Aufgaben mit zwei Unbekannten

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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Bestimmen Sie die Lösungsmengen folgender Gleichungssysteme.
Gib die Lösungsmenge in der Form $(x; y)$ in das Eingabefeld ein.
1. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&5y& -& 3x& =& 1\\\mathrm{II}& x &=& y& +& 1\end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme
  In diesem Fall ist das Einsetzungsverfahren sinnvoll, da die zweite Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&5y& -& 3x& =& 1\\\mathrm{II}& x &=& y& +& 1\end{array}$
  Setz die Gleichung $\mathrm{II}$ in $\mathrm{I}$ ein.
  $\mathrm{I}'\quad5y-3\left(y+1\right)=1$
  Lös $\text{I}'$ nach $y$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcccc}5y-3y-3&=&1&\\2y-3&=&1&|+3\\2y&=&4&|:2\\y&=&2\end{array}$
  Nun kannst du $y = 2$ in $\mathrm{II}$ einsetzen und nach $x$ auflösen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcccc}5\cdot2-3x&=&1&|-10\\-3x&=&-9&|:(-3)\\x&=&3\end{array}$
  $L=\left\{\left(x\;\left|\;y\right.\right)\right\}=\left\{\left(3\;\left|\;2\right.\right)\right\}$
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2. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&4x&+&5y&=&32\\\mathrm{II}&y&=&5x&-&11\end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineares Gleichungssystem
  In diesem Fall ist das Einsetzungsverfahren sinnvoll, da die zweite Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&4x&+&5y&=&32\\\mathrm{II}&y&=&5x&-&11\end{array}$
  Setz die Gleichung $\mathrm{II}$ in $\mathrm{I}$ ein.
  $\mathrm{I}'\quad 4x+5\cdot \left(5x-11\right)=32$
  Löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rccc}4x+25x-55&=&32&\\29x-55&=&32&|+55\\29x&=&87&&|:29\\x&=&3\end{array}$
  Setz $x = 3$ in $\mathrm{II}$ ein und löse nach $y$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}y&=&5\cdot3-11\\y&=&4\end{array}$
  $L=\left\{\left(x\;\left|\;y\right.\right)\right\}=\left\{\left(3\;\left|\;4\right.\right)\right\}$
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3. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccc}\mathrm{I}&15y&-&4x&=&-50\\\mathrm{II}&x&=&y&+&7\end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineares Gleichungssystem
  In diesem Fall ist das Einsetzungsverfahren sinnvoll, da die zweite Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccc}\mathrm{I}&15y&-&4x&=&-50\\\mathrm{II}&x&=&y&+&7\end{array}$
  Setz die Gleichung $\mathrm{II}$ in $\mathrm{I}$ ein.
  $\mathrm{I}'\quad15y-4\left(y+7\right)=-50$
  Lös nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}15y-4y-28&=&-50&\\11y-28&=&-50&|+28\\11y&=&-22&|:11\\y&=&-2\end{array}$
  Setz nun $y = - 2$ in $\mathrm{II}$ ein und lös nach $x$ auf.
  $x = - 2 + 7$
  $x = 5$
  $L=\left\{\left(x\;\left|\;y\right.\right)\right\}=\left\{\left(5\;\left|\;-2\right.\right)\right\}$
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4. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccc}\mathrm{I}&3x&=&y&+&15\\\mathrm{II}&2y&-&10&=&2x\end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineares Gleichungssystem
  Lösung mit Einsetzungsverfahren
  In diesem Fall ist das Einsetzungsverfahren sinnvoll, da die zweite Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccc}\mathrm{I}&3x&=&y&+&15\\\mathrm{II}&2y&-&10&=&2x\end{array}$
  Teile $\mathrm{II}$ durch 2, um nach der Variablen $x$ aufzulösen.
  $\mathrm{II}:2\to\mathrm{II}'\quad y-5= x$
  Setze $\mathrm{II}'$ in $\mathrm{I}$ ein.
  $\mathrm{II}'$ in $\mathrm{I}$ eingesetzt:
  $\mathrm{I}'\quad3\left(y-5\right)=y+15$
  Löse dann $\mathrm{I}'$ nach $y$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}3y-15&=&y+15&|-y; +15\\2y&=&30&|:2\\y&=&15\end{array}$
  Setze anschließend $y = 15$ in $\mathrm{II}'$ ein und löse nach $x$ auf.
  $y = 15$ in $\mathrm{II}'$ eingesetzt:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}15-5&=&x\\10&=&x\end{array}$
  $L=\left\{\left(x\;\left|\;y\right.\right)\right\}=\left\{\left(10\;\left|\;15\right.\right)\right\}$
  Alternative Lösung: Gleichsetzungsverfahren
  Eine weitere Möglichkeit ist, hier das Gleichsetzungsverfahren anzuwenden, da auf der linken Seite von $\mathrm{I}$ und auf der rechten Seite von $\mathrm{II}$ fast der gleiche Term steht.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccc}\mathrm{I}&3x&=&y&+&15\\\mathrm{II}&2y&-&10&=&2x\end{array}$
  Multipliziere $\mathrm{II}$ mit $\frac32$ , um auf der rechten Seite $3 x$ zu erzeugen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccc}\mathrm{I}&3x&=&y&+&15\\\mathrm{II}'&3y&-&15&=&3x\end{array}$
  Setze die rechte Seite von $\mathrm{I}$ mit der linken von $\mathrm{II}'$ gleich und löse nach $y$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}y+15&=&3y-15&|-y;\;+15\\30&=&2y&|:2\\y&=&15\end{array}$
  Setze $y = 15$ in $\mathrm{I}$ (oder auch $\mathrm{II}$ ) ein und löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}3\cdot x&=&y+15&\\3\cdot x&=&15+15&\\3\cdot x&=&30&|:3\\x&=&10\end{array}$
  $L=\left\{\left(x\;\left|\;y\right.\right)\right\}=\left\{\left(10\;\left|\;15\right.\right)\right\}$
  Alternative Lösung: Kombination Additionsverfahren und Einsetzverfahren
  Auch das Additionsverfahren kann hier sinnvoll eingesetzt werden. Dazu stellt man die Gleichungen zunächst so um, dass die passenden Terme untereinander stehen:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccc}\mathrm{I}&3x&=&y&+&15\\\mathrm{II}&2x&=&2y&-&10\end{array}$
  Subtrahiere die zweite von der ersten Gleichung.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccc}\mathrm{I}'&x&=&-y&+&25\\\mathrm{II}&2x&=&2y&-&10\end{array}$
  Da die erste Gleichung nun nach $x$ aufgelöst ist, kann man wieder das Einsetzungsverfahren anwenden.
  Setze dazu $\mathrm{I}'$ in $\mathrm{II}$ ein und löse nach $y$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{crcll}\mathrm{II}'&2\cdot(-y+25)&=&2y-10&\\&-2y+50&=&2y-10&|-2y \;\;|-50\\&-4y&=&-60&|:(-4)\\&y&=&15\end{array}$
  Setze $y = 15$ in $\mathrm{I}'$ ein und löse nach $x$ auf.
  $x = - 15 + 25$
  $x = 10$
  $L=\{(x|y)\}=\{(10|15)\}$
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Bestimme die Lösungsmengen folgender linearer Gleichungssysteme.

