Teil 2 Analysis I: mit Hilfsmitteln

Überprüfe, ob die gegebenen wissenschaftlichen Daten zum Höhenwachstum mit den entsprechenden Baumhöhen, welche sich aus der Modellfunktion $h$ ergeben, im Einklang stehen

Gegeben: $h(t)={\displaystyle \frac{108}{2+51\cdot e^{-\mathrm{0,065}\cdot t}}}$

$t=0\Rightarrow h(0)={\displaystyle \frac{108}{2+51\cdot e^{-\mathrm{0,065}\cdot 0}}}={\displaystyle \frac{108}{53}}\approx \mathrm{2,04}2\le \mathrm{2,04}\le 3;✓$

$t=20\Rightarrow h(20)={\displaystyle \frac{108}{2+51\cdot e^{-\mathrm{0,065}\cdot 20}}}\approx \mathrm{6,79}5\le \mathrm{6,79}\le 10;✓$

$t=50\Rightarrow h(50)={\displaystyle \frac{108}{2+51\cdot e^{-\mathrm{0,065}\cdot 50}}}\approx \mathrm{27,15}25\le \mathrm{27,15}\le 30;✓$

$t=100\Rightarrow h(100)={\displaystyle \frac{108}{2+51\cdot e^{-\mathrm{0,065}\cdot 100}}}\approx \mathrm{52,01}50\le \mathrm{52,01}\le 54;✓$

Die gegebenen wissenschaftlichen Daten zum Höhenwachstum stehen mit den entsprechenden Baumhöhen, welche sich aus der Modellfunktion $h$ ergeben, im Einklang.

Ermittle alle Zeitpunkte $t\in [0;100]$, an denen laut Modell die momentane Wachstumsrate dieses Mammutbaumes $\mathrm{0,78}$ Meter pro Jahr beträgt

Die Wachstumsrate entspricht der 1. Ableitung nach der Zeit von der Funktion $h$.

Bilde die 1. Ableitung mithilfe der Potenzregel und der Kettenregel.

$h(t)={\displaystyle \frac{108}{2+51\cdot e^{-\mathrm{0,065}\cdot t}}}=108\cdot {(2+51\cdot e^{-\mathrm{0,065}\cdot t})}^{-1}$

$\dot{h}(t)=108\cdot (-1)\cdot {(2+51\cdot e^{-\mathrm{0,065}\cdot t})}^{-2}\cdot 51\cdot e^{-\mathrm{0,065}\cdot t}\cdot (-\mathrm{0,065})=$

$\mathrm{358,02}\cdot {(2+51\cdot e^{-\mathrm{0,065}\cdot t})}^{-2}\cdot e^{-\mathrm{0,065}\cdot t}={\displaystyle \frac{\mathrm{358,02}\cdot e^{-\mathrm{0,065}\cdot t}}{{(2+51\cdot e^{-\mathrm{0,065}\cdot t})}^2}}✓$

Löse die Gleichung $\dot{h}(t)=\mathrm{0,78}$:

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten:

$0=\mathrm{2028,78}\cdot {\left(e^{-\mathrm{0,065}\cdot t}\right)}^2-\mathrm{198,9}\cdot e^{-\mathrm{0,065}\cdot t}+\mathrm{3,12}$

Substitution anwenden:

Zur Vereinfachung wird $z=e^{-\mathrm{0,065}t}$ gesetzt. Die Gleichung lautet dann:

$0=\mathrm{2028,78}{z}^2-\mathrm{198,9}z+\mathrm{3,12}$

Die quadratische Gleichung kannst Du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.

Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.

$z_1={\displaystyle \frac{\mathrm{198,9}-\mathrm{119,34}}{\mathrm{4057,56}}}\approx \mathrm{0,0196}$ und $z_2={\displaystyle \frac{\mathrm{198,9}+\mathrm{119,34}}{\mathrm{4057,56}}}\approx \mathrm{0,0784}$

Rücksubstitution:

$\Rightarrow e^{-\mathrm{0,065}{t}_1}=\mathrm{0,0196}\Rightarrow -\mathrm{0,065}{t}_1=\ln \mathrm{0,0196}\Rightarrow t_1={\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,0196}}{-\mathrm{0,065}}}\approx \mathrm{60,50}$ und $e^{-\mathrm{0,065}{t}_2}=\mathrm{0,0784}\Rightarrow -\mathrm{0,065}{t}_2=\ln \mathrm{0,0784}\Rightarrow t_2={\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,0784}}{-\mathrm{0,065}}}\approx \mathrm{39,17}$

Die Zeitpunkte $t\in [0;100]$, an denen laut Modell die momentane Wachstumsrate dieses Mammutbaumes $\mathrm{0,78}$ Meter pro Jahr beträgt, sind rund $\mathrm{39,17}$ und $\mathrm{60,50}$ Jahre nach der Pflanzung.

Anmerkung: Wird die quadratische Gleichung mit einem TR gelöst, dann ist $z_1={\displaystyle \frac{1}{51}}$ und $z_2={\displaystyle \frac{4}{51}}$. Dann erhältst Du für die Zeiten $\mathrm{39,16}$ und $\mathrm{60,49}$ Jahre.

