Aufgaben zur Berechnung eines Vektors zwischen zwei Punkten

Hier findest du Aufgaben zur Berechnung eines Vektors zwischen zwei Punkten. Übe dabei sowohl im zwei- als auch im dreidimensionalen Koordinatensystem.

1
Vektor gesucht
Bestimme den Vektor, indem du die richtigen Koordinaten zuordnest.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor zwischen zwei Punkten
Lösung
Koordinaten des Vektors
Von Anfang bis zur Spitze zählen wir die Kästchen:
Die x-Koordinate ist gegeben durch die Anzahl der Einheiten, die man nach rechts (bzw. links) gehen muss.
Die y-Koordinate ist gegeben durch die Anzahl der Einheiten, die man nach oben (bzw. unten) gehen muss.
2
Berechne den Verbindungsvektor vom jeweils ersten Punkt zum zweiten Punkt.
1. $\displaystyle A(1|1),\,B(-1|-1)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor zwischen zwei Punkten berechnen
  Um den Vektor zwischen $A$ und $B$ zu berechnen, subtrahierst du die jeweiligen Ortsvektoren.
  $\displaystyle \overrightarrow{AB}=\overrightarrow b-\overrightarrow a$
  Setz die Werte ein.
  $\displaystyle \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$
  Subtrahiere die Vektoren.
  $=\displaystyle \begin{pmatrix}-1-1\\-1-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-2\end{pmatrix}$
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2. $\displaystyle C(10|50),\,D(7|14)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor zwischen zwei Punkten berechnen
  Um den Vektor zwischen $C$ und $D$ zu berechnen, subtrahierst du die jeweiligen Ortsvektoren.
  $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow d-\overrightarrow c$
  Setz die Werte ein.
  $\displaystyle \overrightarrow{CD}=\begin{pmatrix}7\\14\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}10\\50\end{pmatrix}$
  Subtrahiere die Vektoren.
  $=\begin{pmatrix}7-10\\14-50\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\-36\end{pmatrix}$
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3. $\displaystyle E(-3|2),\, F(5|2)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor zwischen zwei Punkten berechnen
  Um den Vektor zwischen $E$ und $F$ zu berechnen, subtrahierst du die jeweiligen Ortsvektoren.
  $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow f-\overrightarrow e$
  Setz die Werte ein.
  $\overrightarrow{EF}=\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}$
  Subtrahiere die Vektoren.
  $\begin{pmatrix}5-(-3)\\2-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\0\end{pmatrix}$
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3
Bestimme die Koordinaten des Vektors, der im Bild zu sehen ist.
1. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor
  Zähle am Gitternetz die Zahl der Kästchen ab, die der Vektor nach rechts/links bzw. oben/unten führt.
  Wie du links in der Skizze erkennen kannst, führt der Vektor zwei Kästchen nach rechts und drei Kästchen nach oben.
  Da der Vektor nach oben und rechts führt, sind beide Koordinaten positiv.
  $\Rightarrow$ Der Vektor hat die Koordinaten $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$
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2. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor
  Zähle am Gitternetz die Zahl der Kästchen ab, die der Vektor nach rechts/links bzw. oben/unten führt.
  Wie du links in der Skizze erkennen kannst, führt der Vektor vier Kästchen nach rechts und ein Kästchen nach unten.
  Vorsicht! Da der Vektor nach unten führt, ist die $y$ -Koordinate negativ.
  $\Rightarrow$ Der Vektor hat die Koordinaten $\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}$
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4
Bestimme die Koordinaten des Vektors $\vec{v}$ mit Fußpunkt $A$ und Spitze $B$ .
1. $A (2 ∣ 0)$ , $B (8 ∣ 9)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren
  Verwende die Formel zur Berechnung der Koordinaten.
  $\vec{v} = \begin{pmatrix} b_x - a_x \\ b_y - a_y \end{pmatrix}$
  
  $A(2|0)\Rightarrow a_x=2,a_y=0$
  $B(8|9)\Rightarrow b_x=8,b_y=9$
  Setze die Koordinaten des Fußpunkts und der Spitze in die Formel ein.
  $\begin{pmatrix} 8 - 2 \\ 9 - 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}$
  Damit hast du die Koordinaten berechnet.
  $\Rightarrow \vec{v} = \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}$
  Skizze des Vektors:
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2. $A (4 ∣ 5)$ , $B (0 ∣ 1)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren
  Verwende die Formel zur Berechnung der Koordinaten.