Gib die Lösungsmenge in der Form $(x; y)$ in das Eingabefeld ein. Beispiel: $(- 2,5; 1)$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrcll}(\text I)&2y&=&2x-40\\(\text {II})&3x&=&10-2y\end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme kannst du mit dem Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren oder Additionsverfahren lösen.

Mit den verschiedenen Lösungsverfahren kannst du wie folgt die Lösung berechnen. Das Einsetzungsverfahren eignet sich hier aber am Besten.

Einsetzungsverfahren

Hier die Lösung mit dem Einsetzungsverfahren:

Gegeben: $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}(\text I)\;2y=2x-40\\(\text{II})\;3x=10-2y\end{array}$

Gleichung $(\text I)$ ist nach $2 y$ aufgelöst. Dieser Term kommt auch in Gleichung $(\text{II})$ vor. Setze also die Gleichung $(I)$ in $(I I)$ ein.

$\displaystyle \left(\text{II}\right)\ \ \ \ \ 3x$	$=$	$\displaystyle 10-\textcolor{orange}{2y}$
	↓	Aus Gleichung $(\text I)$ : $\textcolor{orange}{2y=2x-40}$ einsetzen.
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle 10-(\textcolor{orange}{2x-40})$
	↓	Löse die Klammer auf.
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle 10-2x+40$	$\displaystyle +2x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 5x$	$=$	$\displaystyle 50$	$\displaystyle :5$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 10$

Um $y$ zu finden, setze den Wert von $x$ in $(\text{I})$ ein.

