Aufgaben zur Fläche von Rechtecken

1

Durch Aneinanderlegen von 24 quadratischen Teppichfliesen soll eine lückenlose rechteckige Spielfläche gebildet werden. Jede Teppichfliese hat 0,5m Seitenlänge. Maria hat ein Rechteck mit 6 Fliesen an einer Längsseite und 4 Fliesen an einer Breitseite gelegt. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt der Spielfläche. Gib alle weiteren Möglichkeiten an, aus allen 24 Fliesen eine rechteckige Spielfläche zu legen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck

$U=2\cdot(6\cdot a)+2\cdot(4\cdot a)=12\cdot a+8\cdot a=20\cdot a$

$U=20\cdot0{,}5\mathrm m=10\mathrm m$

$A=(6\cdot a)\cdot(4\cdot a)=24\cdot a^2$

$A=24\cdot(0{,}5\mathrm m)^2=24\cdot0{,}25\mathrm m^2=6\mathrm m^2$

Längsseite	1	2	3	4	6	8	12	24
Breitseite	24	12	8	6	4	3	2	1

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2

Manuelas Zimmer ist 4 m lang, 3,5 m breit und 2,5 m hoch.

Eine der beiden großen Wandflächen soll einen gelben Farbanstrich erhalten. Von einem Farbtopf mit der Aufschrift "Inhalt 2,5 l ausreichend für 20 $\mathrm{m^2}$ - 25 $\mathrm{m^2}$ " ist noch die Hälfte übrig.

Reicht die Menge für den Anstrich der Wand? Begründe deine Antwort durch Rechnung.

Ja, die Menge reicht noch für den Anstrich.
Nein, die Menge reicht nicht mehr für den Anstrich.

3

Ein Fußballfeld ist 110 m lang und 75 m breit. Berechne die Fläche und den Umfang des Fußballfelds.

4

Eine Landebahn an einem internationalem Flughafen ist im fertigen Zustand insgesamt 45 m breit und 3 500 m lang. Allerdings muss der letzte Abschnitt der Landebahn welcher 10 000 $m^2$ groß ist noch gebaut werden.

Skizziere die Landebahn. Berechne anschließend den Umfang der gesamten Landebahn und den Flächeninhalt des fertigen Landebahn Abschnitts.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck

Skizze der Landebahn

So könnte deine Skizze z.B aussehen:

Jetzt kannst du mit dem Rechnen beginnen.

Gegeben:

\displaystyle A_{inBau}=10\;000\;m^2

\displaystyle A_{inBau}=10\;000\;m^2

\displaystyle A_{inBau}=10\;000\;m^2

$A_{inBau}$ steht hiebei für den Flächeninhalt der Landebahn, der noch unfertig ist.

$l$ steht für die Länge der gesamten Landebahn.

$b$ steht für die Breite der gesamten Landebahn.

Gesucht:

\displaystyle A_{inBau}=10\;000\;m^2

$U$ steht für den Umfang der gesamten Landebahn.

$A_{Gebaut}$ steht für den Flächeninhalt der Landebahn, der bereits fertiggestellt ist.

Umfang der gesamten Landebahn

$Hinweis:$ In dieser Lösung wird ohne Einheiten gerechnet. Daher steht am Ende der Aufgabe zusätzlich ein Antwortsatz. Beachte, dass diese Vorgehensweise nicht ohne weiteres möglich ist, wenn Werte in verschiedenen Einheiten angegeben werden.

Benutze die Formel für den Umfang, um das Ergebnis zu berechnen.

$\displaystyle U$	$=$	$\displaystyle 2l\ +\ 2b$
	↓	l, b einsetzen
	$=$	$\displaystyle (2\cdot3500)+(2\cdot45)$
	$=$	$\displaystyle 90+7\;000$
	$=$	$\displaystyle 7\ 090$

⇒ Der Umfang der Landebahn beträgt 7090 m

Flächeninhalt des fertigen Landebahnabschnitts

$Hinweis:$ In dieser Lösung wird ohne Einheiten gerechnet. Daher steht am Ende der Aufgabe zusätzlich ein Antwortsatz. Beachte, dass diese Vorgehensweise nicht ohne weiteres möglich ist, wenn Werte in verschiedenen Einheiten angegeben werden.

Um den Flächeninhalt des fertigen Landebahnabschnitts zu berechnen, musst du die Fläche des Landebahnabschnitts der sich im Bau befindet von der Fläche der gesamten Landebahn abziehen.

