Bei einem Glücksspiel wird eine Münze einmal geworfen. Bei Zahl gewinnst du 5 Euro und bei Kopf verlierst du 6 Euro. Die Zufallsvariable gibt den Gewinn bei einem Münzwurf an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Hier ist die ErgebnismengeΩ={K,Z}, die ZufallsgrößeX(ω)={5−6fu¨r ω=Kfu¨r ω=Z und P(X=k) jeweils 21.
Ein Würfel wird 20-mal geworfen. Die Zufallsvariable gibt an, wie oft die Zahl 3 gefallen ist.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Es handelt sich hierbei um eine Bernoulli-Kette. Der Erwartungswert einer Bernoulli-Kette beträgt n⋅p. Hier ist n=20 und p die Wahrscheinlichkeit, bei einem einzelnen Wurf eine 3 zu werfen, also 61.
In einer Urne befinden sich 12 Kugeln, darunter 4 schwarze und 8 weiße. Daraus werden 6 Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge gezogen. Die Zufallsvariable gibt an, wie viele weiße Kugeln gezogen wurden.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Die Wahrscheinlichkeiten 2,3,4,5 oder 6 weiße Kugeln zu ziehen berechnest du mit dem Urnenmodell. Da sich nur 4 schwarze Kugeln in der Urne befinden, ist es nicht möglich 0 oder 1 weiße Kugel zu ziehen.
Auf einem Jahrmarkt gibt es einen Stand mit Losen. In einer Lostrommel befinden sich 10 Lose, unter denen 6 Gewinnlose und 4 Nieten sind.
Berechne für 5-maliges Ziehen eines Loses, wobei die Lose nicht zurückgelegt werden, den Erwartungswert für
Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge
aus einer Urne mit insgesamt 10 Kugeln (bzw. Losen), von denen 6 Kugeln schwarz sind (bzw. 6 Lose Gewinnlose sind).
Wenn du jetzt das richtige Modell gefunden hast, kannst du die Wahrscheinlichkeiten ausrechnen:
Für das Modell "Ziehen von n Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge aus einer Urne mit S schwarzen und N-S weißen Kugeln" gilt die Formel der hypergeometrischen Verteilung:
für die Wahrscheinlichkeit, genau k schwarze Kugeln zu erhalten.
Der Erwartungswert ist also: E(X)=0+1⋅2526+2⋅25260+3⋅252120+4⋅25260+5⋅2526=252756=3
Erwartet wird also, dass man auf lange Sicht im Durchschnitt 3 Gewinnlose unter den 5 Losen zieht.
Teilaufgabe 2
Y: Anzahl der Nieten unter den 5 gezogenen Losen.
Gesucht: Erwartungswert E(Y)
Möglichkeit 1:
Wenn du Teilaufgabe 1 bereits gelöst hast, kannst du den Erwartungswert E(Y) sehr schnell so bestimmen:
E(Y)=?
Da X die Anzahl der Gewinnlose und Y die Anzahl der Nieten unter den 5 gezogenen Losen ist, muss X+Y stets gleich 5 sein.
Entsprechend gilt das auch für die Erwartungswerte.
E(X)+E(Y)=5
Diese Gleichung kannst du nun ganz einfach nach E(Y) umstellen,
E(Y)=5−E(X)
und dann E(X)=3 einsetzen.
E(Y)=5−3=2
Möglichkeit 2:
Zur Kontrolle - oder wenn du Teilaufgabe 1 nicht verwenden willst - kannst du das Ergebnis auch noch einmal unabhängig vom Ergebnis von Teilaufgabe 1 ausrechnen.
Das geht nach der gleichen Methode wie die Rechnung bei Teilaufgabe 1:
Y: Anzahl der Nieten unter den 5 gezogenen Losen.
Gesucht: Erwartungswert E(Y)
Damit hast du festgelegt, was Y ist,
und brauchst für die Berechnung des Erwartungswertes von Y jetzt wiederum die Formel für den Erwartungswert
Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge
aus einer Urne mit insgesamt 10 Kugeln (bzw. Losen), von denen 4 Kugeln schwarz sind (bzw. 4 Lose Nieten sind).
Das ist ganz entsprechend wie bei Teilaufgabe 1.