$\displaystyle \left(\text{I}\right)\ \ \ \ 2y$	$=$	$\displaystyle 2\textcolor{green}{x}-40$
	↓	Setze $\textcolor{green}{x=10}$ ein.
$\displaystyle 2y$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\textcolor{green}{10}-40$
$\displaystyle 2y$	$=$	$\displaystyle 20-40$
$\displaystyle 2y$	$=$	$\displaystyle -20$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -10$

Gib die Lösungsmenge an, dabei zuerst die Lösung für $x$ , dann für $y$ eintragen.

$L=\left\{\left(x\left|y\right.\right)\right\}=\left\{\left(10\;\left|\;-10\right.\right)\right\}$

Lösung mithilfe der anderen Verfahren

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$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}(\text I)\;\;\frac 12 x-\frac35y=3\\(\text{II})\;\frac 14x+y=8\end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme kannst du mit dem Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren oder Additionsverfahren lösen.

Mit den verschiedenen Lösungsverfahren kannst du wie folgt die Lösung berechnen. Das Einsetzungsverfahren eignet sich hier am Besten.

Einsetzungsverfahren

Hier die Lösung mit dem Einsetzungsverfahren:

Gegeben: $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}(I)\;\;\frac 12x-\frac{3}5y=3\\(\text{II})\;\frac 14x+y=8\end{array}$

Forme $(\text{II})$ so um, dass auf der einen Seite $y$ steht.

$\displaystyle (\text {II})\;\;\;\; \frac 14 x+y$	$=$	$\displaystyle 8\;\;\;$	$\displaystyle -\frac{1}{4}x$
$\displaystyle \left(\text{II'}\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y$	$=$	$\displaystyle 8-\frac 14 x$

Setze $y=8-\frac{1}{4}x$ in $(\text I)$ ein und löse nach $x$ auf.

$\displaystyle \left(\text{I}\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{2}x-\frac{3}{5}y$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Setze $y=8-\frac 14 x$ ein.
$\displaystyle \frac{1}{2}x-\frac{3}{5}\cdot\left(8-\frac{1}{4}x\right)$	$=$	$\displaystyle 3$
$\displaystyle \frac{1}{2}x-\frac{24}{5}+\frac{3}{20}x$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle +\frac{24}{5}$
$\displaystyle \frac{1}{2}x+\frac{3}{20}x$	$=$	$\displaystyle 3+\frac{24}{5}$
	↓	Berechne die Brüche.
$\displaystyle \frac{10}{20}x+\frac{3}{20}x$	$=$	$\displaystyle 3+4\ \frac{4}{5}$
$\displaystyle \frac{13}{20}x$	$=$	$\displaystyle 7\ \frac{4}{5}$	$\displaystyle \cdot\frac{20}{13}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 12$

Setze $x = 12$ in $\left(\text{II'}\right)$ ein.

$\displaystyle \left(\text{II'}\right)\ \ y$	$=$	$\displaystyle 8-\frac{1}{4}x$
	↓	Setze $x = 12$ ein.
	$=$	$\displaystyle 8-\frac{1}{4}\cdot12$
	$=$	$\displaystyle 8-3$
	$=$	$\displaystyle 5$

Gib die Lösungsmenge an, dabei zuerst die Lösung für $x$ , dann für $y$ .

$L=\left\{\left(12\;\left|\;5\right.\right)\right\}$

Lösung mithilfe anderer Verfahren

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Löse die Gleichungssysteme.

Gib die Lösungsmenge in der Form $(x; y)$ in das Eingabefeld ein. Beispiel: $(- 2,5; 1)$

