Inhalt des Kurses

In diesem Kurs wird die Abbildungsgleichung einer Spiegelung von Punkten und Geraden an einer Ursprungsgeraden hergeleitet und anhand von Beispielen erklärt.

Vorkenntnisse

• Du solltest Vektoren im Zweidimensionalen verstanden haben.

• Du solltest außerdem Vektoren zwischen zwei Punkten aufstellen und Vektoren addieren und subtrahieren können. Hier helfen dir auch diese beiden Kurse weiter: Vektoren in der Ebene I und Vektoren in der Ebene II.

• Außerdem solltest du eine 2x2-Matrix mit einem Vektor multiplizieren können.

Kursdauer

1,5 Stunden

Gegeben:

Ein Punkt $PP$ und eine Gerade $hh$.

Aufgabenstellung:

Wie kann man den Bildpunkt einer Spiegelung von $PP$ an $hh$ berechnen? Gibt es eine allgemeine Formel für beliebige Punkte $P_{n}P\_n$?

Der Punkt $PP$ soll an der Ursprungsgeraden $hh$ gespiegelt werden.

Auf den nächsten Kursseiten wird eine Abbildungsgleichung zum Berechnen des Bildpunktes $P^{\mathrm{\prime }}P\text{'}$ hergeleitet:

Zur Erinnerung:

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\mathrm{\prime }}\\ y^{\mathrm{\prime }}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a\cos (2\alpha -\phi )\\ a\sin (2\alpha -\phi )\end{array}\right)\backslash begin\{pmatrix\}x\text{'}\; \backslash \backslash \; y\text{'}\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}\; a\; \backslash cos\; (2\; \backslash alpha\; -\backslash varphi)\; \backslash \backslash \; a\; \backslash sin\; (2\; \backslash alpha\; -\backslash varphi)\backslash end\{pmatrix\}$

Jetzt wendet man die Additionstheoreme an, um dies zu vereinfachen.

$\cos (2\alpha -\phi )=\cos 2\alpha \cdot \cos \phi +\sin 2\alpha \cdot \sin \phi \backslash cos\; (2\; \backslash alpha\; -\; \backslash varphi)=\; \backslash cos\; 2\backslash alpha\backslash cdot\; \backslash cos\; \backslash varphi\; +\; \backslash sin\; 2\backslash alpha\backslash cdot\; \backslash sin\backslash varphi$

$\sin (2\alpha -\phi )=\sin 2\alpha \cdot \cos \phi -\cos 2\alpha \cdot \sin \phi \backslash sin(2\; \backslash alpha\; -\backslash varphi)=\; \backslash sin\; 2\backslash alpha\; \backslash cdot\; \backslash cos\backslash varphi\; -\; \backslash cos2\backslash alpha\; \backslash cdot\; \backslash sin\; \backslash varphi$

Zur Erinnerung:

$x_P=a\cos {\phi }_{}x\_P=a\backslash cos\backslash varphi\_\{\; \}$

$y_P=a\sin \phi y\_P=a\; \backslash sin\; \backslash varphi$

Setzt man dies ein, erhält man:

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\mathrm{\prime }}\\ y^{\mathrm{\prime }}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\cdot \cos 2\alpha +y\cdot \sin 2\alpha \\ x\cdot \sin 2\alpha -y\cos 2\alpha \end{array}\right)\backslash begin\{pmatrix\}x\text{'}\; \backslash \backslash \; y\text{'}\backslash end\{pmatrix\}=\; \backslash begin\{pmatrix\}\; x\; \backslash cdot\; \backslash cos\; 2\backslash alpha\; +\; y\; \backslash cdot\; \backslash sin\; 2\backslash alpha\; \backslash \backslash \; x\; \backslash cdot\; \backslash sin\; 2\backslash alpha\; -\; y\; \backslash cos2\backslash alpha\; \backslash end\{pmatrix\}$

Nun schreibt man das noch in der Matrixschreibweise, um sowohl den ursprünglichen Vektor $\overrightarrow{OP}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\backslash overrightarrow\{OP\}\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}x\backslash \backslash y\backslash end\{pmatrix\}$ als auch den Bildvektor $\overrightarrow{O{P}^{\mathrm{\prime }}}=\left(\begin{array}{c}{x}^{\mathrm{\prime }}\\ y^{\mathrm{\prime }}\end{array}\right)\backslash overrightarrow\{OP\text{'}\}\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}x\text{'}\backslash \backslash y\text{'}\backslash end\{pmatrix\}$ hervorzuheben:

Im Spoiler findet man eine alternative Herleitung:

Zusammenfassung

Hier noch einmal eine Zusammenfassung der hergeleiteten Abbildungsgleichung zum Spiegeln an einer Ursprungsgeraden.

