Aufgaben zur Länge eines Vektors

1
Berechne die Länge bzw. den Betrag des Vektors. Runde, falls nötig, auf zwei Nachkommastellen.
1. $\vec{u} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 5 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
  $\vec{u} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 5 \end{array})$
  Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
  $| \vec{u} | = \sqrt{2^{2} + (- 1)^{2} + 5^{2}} = \sqrt{4 + 1 + 25} = \sqrt{30} \approx 5,48$
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2. $\vec{u} = (\begin{array}{c} 12 \\ 3 \\ 4 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
  $\vec{u} = (\begin{array}{c} 12 \\ 3 \\ 4 \end{array})$
  Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
  $| \vec{u} | = \sqrt{12^{2} + 3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{144 + 9 + 16} = 13$
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3. $\vec{u} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 1 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
  $\vec{u} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 1 \end{array})$
  Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
  $| \vec{u} | = \sqrt{(- 2)^{2} + 3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} \approx 3,74$
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4. $\vec{u} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 4 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
  $\vec{u} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 4 \end{array})$
  Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
  $| \vec{u} | = \sqrt{1^{2} + (- 2)^{2} + (- 4)^{2}} = \sqrt{1 + 4 + 16} = \sqrt{21} \approx 4,58$
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5. $\vec{u} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
  $\vec{u} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{array})$
  Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
  $| \vec{u} | = \sqrt{3^{2} + (- 4)^{2} + 0^{2}} = \sqrt{9 + 16} = 5$
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6. $\vec{u} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
  $\vec{u} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$
  Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
  $| \vec{u} | = \sqrt{1^{2} + 0^{2} + (- 1)^{2}} = \sqrt{2} \approx 1,41$
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7. $\vec{u} = (\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ 9 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
  $\vec{u} = (\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ 9 \end{array})$
  Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
  $| \vec{u} | = \sqrt{5^{2} + 1^{2} + 9^{2}} = \sqrt{25 + 1 + 81} = \sqrt{107} \approx 10,34$
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8. $\vec{u} = (\begin{array}{c} - 5 \\ 3 \\ 9 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
  $\vec{u} = (\begin{array}{c} - 5 \\ 3 \\ 9 \end{array})$
  Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
  $| \vec{u} | = \sqrt{(- 5)^{2} + 3^{2} + 9^{2}} = \sqrt{25 + 9 + 81} = \sqrt{115} \approx 10,72$
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9. $\vec{u} = (\begin{array}{c} 4 \\ - \frac{2}{3} \\ 0,2 \end{array})$
  (mit 2 Nachkommastellen)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
  $\vec{u} = (\begin{array}{c} 4 \\ - \frac{2}{3} \\ 0,2 \end{array})$
  Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
  $| \vec{u} | = \sqrt{4^{2} + {(- \frac{2}{3})}^{2} + {0,2}^{2}} = \sqrt{16 + \frac{4}{9} + 0,04} \approx 4,06$
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2
Berechne die Länge des Vektors:
1. $\vec{v} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
  $\vec{v} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array})$
  Bestimme die Länge mittels Satz des Pythagoras.
  Die Länge des Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Koordinaten.
  $\begin{array}{rcl} | \vec{v} | = | (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array}) | & = & \sqrt{3^{2} + 4^{2}} \\ = & \sqrt{9 + 16} \\ = & \sqrt{25} \\ = & 5 \end{array}$
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2. $\vec{v} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
  $\vec{v} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \end{array})$
  Berechne die Länge mittels Satz des Pythagoras.
  Die Länge des Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Koordinaten.
  $\begin{array}{rcl} | \vec{v} | = | (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \end{array}) | & = & \sqrt{3^{2} + (- 2)^{2}} \\ = & \sqrt{9 + 4} \\ = & \sqrt{13} \\ \approx & 3,6 \end{array}$
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3. $\vec{v} = (\begin{array}{c} 8 \\ 0 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
  $\vec{v} = (\begin{array}{c} 8 \\ 0 \end{array})$
  Berechne die Länge mittels Satz des Pythagoras
  Die Länge des Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Koordinaten.
  $\begin{array}{rcl} | \vec{v} | = | (\begin{array}{c} 8 \\ 0 \end{array}) | & = & \sqrt{8^{2} + (0)^{2}} \\ = & \sqrt{64 + 0} \\ = & \sqrt{64} \\ = & 8 \end{array}$
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4. $\vec{v} = (\begin{array}{c} - 5 \\ 5 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
  $\vec{v} = (\begin{array}{c} - 5 \\ 5 \end{array})$
  Berechne die Länge mittels Satz des Pythagoras.
