Aufgaben zum Erwartungswert

Hier ist $\mathit\Omega=\left\{1{,}2,3{,}4,5{,}6\right\}$ und $X(\mathrm\omega)=\mathrm\omega$.

Benutze die Formel für den Erwartungswert:

Die 1 wird zu einer 7, dadurch verschieben sich die Werte der Zufallsgröße von $\mathit\Omega=\left\{2{,}3,4{,}5,6{,}7,8{,}9,10{,}11{,}12\right\}$ zu $\mathit\Omega=\left\{4{,}5,6{,}7,8{,}9,10{,}11{,}12{,}13{,}14\right\}$

$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \begin{array} {c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c}x & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14\\\hline \text P(\text X = x) & \frac{1}{36} & \frac{2} {36} & \frac{3}{36} & \frac{4}{36} & \frac{5}{36} & \frac{6}{36} & \frac{5}{36} & \frac{4}{36} & \frac{3}{36} & \frac{2}{36} & \frac{1}{36}\end{array}$

Damit ergibt der Erwartungswert für dieses Experiment.

$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \begin{array}{c c l} \text E(\text X)& = & 4\cdot\frac{1}{36}+5\cdot\frac{2}{36}+6\cdot\frac{3}{36}+7\cdot\frac{4}{36}+8\cdot\frac{5}{36}+9\cdot\frac{6}{36}\\ & & +\,10\cdot\frac{5}{36}+11\cdot\frac{4}{36}+12\cdot\frac{3}{36}+13\cdot\frac{2}{36}+14\cdot\frac{1}{36}\\ & = & 9\end{array}$

Es handelt sich hierbei um eine Bernoulli-Kette. Der Erwartungswert einer Bernoulli-Kette beträgt $n\cdot p$. Hier ist $n=15$ und $p$ die Wahrscheinlichkeit:

1) p bei einem einzelnen Wurf eine 3 zu werfen liegt bei $\frac16$.

$\Rightarrow E(X)=15\cdot\frac16=\frac{15}{6}=2{,}5$

2) p bei einem einzelnen Wurf mindestens eine 4 zu werfen liegt bei $\frac36 = \frac12$.

$\Rightarrow E(X)=15\cdot\frac12=\frac{15}{2}=7{,}5$

3) p bei einem einzelnen Wurf höchstens eine 4 zu werfen liegt bei $\frac46 = \frac23$.

$\Rightarrow E(X)=15\cdot\frac23=\frac{30}{3}= 10$

4) Um einen Erwartungswert von $12{,}5$ zu erhalten, benötigt man die

Wahrscheinlichkeit p von einem einzelnen Wurf:

$\Rightarrow p = \frac{E(X)}{X} = \frac{12{,}5}{15} = \frac56$

Nun benötigen wir ein Ereignis, welches in $\frac56$ der Fälle eintritt.

In unserem Beispiel wäre das, dass man höchstens eine 5 würfelt

Der Spieler gewinnt nur, falls er dreimal hintereinander "Gewinn" zieht. Es handelt sich um Ziehen ohne Zurücklegen, da der Spieler am Ende des Spieles seine drei Gewinnerlose vorzeigen muss. Daher ist die Wahrscheinlichkeit beim ersten Zug einen "Gewinn" zu ziehen $\frac{5}{10}$, beim zweiten Zug $\frac{4}{9}$ und beim dritten Zug $\frac3{8}$. Um die Gewinnwahrscheinlichkeit auszurechnen, musst du diese Wahrscheinlichkeiten multiplizieren:

$\mathrm{P("Gewinn")}=\frac{5}{10}\cdot \frac{4}{9}\cdot \frac{3}{8}=\frac{60}{720}=\frac{1}{12}\approx 8{,}3\%$

Das Spiel ist dann fair, wenn der erwartete Gewinn des Spielers $2\ €$ ist. Denn in diesem Fall erhält der Spieler seinen Einsatz von $2\ €$ zurück und macht keinen Verlust, genauso wie der Anbieter des Spieles.

Um den Erwartungswert auszurechnen, braucht man nur den Fall betrachten, dass der Spieler dreimal "Gewinn" zieht, denn nur hier hat er einen Gewinn. In den anderen Fällen ist der Gewinn $0$ und dementsprechend muss die Wahrscheinlichkeit hier nicht berechnet werden, da sie bei Berechnung des Erwartungswertes mit $0$ multipliziert werden würde. Bezeichne mit $\text X$ die Zufallsgröße, die den Gewinn des Spieles angibt, d.h. entweder $0$ (kein Gewinn) oder y (Gewinn). Nach der Formel für den Erwartungswert gilt dann:

Also müsste der Gewinn $24\ €$ betragen, um ein faires Spiel zu erhalten.

$X$: Anzahl der Gewinnlose unter den 5 gezogenen Losen.

Gesucht: Erwartungswert $E(X)$

Für den Erwartungswert einer (diskreten) Zufallgröße gibt es eine Formel, bei der

• alle vorkommenden Werte von $X$ jeweils mit ihrer Wahrscheinlichkeit multipliziert werden,

• und dann alle diese Produkte addiert werden.

Das heißt: Du brauchst jetzt als erstes die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$.