  $\vec{v} = \begin{pmatrix} b_x - a_x \\ b_y - a_y \end{pmatrix}$
  Setze die Werte ein.
  $\begin{pmatrix} 0 - 4 \\ 1 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \end{pmatrix}$
  Skizze des Vektors:
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3. $A (- 4 ∣ - 1)$ , $B (4 ∣ 1)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren
  $\vec{v} = \begin{pmatrix} b_x - a_x \\ b_y - a_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - (-4) \\ 1 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 2 \end{pmatrix}$
  Skizze des Vektors:
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4. $A (- 4 ∣ 0)$ , $B (7 ∣ - 7)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren
  Verwende die Formel zur Berechnung der Koordinaten.
  $\vec{v} = \begin{pmatrix} b_x - a_x \\ b_y - a_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 - (-4) \\ -7 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ -7 \end{pmatrix}$
  Skizze des Vektors:
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5
Bestimme die Koordinaten des angegebenen Vektors
1. Der Vektor $\vec{v}$ verläuft von Punkt $A (2 ∣ - 10)$ zum Punkt $B (- 8 ∣ 7)$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Koordinaten eines Vektors bestimmen
  Fußpunkt und Spitze von $\vec{v}$ sind wie in der Beschreibung der Formel zur Bestimmung der Koordinaten als $A$ bzw. $B$ bezeichnet.
  Setze die Koordinaten von $A$ und $B$ in die Formel ein.
  $\vec{v} = \begin{pmatrix} b_x - a_x \\ b_y - a_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 - 2 \\ 7 - (-10) \end{pmatrix}$
  $\vec{v} = \begin{pmatrix} -10 \\ 17 \end{pmatrix}$
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2. Vektor $\vec{a}$ hat Fuß $P (3 ∣ 6)$ und Spitze $Q (1 ∣ 1)$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Koordinaten eines Vektors zwischen 2 Punkten bestimmen
  Fuß: $P (3 ∣ 6)$
  Spitze: $Q (1 ∣ 1)$
  Verwende zur Berechnung der Koordinaten die Formel zur Bestimmung der Koordinaten.
  $\vec{a} = \begin{pmatrix} b_x - a_x \\ b_y - a_y \end{pmatrix}$
  Die Punkte sind in diesem Fall nicht als $A$ und $B$ bezeichnet. Dementsprechend muss die Formel angepasst werden.
  $\vec{a} = \begin{pmatrix} q_x - p_x \\ q_y - p_y \end{pmatrix}$
  $P(3|6)\Rightarrow p_x=3,p_y=6$
  $Q(1|1)\Rightarrow q_x=1,q_y=1$
  Nun kannst du die Koordinaten der Punkte in die Formel einsetzen.
  $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 - 3 \\ 1 - 6 \end{pmatrix}$
  $\vec{a}= \begin{pmatrix} -2 \\ -5 \end{pmatrix}$
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3. $\vec{w}$ hat Fuß $B (- 1 ∣ 2)$ und Spitze $A (- 1 ∣ - 3)$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Koordinaten eines Vektors zwischen 2 Punkten bestimmen
  Fuß: $B (- 1 ∣ 2)$
  Spitze: $A (- 1 ∣ - 3)$
  Verwende zur Berechnung der Koordinaten die Formel zur Bestimmung der Koordinaten.
  $\vec{a} = \begin{pmatrix} b_x - a_x \\ b_y - a_y \end{pmatrix}$
  Vorsicht! In dieser Aufgabe sind der Fuß als $B$ und die Spitze als $A$ bezeichnet, also genau umgekehrt wie in der Formel. Diese lautet also in diesem Fall:
  $\vec{a} = \begin{pmatrix} a_x - b_x \\ a_y - b_y \end{pmatrix}$
  $B(-1|2) \Rightarrow b_x = -1, b_y = 2$
  $A(-1|-3) \Rightarrow a_x = -1, a_y = -3$
  Nun kannst du die Koordinaten der Punkte in die Formel einsetzen.
  $\vec{a} = \begin{pmatrix} -1 - (- 1) \\ -3 - 2 \end{pmatrix}$
  $\vec{a}= \begin{pmatrix} 0 \\ -5 \end{pmatrix}$
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6
Gib alle im unteren Bild abgebildeten Vektoren an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor
Repräsentanten
Von allen abgebildeten Vektoren sind mehrere Repräsentanten im Gitternetz zu sehen. In der folgenden Abbildung sind Repräsentanten desselben Vektors in derselben Farbe eingefärbt.
