_3E3​

Wahrscheinlichkeit von E4E_4E4​

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Testgröße und Hypothesen

Annahme und Ablehnungsbereich

Test durchführen

$E_{1}$ in aufzählender Mengenschreibweise

Wahrscheinlichkeit von $E_{1}$

$E_{2}$ in Worten

Wahrscheinlichkeit von $E_{3}$

Wahrscheinlichkeit von $E_{4}$