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5Skalarprodukt

Das Skalarprodukt ist eine Art "Multiplikation" von Vektoren, deren Ergebnis eine reelle Zahl ist. Man schreibtab\vec a\circ\vec b.

Man bestimmt es folgendermaßen: Gegeben sind zwei Vektoren a=(a1a2)\overrightarrow a=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix} \\ und b=(b1b2)\overrightarrow b=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}

Dann ist ab=(a1a2)(b1b2)=a1b1+a2b2\,\vec a\circ\vec b = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2

Orthogonalität

Ein Vektor a\vec{a} ist orthogonal zu einem Vektor b\vec{b}, wenn die beiden Vektoren senkrecht zueinander stehen. Dies kann man durch das Skalarprodukt beider Vektoren überprüfen.

Ist dieses nämlich gleich null, so sind a\vec{a} und b\vec{b} orthogonal zueinander. D.h.:

ab        ab=0\vec a\perp\vec b\;\;\Leftrightarrow\;\;\vec a\circ\vec b=0 (wenn, a0\vec a\neq0 und b0\vec b\neq0)

gjh

Vektoren müssen nicht immer orthogonal zueinander sein.

Diese Vektoren erkennt man daran, dass deren Skalarprodukt ungleich null ist, d.h. deren Repräsentanten stehen nicht zueinander im rechten Winkel.

Es gilt:

a\vec{a} nicht senkrecht zu  b        ab0\ \vec b\;\;\Leftrightarrow\;\;\vec a\circ\vec b\neq0

Beachte: Es ist unwichtig, ob die Vektoren einen gemeinsamen Fußpunkt haben, denn man kann einfach ihre Repräsentanten nehmen, die im Ursprung ihre Fußpunkte haben (Ortsvektoren).

Am Ergebnis des Skalarprodukts, geschweige denn am Vektor selber, ändert sich selbstverständlich nichts.


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