Zeichne unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse sowie weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion $h$ im Bereich $0\le t\le 100$ in ein kartesisches Koordinatensystem

Erstelle eine Wertetabelle:

Bestimme rechnerisch die durchschnittliche Wachstumsrate, mit der die Höhe eines Mammutbaumes dem Modell zufolge im Zeitraum $[20;60]$ pro Jahr zunimmt

Die durchschnittliche Wachstumsrate (auch mittlere Änderungsrate genannt) im Intervall $[20;60]$ wird über den Differenzenquotienten berechnet: $\text{Durchschnittliche Wachstumsrate}={\displaystyle \frac{h(60)-h(20)}{60-20}}$ Entnimm die Werte $h(20)$ und $h(60)$ aus der Wertetabelle Aufgabe c).

$\text{Wachstumsrate}={\displaystyle \frac{\mathrm{35,62}-\mathrm{6,79}}{60-20}}={\displaystyle \frac{\mathrm{28,83}}{40}}\approx \mathrm{0,72}\text{ m/Jahr}$ Dem Modell zufolge nimmt die Höhe des Mammutbaumes im Zeitraum von $t=20$ bis $t=60$ um durchschnittlich $\mathrm{0,72}$ Meter pro Jahr zu.

Bestätige Dein Ergebnis graphisch, indem Du in der Zeichnung aus Teilaufgabe c) eine entsprechende Gerade und das zur Rechnung passende Steigungsdreieck einzeichnest und gib die zum Steigungsdreieck gehörigen Werte $\mathrm{\Delta }t$ und $\mathrm{\Delta }h$ an

Die Gerade (Sekante) verbindet die beiden Zeitpunkte auf der Kurve.

Das Steigungsdreieck veranschaulicht das Verhältnis der Zunahmen: Die waagerechte Seite entspricht der Zeitspanne $\mathrm{\Delta }t=40$.

Die senkrechte Seite entspricht dem Höhenzuwachs $\mathrm{\Delta }h\approx \mathrm{28,82}\text{ m}$.

Die Steigung dieser Geraden entspricht exakt der berechneten durchschnittlichen Wachstumsrate von etwa $\mathrm{0,72}$.

Zeige, dass $h(t)$ zum Term ${\displaystyle \frac{108\cdot e^{\mathrm{0,065}\cdot t}}{2\cdot e^{\mathrm{0,065}\cdot t}+51}}$ äquivalent ist

$h(t)={\displaystyle \frac{108}{2+51\cdot e^{-\mathrm{0,065}\cdot t}}}\cdot {\displaystyle \frac{e^{\mathrm{0,065}\cdot t}}{e^{\mathrm{0,065}\cdot t}}}={\displaystyle \frac{108\cdot e^{\mathrm{0,065}\cdot t}}{2\cdot e^{\mathrm{0,065}\cdot t}+51\cdot e^{-\mathrm{0,065}\cdot t}\cdot e^{\mathrm{0,065}\cdot t}}}=$

${\displaystyle \frac{108\cdot e^{\mathrm{0,065}\cdot t}}{2\cdot e^{\mathrm{0,065}\cdot t}+51\cdot e^0}}={\displaystyle \frac{108\cdot e^{\mathrm{0,065}\cdot t}}{2\cdot e^{\mathrm{0,065}\cdot t}+51}}✓$ (mit $e^0=1$)

Ermittle eine Stammfunktion $H$ der Funktion $h$

Logarithmische Integration:

$${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{g^{\prime }(t)}{g(t)}}\mathrm{d}t=\ln |g(t)|+C}$$

Es ist $g(t)=2\cdot e^{\mathrm{0,065}\cdot t}+51$.

Dann ist die 1. Ableitung von $g$: $g^{\prime }(t)=2\cdot \mathrm{0,065}\cdot e^{\mathrm{0,065}\cdot t}=\mathrm{0,13}\cdot e^{\mathrm{0,065}\cdot t}$

Den Zähler an die Ableitung anpassen:

Im Zähler der Originalfunktion steht $108\cdot e^{\mathrm{0,065}\cdot t}$.

Forme den Term $\mathrm{0,13}\cdot e^{\mathrm{0,065}\cdot t}$ so um, dass $g^{\prime }(t)$ sichtbar wird: $108\cdot e^{\mathrm{0,065}\cdot t}=\frac{108}{\mathrm{0,13}}\cdot (\mathrm{0,13}\cdot e^{\mathrm{0,065}\cdot t})=\frac{108}{\frac{13}{100}}\cdot g^{\prime }(t)=\frac{10800}{13}\cdot g^{\prime }(t)$

Das Integral aufstellen und lösen: $$H(t)={\displaystyle \int \frac{108\cdot e^{\mathrm{0,065}\cdot t}}{2\cdot e^{\mathrm{0,065}\cdot t}+51}dt=\frac{10800}{13}\int \frac{g^{\prime }(t)}{g(t)}dt}$$

Wende die logarithmische Integrationsregel an: $H(t)={\displaystyle \frac{10800}{13}}\cdot \ln |2\cdot e^{\mathrm{0,065}\cdot t}+51|+C$ (Da der Ausdruck $2\cdot e^{\mathrm{0,065}\cdot t}+51$ für alle reellen Zahlen $t$ immer positiv ist, können die Betragsstriche durch normale Klammern ersetzt werden.)

Eine Stammfunktion $H$ der Funktion $h$ ist $H(t)={\displaystyle \frac{10800}{13}}\cdot \ln (2\cdot e^{\mathrm{0,065}\cdot t}+51)$