Gemischte Aufgaben zur Addition und skalaren Multiplikation

1
Gegeben sind die Vektoren $\vec a = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}$ , $\vec b = \begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix}$ und $\vec c = \begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix}$ . Berechne jeweils den angegebenen Vektor und veranschauliche in den Teilaufgaben a) bis c) durch eine Zeichnung!
1. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Addition von Vektoren
  geg.: $\vec a = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}$ , $\vec b = \begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix}$
  ges.: $\vec d = \vec a + \vec b$
  Addiere die beiden Vektoren, indem du ihre Koordinaten addierst!
  Grafische Veranschaulichung
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2. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Subtraktion von Vektoren
  geg.: $\vec a = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}$ , $\vec b = \begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix}$
  ges.: $\vec e = \vec a - \vec b$
  Subtrahiere die beiden Vektoren, indem du ihre Koordinaten subtrahierst!
  Grafische Veranschaulichung
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3. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarmultiplikation von Vektoren
  geg.: $\vec a = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}$
  ges.: $\vec f = -2\cdot\vec a$
  Multipliziere den Vektor mit $-2$ , indem du seine Koordinaten mit $-2$ multiplizierst!
  Grafische Veranschaulichung
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4. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektorkette
  geg.: $\vec a = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}$ , $\vec b = \begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix}$ , $\vec c = \begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix}$
  ges.: $\vec g = \vec a - 4\vec b + \frac{2}{3}\vec c$
  Um die Vektorkette zu berechnen, setze zunächst die Koordinaten der Vektoren ein!
  $\vec g = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix} - 4\cdot\begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix} + \frac{2}{3}\cdot\begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix}$
  Führe nun die Rechenoperationen komponentenweise durch und vereinfache anschließend!
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2
Berechne den Lösungsvektor.
1. $\displaystyle \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren, Skalare Multiplikation
  $\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix}$
  Multipliziere zuerst den Vektor komponentenweise mit dem Skalar.
  $=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\cdot1\\2\cdot(-2)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix}$
  Addiere die Vektoren komponentenweise.
  $=\begin{pmatrix}1+2\cdot1+0\\1+2\cdot(-2)+6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}$
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2. $4\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren, Skalare Multiplikation
  $4\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}\\$
  Multipliziere zuerst den ersten Vektor mit dem Skalar.
  $=\begin{pmatrix}0\\-8\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}\\$
  Addiere und subtrahiere die Vektoren komponentenweise.
  $=\begin{pmatrix}0+6-0\\-8+0-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\-11\end{pmatrix}$
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3. $5\cdot\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix}-3\cdot\begin{pmatrix}-9\\2\end{pmatrix}+4\cdot\begin{pmatrix}-3\\-2{,}25\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren, Skalare Multiplikation
  $5\cdot\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix}-3\cdot\begin{pmatrix}-9\\2\end{pmatrix}+4\cdot\begin{pmatrix}-3\\-2{,}25\end{pmatrix}$
  Multipliziere die Vektoren komponentenweise mit den Skalaren.
  $=\begin{pmatrix}5\cdot(-3)\\5\cdot3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\cdot(-9)\\3\cdot2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\cdot(-3)\\4\cdot(-2{,}25)\end{pmatrix}$
  Addiere bzw. subtrahiere komponentenweise.
  $=\begin{pmatrix}5\cdot(-3)-3\cdot(-9)+4\cdot(-3)\\5\cdot3-3\cdot2+4\cdot(-2{,}25)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$
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3
Gegeben seien die Punkte $A(-4|0)$ , $B(2|-1)$ und $C(5|2)$ . Vervollständige zu einem Parallelogramm ABCD und berechne neben den Koordinaten von D auch die Lage des Schnittpunktes M seiner Diagonalen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektorkette
Zeichnerische Bestimmung von D
Trage A, B und C ein. Übertrage den Vektor $\overrightarrow{BC}$ an A.
D liegt also bei $D(-1|3)$
Da es sich nicht immer um so schöne Zahlwerte handelt, ist es gut, auch die rechnerische Bestimmung zu können.
Rechnerische Bestimmung
Bestimme zuerst $\vec a = \overrightarrow{AB}$ oder $\vec b = \overrightarrow{BC}$ .
$\vec a = \begin{pmatrix}2- & (-4)\\-1 & -0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6\\ -1 \end{pmatrix}$
$\vec b = \begin{pmatrix} 5 & -2\\2- & (-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ 3 \end{pmatrix}$
Da $ABCD$ ein Parallelogramm ist, gilt außerdem $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ und $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ .
Die Koordinaten von D berechnest du, indem du eine Vektorkette bildest. Beginne diese mit dem Ortsvektor $\vec A$ von A.
$\vec D=\vec A + \overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix} -4\\0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 3\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1\\3\end{pmatrix}$
Somit ist $D(-1|3)$ .
Lage des Diagonalenschnittpuntkts
In einem Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen. Du suchst also den Mittelpunkt M der Strecke $\overline{AC}$ oder $\overline{BD}$ .
Bilde wieder eine Vektorkette:
$\vec M= \vec A+\frac 1 2\cdot\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix} -4\\0\end{pmatrix}+\frac 1 2 \cdot \begin{pmatrix} 5-(-4)\\2-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4\\0\end{pmatrix}+\frac 1 2 \cdot \begin{pmatrix} 9\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}5\\1\end{pmatrix}$
Die Diagonalen schneiden sich also in $M(0{,}5|1)$
Löse durch Zeichnen oder mithilfe einer Vektorkette.
Nutze dabei, dass die Seiten $\overline{BC}$ und $\overline{AD}$ parallel und gleich lang sind.
Außerdem halbieren sich die Diagonalen im Parallelogramm.
4
Gegeben sind die Vektoren $\vec a=\begin{pmatrix} -1\\2\end{pmatrix}$ , $\vec b=\begin{pmatrix}3\\4{,}5 \end{pmatrix}$ und $\vec c=\begin{pmatrix}5\\0 \end{pmatrix}$ . Berechne jeweils den Vektor, der sich durch die angegebene Vektorkette ergibt!
1. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren
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2. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren
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