Somit reicht es, wenn du von jedem Vektor nur einen Repräsentanten betrachtest und dessen Koordinaten und somit die des Vektors bestimmst. Es ergeben sich vier Vektoren. Hier werden sie als $\vec{t}$ , $\vec{u}$ , $\vec{v}$ und $\vec{w}$ bezeichnet.
$\color{#FF6600}{\vec{t} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}}$ , $\color{#009999}{\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}}$ , $\color{#006400}{\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}}$ und $\color{#660099}{\vec{w} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix}}$
7
Bestimme jeweils die Koordinaten des Vektors $\vec v$ und veranschauliche in den Teilaufgaben b) bis d) durch eine Zeichnung!
1. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektorkoordinaten
  Zähle am Gitternetz die Anzahl der Längeneinheiten ab, die der Vektor (vom Fuß zur Spitze) nach rechts/links bzw. oben/unten führt.
  Der Vektor führt 5 LE nach rechts und 2 LE nach unten.
  $\Rightarrow$ Koordinaten: $\vec v = \begin{pmatrix}5\\-2\end{pmatrix}$
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2. $A(2|1), B(5|7{,}5), \vec v = \overrightarrow{AB}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor zwischen zwei Punkten berechnen
  geg.: $A (2 ∣ 1), B (5 ∣ 7,5)$
  ges.: $\vec v = \overrightarrow{AB}$
  Berechne die Koordinaten des Verbindungsvektors der Punkte $A$ und $B$ , indem du "Spitze minus Fuß" rechnest!
  $\displaystyle \vec v = \overrightarrow{AB}= \begin{pmatrix}5-2\\7{,}5-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\6{,}5\end{pmatrix}$
  Grafische Veranschaulichung
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3. Gegenvektor von $\vec v = \begin{pmatrix}-1{,}5\\4\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gegenvektor
  geg.: $\vec v = \begin{pmatrix}-1{,}5\\4\end{pmatrix}$
  ges.: Gegenvektor $-\vec v$
  Um den Gegenvektor zu bestimmen, ändere bei jeder Koordinate des Vektors das Vorzeichen!
  $\displaystyle -\vec v = \begin{pmatrix}-(-1{,}5)\\-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1{,}5\\-4\end{pmatrix}$
  Grafische Veranschaulichung
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4. Ortsvektor von $C (0 ∣ 6)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ortsvektor
  Ortsvektor bestimmen
  geg.: $C (0 ∣ 6)$
  ges.: Ortsvektor $\overrightarrow C = \overrightarrow{OC}$
  Um den Ortsvektor eines Punktes zu bestimmen, übernimm die Koordinaten des Punktes als Koordinaten des Vektors!
  $\displaystyle \overrightarrow{C} = \overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix}$
  Grafische Veranschaulichung
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8
Berechne zu den gegebenen Koordinaten $A, B$ jeweils den Verbindungsvektor $\overrightarrow{AB}$ .
Hinweis: Gib den Vektor $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ als $\left(x,y,z\right)$ in das Feld ein.
1. $A (0 ∣ 0 ∣ - 1), B (1 ∣ 0 ∣ 0)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor zwischen zwei Punkten berechnen
  Gegeben: $A (0 ∣ 0 ∣ - 1), B (1 ∣ 0 ∣ 0)$
  Gesucht: $\overrightarrow{AB}$
  Es ist $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ .
  $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$
  Subtrahiere die Vektoren.
  $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 1-0 \\ 0-0 \\ 0-(-1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
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2. $A (1 ∣ 2 ∣ 3), B (3 ∣ 2 ∣ 1)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor zwischen zwei Punkten berechnen
  Gegeben: $A (1 ∣ 2 ∣ 3), B (3 ∣ 2 ∣ 1)$
  Gesucht: $\overrightarrow{AB}$
  $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$
  $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$
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3. $A (- 2 ∣ - 4 ∣ - 6), B (- 3 ∣ - 2 ∣ - 1)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor zwischen zwei Punkten berechnen
  Gegeben: $A (- 2 ∣ - 4 ∣ - 6), B (- 3 ∣ - 2 ∣ - 1)$
  Gesucht: $\overrightarrow{AB}$
  $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$
  $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} -3-(-2) \\ -2-(-4) \\ -1-(-6) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$
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