Teil 2

Aufteilen der Hauswand

Die Hauswand kann in ein Rechteck $AA$ und zwei gleich große rechtwinklige Dreiecke $BB$ und $CC$ aufgeteilt werden.

Fläche des Rechtecks $AA$

Die Fläche eines Rechtecks wird berechnet mit der Formel

$A_{\text{Rechteck}}=\text{L}\ddot{\text{a}}\text{nge}\cdot \text{Breite}A\_\{\backslash text\{Rechteck\}\}=\backslash text\{Länge\}\backslash cdot\backslash text\{Breite\}$

Einsetzen der Werte

$A_{\text{Rechteck}}=9\cdot 4=36A\_\{\backslash text\{Rechteck\}\}=9\backslash cdot\; 4=36$

Fläche der Dreiecke

Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks wird berechnet mit der Formel

$A_{\text{Dreieck}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\text{Kathete}}_1\cdot {\text{Kathete}}_{2}A\_\{\backslash text\{Dreieck\}\}=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; \backslash text\{Kathete\}\_1\; \backslash cdot\; \backslash text\{Kathete\}\_2$

Einsetzen der Werte

$A_{\text{Dreieck}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{4,5}\cdot 2=\mathrm{4,5}A\_\{\backslash text\{Dreieck\}\}=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; 4\{,\}5\; \backslash cdot\; 2=4\{,\}5$

Fläche der Hauswand

$A_{\text{Hauswand}}=A_{\text{Rechteck}}+2\cdot A_{\text{Dreieck}}A\_\{\backslash text\{Hauswand\}\}=A\_\{\backslash text\{Rechteck\}\}+2\backslash cdot\; A\_\{\backslash text\{Dreieck\}\}$

$A_{\text{Hauswand}}=36+2\cdot \mathrm{4,5}=45A\_\{\backslash text\{Hauswand\}\}=36+2\backslash cdot\; 4\{,\}5=45$

Die Hauswand hat $45{\text{ m}}^{2}45\backslash m^2$.

Berechnung der Anzahl benötigter Eimer

${\displaystyle \frac{45}{25}}=\mathrm{1,8}\backslash dfrac\{45\}\{25\}=1\{,\}8$

Da nur ganze Eimer gekauft werden können, werden $22$ Eimer benötigt.

Rima ist $152\text{ cm}152\backslash cm$ groß. Ein Baustein ist $\mathrm{1,9}\text{ cm}1\{,\}9\backslash cm$ hoch.

${\displaystyle \frac{152}{\mathrm{1,9}}}=80\backslash dfrac\{152\}\{1\{,\}9\}=80$

Rima benötigt $8080$ Bausteine.

Ein Baustein ist $\mathrm{1,9}\text{ cm}1\{,\}9\backslash cm$ hoch.

Höhe von $9696$ Bausteinen

$96\cdot \mathrm{1,9}=\mathrm{182,4}96\backslash cdot\; 1\{,\}9=182\{,\}4$

Rimas Vater ist $\mathrm{182,4}\text{ cm}182\{,\}4\backslash cm$ groß.

Unterhalb des vorgegebenen Musters werden noch zwei Reihen mit einmal $44$ und einmal $55$ Ziegeln angefügt.

Der Trinkhalm bildet die Hypotenuse $cc$ eines rechtwinkligen Dreiecks.

Die Seite und der Boden des Bechers sind die Katheten $aa$ und $bb$.

Nach dem Satz des Pythagoras gilt

$c^2=a^2+b^{2}c^2=a^2+b^2$

Werte einsetzen

$c^2=7^2+3^{2}c^2=7^2+3^2$

$c^2=58c^2=58$

$c=\sqrt{58}\approx \mathrm{7,62}c=\backslash sqrt\{58\}\backslash approx\; 7\{,\}62$

Der Trinkhalm im Becher ist etwa $\mathrm{7,62}\text{ cm}7\{,\}62\backslash cm$ lang.