Verwende nun wieder (genauso wie bei Teilaufgabe 1), dass für das Modell
"Ziehen von n Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge aus einer Urne mit S schwarzen und N-S weißen Kugeln"
die Formel der hypergeometrischen Verteilung gilt:
Bei einem Spiel mit einem Einsatz von 1 Euro wird ein Würfel zweimal geworfen. Der Spieler gewinnt 2 Euro, falls beide Würfel die gleiche Augenzahl zeigen. Berechne den erwartenden Gewinn/Verlust des Spielers.
€
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Um den Erwartungswert zu berechnen, wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung benötigt: Die Zufallsvariable X beschreibt den Gewinn des Spielers in €. Bei diesem Spiel kann die Zufallsvariable die Werte 1 oder -2 annehmen.
k
−1
2
P(X=k)
65
61
Der Erwartungswert wird dann wie folgt berechnet:E(X)=−1⋅65+2⋅61=−21=−0,5
Der durchschnittliche Verlust eines Spielers beträgt also 50 Cent.
Ein Marmeladenbrot fällt in 60% aller Fälle auf die geschmierte Seite. Berechne die zu erwartende Anzahl an Marmeladenbroten, die auf die belegte Seite fallen, wenn man 3 Brote fallen lässt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Es handelt sich hierbei um eine Bernoulli-Kette. Der Erwartungswert einer Bernoulli-Kette beträgt n⋅p. Hier ist n=3 und p = 0,6 die Wahrscheinlichkeit auf die belegte Seite zu fallen.
⇒E(X)=n⋅p=3⋅0,6=1,8
Alternative Lösung
Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Brote, die auf die belegte Seite fallen. X ist binomialverteilt.
In einem Freizeitpark wird folgendes Glücksspiel angeboten. In einer Urne befinden sich 10 Lose, wobei sich auf 5 Losen der Aufdruck "Niete" und auf dem Rest der Aufdruck "Gewinn" befindet. Gegen einen Einsatz von 2€ kann ein Spieler an folgendem Gewinnspiel teilnehmen: Der Spieler zieht aus der Urne ein Los, zieht er "Gewinn", darf er erneut ziehen, zieht er Niete, hat er sofort verloren. Um zu gewinnen, muss er insgesamt dreimal "Gewinn" ziehen. Den Gewinn in Höhe von 8€ erhält er, wenn seine drei Gewinnerlose an der Kasse des Freizeitparks abgibt.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt der Spieler? Runde auf eine Stelle nach dem Komma.
%
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
Der Spieler gewinnt nur, falls er dreimal hintereinander "Gewinn" zieht. Es handelt sich um Ziehen ohne Zurücklegen, da der Spieler am Ende des Spieles seine drei Gewinnerlose vorzeigen muss. Daher ist die Wahrscheinlichkeit beim ersten Zug einen "Gewinn" zu ziehen 105, beim zweiten Zug 94 und beim dritten Zug 83. Um die Gewinnwahrscheinlichkeit auszurechnen, musst du diese Wahrscheinlichkeiten multiplizieren:
Wie hoch muss der Gewinn sein, damit es sich um ein faires Spiel handelt?
€
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Das Spiel ist dann fair, wenn der erwartete Gewinn des Spielers 2€ ist. Denn in diesem Fall erhält der Spieler seinen Einsatz von 2€ zurück und macht keinen Verlust, genauso wie der Anbieter des Spieles.
Um den Erwartungswert auszurechnen, braucht man nur den Fall betrachten, dass der Spieler dreimal "Gewinn" zieht, denn nur hier hat er einen Gewinn. In den anderen Fällen ist der Gewinn 0 und dementsprechend muss die Wahrscheinlichkeit hier nicht berechnet werden, da sie bei Berechnung des Erwartungswertes mit 0 multipliziert werden würde. Bezeichne mit X die Zufallsgröße, die den Gewinn des Spieles angibt, d.h. entweder 0 (kein Gewinn) oder y (Gewinn). Nach der Formel für den Erwartungswert gilt dann:
E(X)
=
0⋅P(X=0)+y⋅P(X=y)
↓
P(X=y) ist die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn, sie wurde in Teilaufgabe 1 berechnet.
=
y⋅121
↓
Setze den Erwartungswert gleich 2 und löse nach y auf.
2
=
y⋅121
y
=
24
Also müsste der Gewinn 24€ betragen, um ein faires Spiel zu erhalten.
Auf einem Jahrmarkt gibt es einen Stand mit Losen. In einer Lostrommel befinden sich 10 Lose, unter denen 6 Gewinnlose und 4 Nieten sind.