$\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}) \quad 3x + 4 = 2y$

$\mathrm{II}) \quad 4y = 2x + 10$

$\hphantom{\mathrm{I}} \mathrm{I}) \quad y - 1 = 2x + 3$

$\mathrm{II}) \quad 2y - 2 = 5x - 1$

$\hphantom{\mathrm{I}} \mathrm{I}) \quad 2x + 3y = 4x - 5$
$\mathrm{II}) \quad 3x - 2y = 2y + 8$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichsetzungsverfahren
Lineares Gleichungssystem mit Gleichsetzungsverfahren
$\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}) \quad 2x+3y = 4x -5$
$\mathrm{II}) \quad 3x-2y = 2y+8$
1. Beide Gleichungen nach einer Variable auflösen
Löse beispielsweise nach $y$ auf
$\def\arraystretch{1.25} %%\begin{array}{lrl} \hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}) & 2x+3y &= &4x -5 \\ \hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I})' & 3y &= &2x -5 \\ \hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I})'' & y &= &\frac{2}{3}x - \frac{5}{3} \end{array}%%$ $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrll} \hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}) & 2x+3y &= &4x -5 \quad \mid -2x\\ \hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}') & 3y &= &2x -5 \quad \mid :3\\ \hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}'') & y &= &\frac{2}{3}x - \frac{5}{3} \end{array}$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrcll} \mathrm{II}) & 3x-2y &=&2y+8 &| +2y -8 \\ \mathrm{II}') & 3x-8 &=&4y &| :4\\ \mathrm{II}'') & \frac{3}{4}x-2 &=&y \end{array}$
2. Gleichsetzen
Setze $\mathrm{I''}$ und $\mathrm{II''}$ gleich.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrl}\Rightarrow &\frac{3}{4}x-2 &= &\frac{2}{3}x-\frac{5}{3} \end{array}$
3. Nach der einen Variable auflösen
Löse nach $x$ auf.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll} \frac{3}{4}x-2 &= &\frac{2}{3}x-\frac{5}{3} &| -\frac{2}{3}x \\\frac{3}{4}x-\frac{2}{3}x-2 &= &-\frac{5}{3} \quad\quad &|+2\\\frac{9}{12}x-\frac{8}{12}x &= &-\frac{5}{3} +2 \\\frac{1}{12}x &= &\frac{1}{3} \quad \quad &|\cdot12\\x &= &4 \end{array}$
4. In eine Gleichung einsetzten, um die andere Variable heraus zu finden
Setze $x$ beispielsweise in $\mathrm{II'}$ ein.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl} \frac{3}{4}\cdot (4)-2 &= &y \\3-2 &= &y \\y &= &1\end{array}$
$4$ wird für $x$ eingesetzt.
Lösungsmenge angeben!
$L = \{(4{,}1)\}$
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Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle 1{,}5x+2$	$=$	$\displaystyle 0{,}5x+2{,}5\;\;$	$\displaystyle -0{,}5x$
$\displaystyle x+2$	$=$	$\displaystyle 2{,}5$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0{,}5$

$\displaystyle 0{,}5y-2$	$=$	$\displaystyle 0{,}4y-0{,}2\;\;$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle 0{,}5y$	$=$	$\displaystyle 0{,}4y+1{,}8$	$\displaystyle -0{,}4y$
$\displaystyle 0{,}1y$	$=$	$\displaystyle 1{,}8$	$\displaystyle :0{,}1$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 18$

Aufgaben mit zwei Unbekannten

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Lösung mit Einsetzungsverfahren

Alternative Lösung: Gleichsetzungsverfahren

Alternative Lösung: Kombination Additionsverfahren und Einsetzverfahren

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Einsetzungsverfahren

Lösung mithilfe der anderen Verfahren

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Einsetzungsverfahren

Lösung mithilfe anderer Verfahren

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Lineares Gleichungssystem mit Gleichsetzungsverfahren

1. Beide Gleichungen nach y auflösen

2. Gleichsetzen

3. Gleichung nach x auflösen

4. x einsetzen, um y heraus zu finden

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Lineares Gleichungssystem mit Gleichsetzungsverfahren

1. Beide Gleichungen nach x auflösen

2. Gleichsetzen

3. Gleichung nach y auflösen

4. $y$ einsetzen, um $x$ heraus zu finden

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Lineares Gleichungssystem mit Gleichsetzungsverfahren

1. Beide Gleichungen nach einer Variable auflösen

2. Gleichsetzen

3. Nach der einen Variable auflösen

4. In eine Gleichung einsetzten, um die andere Variable heraus zu finden

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Aufgaben mit zwei Unbekannten

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Lösung mit Einsetzungsverfahren

Alternative Lösung: Gleichsetzungsverfahren

Alternative Lösung: Kombination Additionsverfahren und Einsetzverfahren

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Einsetzungsverfahren

Lösung mithilfe der anderen Verfahren

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Einsetzungsverfahren

Lösung mithilfe anderer Verfahren

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Lineares Gleichungssystem mit Gleichsetzungsverfahren

1. Beide Gleichungen nach y auflösen

2. Gleichsetzen

3. Gleichung nach x auflösen

4. x einsetzen, um y heraus zu finden

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Lineares Gleichungssystem mit Gleichsetzungsverfahren

1. Beide Gleichungen nach x auflösen

2. Gleichsetzen

3. Gleichung nach y auflösen

4. yyy einsetzen, um xxx heraus zu finden

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Lineares Gleichungssystem mit Gleichsetzungsverfahren

1. Beide Gleichungen nach einer Variable auflösen

2. Gleichsetzen

3. Nach der einen Variable auflösen

4. In eine Gleichung einsetzten, um die andere Variable heraus zu finden

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4. $y$ einsetzen, um $x$ heraus zu finden