Aufgaben zu Exponential- und Logarithmusgleichungen
- 1
Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichungen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
↓ ↓ Berechne mithilfe des Taschenrechners die Lösung.
Die Lösungsmenge lautet:
Falls dein Taschenrechner den Logarithmus zu einer beliebigen Basis (in dieser Aufgabe zur Basis 2) berechnen kann, kannst du folgende Umformungen durchführen:
Umwandlung in den natürlichen Logarithmus mit Basis :
Umwandlung in den Zehner Logarithmus mit Basis :
Alternative ohne Logarithmus:
Du kannst auch ausnutzen, dass ist:
↓ Ersetze durch
↓ Vergleiche die Exponenten
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
↓ Wende die Potenzrechengesetze an.
↓ ↓ Berechne mithilfe des Taschenrechners.
Die Lösungsmenge lautet:
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichungen
↓ Wende das passende Potenzgesetz an.
↓ Die Lösungsmenge lautet:
Alternative Lösung ohne Logarithmus
Da und Zweierpotenzen sind, kannst du alles auf Potenzen mit der Basis umschreiben:
Mit und bekommst du
Wende jetzt die Potenzgesetze und an:
↓ ↓ Multipliziere aus
↓ ↓ Fasse zusammen
↓ Vergleiche die Exponenten
↓ Löse auf
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichungen
↓ ↓ Wende die passende Rechenregel für den Logarithmus an.
↓ Fasse den Nenner zusammen, indem du = 0 einsetzt.
Die Lösungsmenge lautet:
Alternative Lösung ohne Logarithmus
Da alle vorkommenden Zahlen Potenzen von sind, kann die Aufgabe durch Exponentenvergleich gelöst werden.
↓ Kürze
↓ ↓ Ersetze
↓ ↓ ↓ Exponentenvergleich
↓ Teile durch
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
↓ Wende das passende Potenzgesetz an.
↓ Fasse zusammen:
↓ Wende das passende Potenzgesetz an.
Die Lösungsmenge lautet:
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- 2
Gib die Definitionsmenge an und bestimme die Lösungsmenge der logarithmischen Gleichung.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
Definitionsmenge
Da in den Logarithmus keine negative Zahl eingesetzt werden kann, ist die Definitionsmenge
Lösen der Gleichung
Die Lösungsmenge ist also
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
Definitionsmenge
Da in den Logarithmus keine negative Zahl eingesetzt werden kann, ist die Definitionsmenge
↓ Wende die passende Rechenregel für den Logarithmus einer Potenz an.
↓ Die Lösungsmenge ist also
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
Definitionsmenge
Da in den Logarithmus keine null oder negative Zahl eingesetzt werden kann, ist die Definitionsmenge von : . Bei wiederum ist die Definitionsmenge: .
Da eine Lösung nur gültig ist, wenn sie in beiden Definitionsmengen liegt, nimmst du die kleinere Definitionsmenge . Somit ist die Definitionsmenge der Gleichung :
Lösungsmenge
Kehre die passende Rechenregel für den Logarithmus eines Produkts um.
Es gilt: , also genau dann wenn der Termi im Logarithmus und die Basis des Logarithmus gleich sind. Deshalb muss gelten.
( liegt nicht im Definitionsbereich)
Die Lösungsmenge ist also
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
Definitionsmenge
Da in den Logarithmus keine negative Zahl eingesetzt werden kann, ist die Definitionsmenge
↓ Wende die passende Rechenregel für den Logarithmus einer Potenz an.
↓ Achte auf das negative Vorzeichen bei Klammern .
↓ Fasse zusammen.
↓ ↓ Die Lösungsmenge ist also
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