Berechne für 5-maliges Ziehen eines Loses, wobei die Lose nicht zurückgelegt werden, den Erwartungswert für
Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge
aus einer Urne mit insgesamt 10 Kugeln (bzw. Losen), von denen 6 Kugeln schwarz sind (bzw. 6 Lose Gewinnlose sind).
Wenn du jetzt das richtige Modell gefunden hast, kannst du die Wahrscheinlichkeiten ausrechnen:
Für das Modell "Ziehen von n Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge aus einer Urne mit S schwarzen und N−S weißen Kugeln" gilt die Formel der hypergeometrischen Verteilung:
P(X=k)=(Nn)(Sk)⋅(N−Sn−k)
für die Wahrscheinlichkeit, genau k schwarze Kugeln zu erhalten.
Berechnung der einzelnen Wahrscheinlichkeiten
P(X=0)=(105)(60)⋅(45−0)=(105)(60)⋅(45)=2521⋅0=0P(X=1)=(105)(61)⋅(45−1)=(105)(61)⋅(44)=2526⋅1=2526=421P(X=3)=(105)(63)⋅(45−3)=(105)(63)⋅(42)=25220⋅6=252120=2110P(X=4)=(105)(64)⋅(45−4)=(105)(64)⋅(41)=25215⋅4=25260=215P(X=5)=(105)(65)⋅(45−5)=(105)(65)⋅(40)=2526⋅1=2526=421
Tabelle für die Wahrscheinlichkeitsverteilung:
k
0
1
2
3
4
5
P(X=k)
0
2526
25260
252120
25260
2526
Der Erwartungswert ist also: E(X)=0+1⋅2526+2⋅25260+3⋅252120+4⋅25260+5⋅2526=252756=3
Erwartet wird also, dass man auf lange Sicht im Durchschnitt 3 Gewinnlose unter den 5 Losen zieht.
Y: Anzahl der Nieten unter den 5 gezogenen Losen. Gesucht: Erwartungswert E(Y)
Möglichkeit 1:
Wenn du Teilaufgabe 1 bereits gelöst hast, kannst du den Erwartungswert E(Y) sehr schnell so bestimmen:
E(Y)=?
Da X die Anzahl der Gewinnlose und Y die Anzahl der Nieten unter den 5 gezogenen Losen ist, muss X+Y stets gleich 5 sein.
Entsprechend gilt das auch für die Erwartungswerte.
E(X)+E(Y)=5
Diese Gleichung kannst du nun ganz einfach nach E(Y) umstellen,
E(Y)=5−E(X)
und dann E(X)=3 einsetzen.
E(Y)=5−3=2
Möglichkeit 2:
Zur Kontrolle - oder wenn du Teilaufgabe 1 nicht verwenden willst - kannst du das Ergebnis auch noch einmal unabhängig vom Ergebnis von Teilaufgabe 1 ausrechnen.
Das geht nach der gleichen Methode wie die Rechnung bei Teilaufgabe 1:
Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge
aus einer Urne mit insgesamt 10 Kugeln (bzw. Losen), von denen 4 Kugeln schwarz sind (bzw. 4 Lose Nieten sind).
Das ist ganz entsprechend wie bei Teilaufgabe 1.
Verwende nun wieder (genauso wie bei Teilaufgabe 1), dass für das Modell
"Ziehen von n Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge aus einer Urne mit S schwarzen und N−S weißen Kugeln"
die Formel der hypergeometrischen Verteilung gilt:
P(X=k)=(Nn)(Sk)⋅(N−Sn−k)
Berechnung der einzelnen Wahrscheinlichkeiten.
P(Y=0)=(105)(40)⋅(65−0)=(105)(40)⋅(65)=2521⋅6=2526=421P(Y=1)=(105)(41)⋅(65−1)=(105)(41)⋅(64)=2524⋅15=25260=215P(Y=3)=(105)(43)⋅(65−3)=(105)(43)⋅(62)=2524⋅15=25260=215P(Y=4)=(105)(44)⋅(65−4)=(105)(44)⋅(61)=2521⋅6=2526=421P(Y=5)=(105)(45)⋅(65−5)=(105)(45)⋅(60)=2520⋅1=0
Tabelle für die Wahrscheinlichkeitsverteilung:
k
0
1
2
3
4
5
P(Y=k)
2526
25260
252120
25260
2526
0
Der Erwartungswert ist also: E(Y)=0+1⋅25260+2⋅252120+3⋅25260+4⋅2526+5⋅0=2
Erwartet wird also, dass man auf lange Sicht im Durchschnitt 2 Nieten unter den 5 Losen erhält.