8Winkel

Man kann jetzt den Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen. Das geschieht immer gegen den Uhrzeigersinn.*

Rechts im Bild kannst du sehen, dass es dafür zwei Möglichkeiten gibt: Den kleineren Winkel $\color{#009999} \varphi$ und den größeren Winkel $\color{#FF6600} {\varphi'}$ . Man gibt aber normalerweise immer nur den kleineren an.

Es gilt immer: $\color{#009999} \varphi + \color{#FF6600} {\varphi'} = 360^\circ$ .

Die Berechnung des Winkels zwischen $\vec u$ und $\vec v$ geht folgendermaßen:

$\cos(\color{#009999} \varphi) = \frac{\vec u \circ \vec v}{|\vec u| \cdot |\vec v|}$

beziehungsweise

$\color{#009999} \varphi = \cos^{-1} \left( \frac{\vec u \circ \vec v}{|\vec u| \cdot |\vec v|} \right)$

Der größere Winkel lässt sich dann so berechnen:

$\color{#ff6600} {\varphi'} = 360^\circ - \color{#009999} \varphi$

Dabei steht das " $\circ$ " für das Skalarprodukt.

" $\cos^{-1}$ " ist die inverse Kosinus-Funktion: der Arkuskosinus. Das bedeutet insbesondere, dass

\displaystyle \ \ \ \ \cos^{-1}(\cos(\color{#009999} \varphi)) = \color{#009999} \varphi

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