Berechnung des überstehenden Teils des Trinkhalms

$\ddot{\text{u}}\text{berstehende L}\ddot{\text{a}}\text{nge}=\text{Gesamtl}\ddot{\text{a}}\text{nge}-\text{L}\ddot{\text{a}}\text{nge im Becher}\backslash text\{überstehende\; Länge\}=\backslash text\{Gesamtlänge\}-\backslash text\{Länge\; im\; Becher\}$

$\ddot{\text{u}}\text{berstehende L}\ddot{\text{a}}\text{nge}=22-\mathrm{7,62}=\mathrm{14,38}\backslash text\{überstehende\; Länge\}=22-7\{,\}62=14\{,\}38$

Vergleich

$\mathrm{14,38}>13\Rightarrow 14\{,\}38>13\; \backslash Rightarrow$ Der Becher kippt um.

Der Trinkhalm ist $22\text{ cm}22\backslash cm$ lang.

Damit der Becher nicht umkippt, darf der überstehende Teil maximal $13\text{ cm}13\backslash cm$ lang sein.

Der Teil des Trinkhalms im Becher ist somit $22-13=9\text{ cm}22-13=9\backslash cm$ lang.

Damit ist ein rechtwinkliges Dreieck gegeben mit

$cc$: Hypotenuse, Länge des Trinkhalms im Becher

$bb$: Kathete, Durchmesser des Bodens

$aa$: Kathete, gesuchte Höhe des Bechers

Werte einsetzen

$a^2+3^2=9^{2}a^2+3^2=9^2$

$a^2=9^2-3^{2}a^2=9^2-3^2$

$a=\sqrt{72}\approx \mathrm{8,49}a=\backslash sqrt\{72\}\backslash approx8\{,\}49$

Der Becher muss mindestens $\mathrm{8,49}\text{ cm}8\{,\}49\backslash cm$ hoch sein.

Das Land mit der geringsten Einwohnerzahl ist Luxemburg.

Es hat $\mathrm{0,65}\text{ Mio.}=6500000\{,\}65\backslash text\{\backslash \; Mio.\}=650\backslash ,000$ Einwohner

Zur Berechnung des Durchschnitts addiert man zuerst alle vorhandenen Werte und dividiert die Summe dann durch die Anzahl der Werte.

${\displaystyle \frac{\mathrm{5,9}+\mathrm{17,6}+\mathrm{11,7}+\mathrm{0,65}+\mathrm{64,8}+\mathrm{8,9}+9+\mathrm{10,7}+41}{9}}\approx \mathrm{18,92}\backslash dfrac\{5\{,\}9+17\{,\}6+11\{,\}7+0\{,\}65+64\{,\}8+8\{,\}9+9+10\{,\}7+41\}\{9\}\backslash approx\; 18\{,\}92$

Die durchschnittliche Einwohnerzahl der deutschen Nachbarländer beträgt $\mathrm{18,92}\text{ Mio.}=1892000018\{,\}92\backslash text\{\backslash \; Mio.\}=18\backslash ,920\backslash ,000$ Einwohner.

Berechnung der Anzahl der Einwohner

${\displaystyle \frac{84300000}{357588}}\approx \mathrm{235,75}\backslash dfrac\{84\backslash ,300\backslash ,000\}\{357\backslash ,588\}\backslash approx\; 235\{,\}75$

In Deutschland leben etwa $\mathrm{235,75}235\{,\}75$ Einwohner pro ${\text{ km}}^2\backslash km^2$.

Anzahl Einwohner in Berlin

Zur Berechnung, wie viel Prozent der Einwohner Deutschlands in Berlin wohnen, teile die Anzahl Einwohner Berlins durch die Anzahl Einwohner Deutschlands.