$\displaystyle A_{Gebaut}$	$=$	$\displaystyle A_{Gesamt}-A_{inBau}$
	↓	Formel für $A_{Gesamt}$
	$=$	$\displaystyle (l\cdot b)-A_{inBau}$
	↓	Werte einsetzen
	$=$	$\displaystyle (3500\cdot45)-10\;000$
	$=$	$\displaystyle 157\;500-10\;000$
	$=$	$\displaystyle 147\;500$

⇒ Der Flächeninhalt des fertigen Landebahnabschnitts beträgt 147 500 $m^2.$

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5

Berechne für ein Rechteck die fehlenden Größen:

	Länge l	Breite b	Flächeninhalt A	Umfang U
a)	5 cm	7 dm
b)	30 cm			1,4 m
c)		120 m	6 ha
d)	80 cm		4 m²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Rechteck

	Länge l	Breite b	Flächeninhalt A	Umfang U
a)	5 cm	7 dm	3,5 dm²	15dm
b)	30 cm	0,4 m	0,12 m²	1,4 m
c)	500 m	120 m	6 ha	1240 m
d)	80 cm	5 m	4 m²	11,6 m

a) Berechnung Flächeninhalt A und Umfang U

Gegeben:

Länge l = 5cm Breite b = 7dm

Gesucht: Flächeninhalt A und Umfang U

Die Länge l musst du erst in die Einheit dm umrechnen. Die Länge l wird mit der Breite b multipliziert um den Flächeninhalt A zu erhalten. Die Werte werden für l und b eingesetzt, um das Ergebnis von U zu erhalten.

\displaystyle A_{inBau}=10\;000\;m^2

\displaystyle A_{inBau}=10\;000\;m^2

\displaystyle A_{inBau}=10\;000\;m^2

b) Berechnung Breite b und Flächeninhalt A

Gegeben:

Länge l = 30cm Umfang U = 1,4m

Gesucht: Breite b und Flächeninhalt A

Die Länge l wird in Meter umgerechnet und der Anteil am Umfang U abgezogen

Die Breite b bekommst du aus dem Umfang U, indem die Länge l abgezogen wird und die Breite b durch Teilen (Division) hervorgeht.

Um von 2b (2 mal b) den Wert für b herauszubekommen, teilst du das Ergebnis durch 2.

Durch die erhaltene Breite b kannst du dann den Flächeninhalt A ausrechnen.

\displaystyle A_{inBau}=10\;000\;m^2

\displaystyle A_{inBau}=10\;000\;m^2

\displaystyle A_{inBau}=10\;000\;m^2

\displaystyle A_{inBau}=10\;000\;m^2

\displaystyle A_{inBau}=10\;000\;m^2

\displaystyle A_{inBau}=10\;000\;m^2

c) Berechnung Länge l und des Umfang U

Gegeben:

Breite b = 120m Flächeninhalt A = 6ha

Gesucht: Länge l und Umfang U

Der Flächeninhalt A wird in m² umgerechnet und durch die Breite b geteilt. Um die Länge l zu erhalten, teilst du den Flächeninhalt A durch die Breite b.

Als Ergebnis kommt der andere Teil vom Flächeninhalt, die Länge l als Ergebnis heraus.

\displaystyle A_{inBau}=10\;000\;m^2

\displaystyle A_{inBau}=10\;000\;m^2

\displaystyle A_{inBau}=10\;000\;m^2

Die Werte der Länge l und der erhaltenen Breite b werden eingesetzt, das Ergebnis ist der Umfang.

\displaystyle A_{inBau}=10\;000\;m^2

\displaystyle A_{inBau}=10\;000\;m^2

d) Berechnung Breite b und Umfang U

Gegeben:

Länge l = 80cm Flächeninhalt A = 4m²

Gesucht: Breite b und Umfang U

Die Länge l rechnest du in Metern um, damit der Flächeninhalt durch l geteilt wird.

Durch Teilen vom Flächeninhalt durch die vorhandene Länge l bekommst du das Ergebnis der Breite b.

\displaystyle A_{inBau}=10\;000\;m^2

\displaystyle A_{inBau}=10\;000\;m^2

\displaystyle A_{inBau}=10\;000\;m^2

Für den Umfang müssen die Länge l und die ausgerechnete Breite b eingesetzt werden

\displaystyle A_{inBau}=10\;000\;m^2

\displaystyle A_{inBau}=10\;000\;m^2

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6

Wie lang muss ein Zaun sein, der ein quadratisches Grundstück der Fläche $6a\;25m^2$ umgibt?

m

$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle l\ \cdot b$
	↓	Setze nun die gegebenen Werte ein.
	$=$	$\displaystyle 110\ \cdot75$
	$=$	$\displaystyle 8250$

Flächeninhalt

Umfang

Skizze der Landebahn

Umfang der gesamten Landebahn

Flächeninhalt des fertigen Landebahnabschnitts

a) Berechnung Flächeninhalt A und Umfang U

b) Berechnung Breite b und Flächeninhalt A

c) Berechnung Länge l und des Umfang U

d) Berechnung Breite b und Umfang U

Seitenlänge des Grundstücks

Umfang des Grundstücks

$\displaystyle U$	$=$	$\displaystyle 2b\ +\ 2l$
	↓	Setze nun die gegebenen Werte ein.
	$=$	$\displaystyle 2\ \cdot75\ +\ 2\ \cdot l$
	↓	Beachte: Punkt vor Strich!
	$=$	$\displaystyle 370$