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Kurs

Spiegelung an einer Ursprungsgeraden

9Beispiel: Gerade an Ursprungsgeraden spiegeln

Die Gerade g:y=−12xg:y=-\frac{1}{2}x soll an der Geraden h:y=23xh:y=\frac{2}{3}x gespiegelt werden.

gg′\displaystyle g\overset{h}\mapsto g'

Man wählt also einen beliebigen Punkt Pn(x∣−12x)P_n (x|-\frac{1}{2}x) auf der Geraden gg und bildet diesen durch Achsenspiegelung an der Geraden hh auf den Bildpunkt Pn′P_n' ab.

Pn′P_n' ist somit ein beliebiger Punkt auf der Bildgeraden g′g'.

Achsenspiegelung Gerade

1. Berechnung von α\alpha

Um den Punkt PnP_n an der Geraden hh zu spiegeln, benötigt man als erstes den Winkel α\alpha, den die Gerade hh mit der xx-Achse einschließt.

tan⁡α=mh⇔α=tan⁡−1(mh)⇔α=tan⁡−1(23)⇔α≈33,69°\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \tan \alpha&=& m_h\\ \Leftrightarrow \alpha &=&\tan^{-1}(m_h)\\ \Leftrightarrow \alpha &=&\tan^{-1}(\frac{2}{3})\\ \Leftrightarrow \alpha &\approx&33{,}69° \end{array}

Berechnung von Drehwinkel alpha

2. Abbildungsgleichung aufstellen

Somit ergibt sich folgende Gleichung:

(x′y′)=(cos⁡2αsin⁡2αsin⁡2α−cos⁡2α)⋅(x−12x)=(cos⁡67,38°sin⁡67,38°sin⁡67,38°−cos⁡67,38°)⋅(x−12x)=(0,380,920,92−0,38)⋅(x−12x)=(0,38x−0,46x0,92x+0,19x)(x′y′)=(−0,08x1,11x)\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}\cos{2\alpha} & \sin{2\alpha}\\\sin{2\alpha} & -\cos{2\alpha}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\-\frac{1}{2}x\end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix}\cos 67{,}38° & \sin 67{,}38°\\\sin 67{,}38° & -\cos67{,}38°\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\-\frac{1}{2}x\end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix}0{,}38 & 0{,}92\\0{,}92 & -0{,}38\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\-\frac{1}{2}x\end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix} 0{,}38x -0{,}46x\\ 0{,}92x +0{,}19x \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} -0{,}08x\\ 1{,}11x\end{pmatrix} \end{array}

Die gespiegelten Punkte Pn′P_n' haben also die Koordinaten Pn′(−0.08x∣1,11x)P_n' (-0.08x|1{,}11x).

3. Trägergraph bestimmen

Als letztes muss noch der Trägergraph g′g' der Punkte P′P' bestimmt werden.

Für die Punkte Pn′P_n' gilt ja:

x′=−0,08x(1)∧y′=1,11x(2)\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcrc} &x'&=& -0{,}08x & (1)\\ \wedge&y'&=& 1{,}11x &(2) \end{array}

Nun löst man die Gleichung (1)(1) nach xx auf und setzt dann (1′)(1') in (2)(2) ein:

x=x′−0,08(1′)y′=1,11⋅x′−0,08(2)y′=−13,88x′\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rclc} x&=&\frac{x'}{-0{,}08} & (1')\\ \\ y'&=& 1{,}11 \cdot \frac{x'}{-0{,}08} &(2)\\ y'&=& -13{,}88x' & \end{array}

Die gespiegelte Gerade g′g' besitzt also folgende Gleichung:

g′:y=−13,88x\displaystyle g':y=-13{,}88x

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