Überlege dir dazu zunächst das richtige Modell für diese Aufgabe, d. h.:

• mit oder ohne Zurücklegen?

• mit oder ohne Beachtung der Reihenfolge?

Urnenmodell für diese Aufgabe:

• Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge

• aus einer Urne mit insgesamt 10 Kugeln (bzw. Losen), von denen 6 Kugeln schwarz sind (bzw. 6 Lose Gewinnlose sind).

Wenn du jetzt das richtige Modell gefunden hast, kannst du die Wahrscheinlichkeiten ausrechnen: Für das Modell "Ziehen von $n$ Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge aus einer Urne mit $S$ schwarzen und $N-S$ weißen Kugeln" gilt die Formel der hypergeometrischen Verteilung: $P(X=k)=\frac{\begin{pmatrix}S\\k\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}N-S\\n-k\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}N\\n\end{pmatrix}}$ für die Wahrscheinlichkeit, genau $k$ schwarze Kugeln zu erhalten. Berechnung der einzelnen Wahrscheinlichkeiten $P(X=0)=\frac{\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\5-0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{1\cdot 0}{252}=0$ $P(X=1)=\frac{\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\5-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{6\cdot 1}{252}=\frac{6}{252}=\frac{1}{42}$ $P(X=3)=\frac{\begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\5-3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{20\cdot 6}{252}=\frac{120}{252}=\frac{10}{21}$ $P(X=4)=\frac{\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\5-4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{15\cdot 4}{252}=\frac{60}{252}=\frac{5}{21}$ $P(X=5)=\frac{\begin{pmatrix}6\\5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\5-5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}6\\5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{6\cdot 1}{252}=\frac{6}{252}=\frac{1}{42}$ Tabelle für die Wahrscheinlichkeitsverteilung:

Der Erwartungswert ist also: $E(X)=0+1\cdot\frac{6}{252}+2\cdot\frac{60}{252}+3\cdot\frac{120}{252}+4\cdot\frac{60}{252}+5\cdot\frac{6}{252}=\frac{756}{252}=3$

Erwartet wird also, dass man auf lange Sicht im Durchschnitt 3 Gewinnlose unter den 5 Losen zieht.

$Y$: Anzahl der Nieten unter den 5 gezogenen Losen. Gesucht: Erwartungswert $E(Y)$

Möglichkeit 1:

Wenn du Teilaufgabe 1 bereits gelöst hast, kannst du den Erwartungswert $E(Y)$ sehr schnell so bestimmen:

$E(Y)=?$

Da $X$ die Anzahl der Gewinnlose und $Y$ die Anzahl der Nieten unter den 5 gezogenen Losen ist, muss $X+Y$ stets gleich 5 sein.

Entsprechend gilt das auch für die Erwartungswerte.

$E(X)+E(Y)=5$

Diese Gleichung kannst du nun ganz einfach nach $E(Y)$ umstellen,

$E(Y)=5-E(X)$

und dann $E(X)= 3$ einsetzen.

$E(Y)=5-3=2$

Möglichkeit 2:

Zur Kontrolle - oder wenn du Teilaufgabe 1 nicht verwenden willst - kannst du das Ergebnis auch noch einmal unabhängig vom Ergebnis von Teilaufgabe 1 ausrechnen. Das geht nach der gleichen Methode wie die Rechnung bei Teilaufgabe 1:

$Y$: Anzahl der Nieten unter den 5 gezogenen Losen.

Gesucht: Erwartungswert $E(Y)$

Urnenmodell für diese Aufgabe:

• Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge

• aus einer Urne mit insgesamt 10 Kugeln (bzw. Losen), von denen 4 Kugeln schwarz sind (bzw. 4 Lose Nieten sind). Das ist ganz entsprechend wie bei Teilaufgabe 1. Verwende nun wieder (genauso wie bei Teilaufgabe 1), dass für das Modell "Ziehen von n Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge aus einer Urne mit $S$ schwarzen und $N-S$ weißen Kugeln" die Formel der hypergeometrischen Verteilung gilt: $P(X=k)=\frac{\begin{pmatrix}S\\k\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}N-S\\n-k\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}N\\n\end{pmatrix}}$ Berechnung der einzelnen Wahrscheinlichkeiten. $P(Y=0)=\frac{\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\5-0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}6\\5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{1\cdot 6}{252}=\frac{6}{252}=\frac{1}{42}$ $P(Y=1)=\frac{\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\5-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{4\cdot 15}{252}=\frac{60}{252}=\frac{5}{21}$ $P(Y=3)=\frac{\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\5-3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{4\cdot 15}{252}=\frac{60}{252}=\frac{5}{21}$ $P(Y=4)=\frac{\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\5-4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{1\cdot 6}{252}=\frac{6}{252}=\frac{1}{42}$ $P(Y=5)=\frac{\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\5-5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{0\cdot 1}{252}=0$ Tabelle für die Wahrscheinlichkeitsverteilung:

Der Erwartungswert ist also: $E(Y)=0+1\cdot\frac{60}{252}+2\cdot\frac{120}{252}+3\cdot\frac{60}{252}+4\cdot\frac{6}{252}+5\cdot0=2$

Erwartet wird also, dass man auf lange Sicht im Durchschnitt 2 Nieten unter den 5 Losen erhält.