${\displaystyle \frac{3700000}{84300000}}\approx \mathrm{0,0439}\backslash dfrac\{3\backslash ,700\backslash ,000\}\{84\backslash ,300\backslash ,000\}\backslash approx\; 0\{,\}0439$

In Berlin wohnen etwa $\mathrm{4,39}\mathrm{\%}4\{,\}39\backslash \%$ der Einwohner Deutschlands.

Vergleich

Nele hat nicht recht.

Für die beiden ersten Zeilen der Tabelle suche auf der x-Achse den angegebenen Verbrauch, gehe dann senkrecht bis zum Graphen und lies auf der y-Achse die Kosten ab.

Für die letzte Zeile der Tabelle suche auf der y-Achse die angegebenen Kosten, gehe dann waagerecht bis zum Graphen und lies auf der x-Achse den Verbrauch ab.

Die Trinkwassergebühren werden durch eine lineare Funktion

$y=m\cdot x+by=m\backslash cdot\; x+b$

beschrieben.

$bb$: ist der y-Achsenabschnitt, bei dem der Funktionsgraph die y-Achse schneidet. Wird kein Trinkwasser verbraucht $(x=0)(x=0)$, muss mindestens die Grundgebühr gezahlt werden.

$mm$: ist die Steigung der Funktion. Sie gibt an, wie viel € pro ${\text{m}}^3\backslash text\{m\}^3$ gezahlt werden muss.

Die passende Funktionsgleichung lautet:

$y=2\cdot x+20y=2\backslash cdot\; x+\; 20$

Der Graph der Funktion ist eine Gerade.

Deshalb handelt es sich um eine lineare Funktion.

Erste Zeile

Insgesamt gibt es beim Würfeln mit dem 12er-Würfel $1212$ mögliche Ereignisse.

Die Wahrscheinlichkeit für eine "10" ist somit ${\displaystyle \frac{1}{12}}\backslash dfrac\{1\}\{12\}$.

Zweite Zeile

Folgende sechs Zahlen 3, 4, 6, 8, 9, 12 sind entweder durch 3 oder durch 4 teilbar.

Die Wahrscheinlichkeit für "durch 3" oder "durch 4" teilbare Zahl beträgt ${\displaystyle \frac{1}{2}}\backslash dfrac\{1\}\{2\}$.

Dritte Zeile

Für die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle \frac{1}{4}}\backslash dfrac\{1\}\{4\}$ muss aus der Menge von drei verschiedenen Zahlen eine Zahl gewürfelt werden, z.B. $11$, $22$ oder $33$.

Gewinn-Ereignisse von Mohamad

Das Ereignis "mindestens eine $99$" würfeln, heißt, eine $99$, $1010$, $1111$ oder $1212$ zu würfeln.

Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt ${\displaystyle \frac{4}{12}}\backslash dfrac\{4\}\{12\}$.

Gewinn-Ereignisse von Emrin

Das Ereignis "höchstens eine $44$" zu würfeln, heißt, eine $11$, $22$, $33$ oder $44$ zu würfeln.

Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt ${\displaystyle \frac{4}{12}}\backslash dfrac\{4\}\{12\}$.

Vergleich der Wahrscheinlichkeiten

Beide Wahrscheinlichkeiten sind gleich. Mohamad hat nicht recht mit seiner Beschwerde, das Spiel sei nicht fair.

Bei einer Wahrscheinlichkeit von ${\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{6}{12}}\backslash dfrac\{1\}\{2\}=\backslash dfrac\{6\}\{12\}$ können $66$ von $1212$ möglichen Seiten gewürfelt werden.

Bei einer Wahrscheinlichkeit von ${\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{4}{12}}\backslash dfrac\{1\}\{3\}=\backslash dfrac\{4\}\{12\}$ können $44$ von $1212$ möglichen Seiten gewürfelt werden.



Bei einer Wahrscheinlichkeit von ${\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{2}{12}}\backslash dfrac\{1\}\{6\}\; =\; \backslash dfrac\{2\}\{12\}$ können $22$ von $1212$ möglichen Seiten gewürfelt werden.