  Die Länge des Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Koordinaten.
  $\begin{array}{rcl} | \vec{v} | = | (\begin{array}{c} - 5 \\ 5 \end{array}) | & = & \sqrt{(- 5)^{2} + (5)^{2}} \\ = & \sqrt{25 + 25} \\ = & \sqrt{25 \cdot 2} \\ = & 5 \sqrt{2} \end{array}$
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3
Lässt sich der Vektor $\vec{w}$ durch eine Streckung des Vektors $\vec{v}$ erzeugen? Wenn ja, bestimme den Faktor $k$ , um den $\vec{v}$ gestreckt wurde.
1. $\vec{v} = (\begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array})$ und $\vec{w} = (\begin{array}{c} - 6 \\ - 15 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors anpassen
  Prüfe, ob die Formel $w ⃗ = k \cdot v ⃗$ für ein k erfüllt werden kann.
  $\begin{array}{l} (\begin{array}{c} - 6 \\ - 15 \end{array}) = k \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array}) \end{array}$
  Prüfe nun für die einzelnen Komponenten, ob diese Geichung für ein k erfüllt werden kann.
  Für die x-Kompenente soll gelten:
  $\begin{array}{l} - 6 = k \cdot 2 \\ k = - 6 : 2 = - 3 \end{array}$
  Für die y-Komponente soll gelten:
  $\begin{array}{l} - 15 = k \cdot 5 \\ k = - 15 : 5 = - 3 \end{array}$
  $\Rightarrow k = - 3$
  Für beide Gleichungen kommt dasselbe Ergebnis heraus. Das heißt, dass der Vektor $\vec{w}$ aus $\vec{v}$ durch Streckung um $- 3$ entsteht.
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2. $\vec{v} = (\begin{array}{c} - 5 \\ 31 \end{array})$ und $\vec{w} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 7 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors anpassen
  Prüfe, ob die Formel $\begin{array}{l} \vec{w} = k \cdot \vec{v} \end{array}$ für ein $k$ erfüllt werden kann.
  $\begin{array}{l} (\begin{array}{c} 1 \\ - 7 \end{array}) = k \cdot (\begin{array}{c} - 5 \\ 31 \end{array}) \end{array}$
  Prüfe für jede Komponente des Vektors, ob diese Gleichung erfüllt werden kann:
  Für die x-Komponente soll gelten:
  $\begin{array}{l} 1 = k \cdot (- 5) \\ k = - \frac{1}{5} \end{array}$
  Für die y-Komponente soll gelten:
  $\begin{array}{l} - 7 = k \cdot 31 \\ k = - \frac{7}{31} \end{array}$
  $\Rightarrow - \frac{1}{5} \neq - \frac{7}{31}$
  Du erhältst für $k$ zwei verschiedene Werte.
  Der Vektor $\vec{w}$ kann also nicht durch eine Streckung der Vektors $\vec{v}$ um eine reelle Zahl $k$ erzeugt werden.
  Die Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ zeigen somit weder in die gleiche noch in die entgegengesetzte Richtung.
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3. $\vec{v} = (\begin{array}{c} 0 \\ 6,75 \end{array})$ und $\vec{w} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 576 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors anpassen
  Prüfe, ob die Formel $\vec{w} = k \cdot \vec{v}$ für ein k erfüllt werden kann.
  $\begin{array}{l} (\begin{array}{c} 0 \\ - 576 \end{array}) = k \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 6,75 \end{array}) \end{array}$
  Prüfe für die einzelnen Komponenten, ob diese Geichung für ein k erfüllt werden kann.
  Für die x-Kompenente soll gelten:
  $0 = k \cdot 0$
  Diese Gleichung ist für alle reellen Zahlen erfüllt.
  Für die y-Komponente soll gelten:
  $- 576 = k \cdot 6,75$
  $k = - \frac{256}{3}$
  Da die erste Gleichung für beliebige reelle Zahlen erfüllt ist, gilt sie insbesondere auch für $k = - \frac{256}{3}$ . Dies ist also der gesuchte Streckungsfaktor.
  $\Rightarrow$ Das heißt, dass der Vektor $\vec{w}$ aus $\vec{v}$ durch Streckung um $k = - \frac{256}{3}$ entsteht.
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