Wobei hier $\alpha ={\tan }^{-1}(m_h)\backslash alpha=\; \backslash tan^\{-1\}(m\_h)$ der Schnittwinkel der Spiegelachse $hh$ und der x-Achse ist. $m_{h}m\_h$ ist die Steigung von $hh$.

Beispiel

Spiegle den Punkt $P(2\mathrm{\mid }3)P\; (2|3)$ an der Ursprungsgeraden $h:y=\frac{1}{4}xh:y=\backslash frac\{1\}\{4\}\; x$!

2. Abbildungsgleichung aufstellen

Somit ergibt sich folgende Gleichung:

Der gespiegelte Punkt hat die Koordinaten $P^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{3,17}\mathrm{\mid }-\mathrm{1,7})P\text{'}(3\{,\}17|-1\{,\}7)$.

Jetzt bist du dran.

Da man sehr häufig an der x-Achse, y-Achse und an der Winkelhalbierenden spiegelt, bietet es sich an, dass man sich für diese besonderen Spiegelungen eine Übersicht erstellt:

Achsenspiegelung an der x-Achse

Achsenspiegelung an der y-Achse

Achsenspiegelung an der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten

Achsenspiegelung an der Winkelhalbierenden des II. und IV. Quadranten

1. Berechnung von $\alpha \backslash alpha$

Um den Punkt $P_{n}P\_n$ an der Geraden $hh$ zu spiegeln, benötigt man als erstes den Winkel $\alpha \backslash alpha$, den die Gerade $hh$ mit der $xx$-Achse einschließt.

2. Abbildungsgleichung aufstellen

Somit ergibt sich folgende Gleichung:

Die gespiegelten Punkte $P_n^{\mathrm{\prime }}P\_n\text{'}$ haben also die Koordinaten $P_n^{\mathrm{\prime }}(-0.08x\mathrm{\mid }\mathrm{1,11}x)P\_n\text{'}\; (-0.08x|1\{,\}11x)$.

3. Trägergraph bestimmen

Als letztes muss noch der Trägergraph $g^{\mathrm{\prime }}g\text{'}$ der Punkte $P^{\mathrm{\prime }}P\text{'}$ bestimmt werden.

Für die Punkte $P_n^{\mathrm{\prime }}P\_n\text{'}$ gilt ja:

Nun löst man die Gleichung $(1)(1)$ nach $xx$ auf und setzt dann $(1^{\mathrm{\prime }})(1\text{'})$ in $(2)(2)$ ein:

Die gespiegelte Gerade $g^{\mathrm{\prime }}g\text{'}$ besitzt also folgende Gleichung:

Jetzt bist du dran.

Der Bildpunkt $P^{\mathrm{\prime }}(1\mathrm{\mid }2)P\text{'}(1|2)$ entsteht durch Spiegelung des Urpunktes $P(2\mathrm{\mid }1)P(2|1)$ an einer Ursprungsgeraden $hh$.

Nun setzt man $(1^{\mathrm{\prime }})(1\text{'})$ in $(2)(2)$ ein und löst nach $\alpha \backslash alpha$ auf.

Man hat also den Winkel $\alpha \backslash alpha$ bestimmt, unter dem sich die Spiegelachse mit der x-Achse schneidet.

Damit kann man auf die Steigung $m_{h}m\_h$ der Geraden $hh$ schließen und somit die Geradengleichung für $hh$ aufstellen.

Hier noch einmal eine Zusammenfassung des in diesem Kurs behandelten Stoffes:

Spiegelung an einer Ursprunsgeraden

• in Koordinatenform:

  $x^{\mathrm{\prime }}=x\cos 2\alpha +y\sin 2\alpha x\text{'}=\; x\backslash cos\; 2\backslash alpha\; +y\backslash sin2\backslash alpha$

  $y^{\mathrm{\prime }}=x\sin 2\alpha -y\cos 2\alpha y\text{'}=x\backslash sin2\backslash alpha\; -y\backslash cos2\backslash alpha$

• in Matrixform:

  $\left(\begin{array}{c}{x}^{\mathrm{\prime }}\\ y^{\mathrm{\prime }}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\cos 2\alpha \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha -\cos 2\alpha \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash begin\{pmatrix\}x\text{'}\; \backslash \backslash \; y\text{'}\backslash end\{pmatrix\}=\; \backslash left(\backslash begin\{array\}\{c\}\backslash cos2\backslash alpha\backslash \; \backslash \; \backslash sin\; 2\backslash alpha\backslash \backslash \backslash sin\; 2\backslash alpha\; \backslash \; \backslash \; -\; \backslash cos\; 2\backslash alpha\backslash end\{array\}\backslash right)\backslash cdot\backslash left(\backslash begin\{array\}\{c\}x\; \backslash \backslash \; y\backslash end\{array\}\backslash right)$

Zugehörige Themen

• Kurs: Drehung

• Artikel: Verknüpfung von Abbildungen

• weitere Aufgaben und Artikel zum Thema: Abbildungen im Koordinatensystem