Gemischte Aufgaben zur Addition und skalaren Multiplikation
- 1
Gegeben sind die Vektoren a=(2â2â), b=(â5â3â) und c=(39â). Berechne jeweils den angegebenen Vektor und veranschauliche in den Teilaufgaben a) bis c) durch eine Zeichnung!
- d=a+b
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Addition von Vektoren
geg.: a=(2â2â), b=(â5â3â)
ges.: d=a+b
Addiere die beiden Vektoren, indem du ihre Koordinaten addierst!
d=a+b=(2â2â)+(â5â3â)==(2+(â5)â2+(â3)â)=(â3â5â)Grafische Veranschaulichung
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- e=aâb
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Subtraktion von Vektoren
geg.: a=(2â2â), b=(â5â3â)
ges.: e=aâb
Subtrahiere die beiden Vektoren, indem du ihre Koordinaten subtrahierst!
e=aâb=(2â2â)â(â5â3â)==(2â(â5)â2â(â3)â)=(71â)Grafische Veranschaulichung
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- fâ=â2â a
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarmultiplikation von Vektoren
geg.: a=(2â2â)
ges.: fâ=â2â a
Multipliziere den Vektor mit â2, indem du seine Koordinaten mit â2 multiplizierst!
fâ=â2â a=â2â (2â2â)==(â2â 2â2â (â2)â)=(â44â)Grafische Veranschaulichung
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- gâ=aâ4b+32âc
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektorkette
geg.: a=(2â2â), b=(â5â3â), c=(39â)
ges.: gâ=aâ4b+32âc
Um die Vektorkette zu berechnen, setze zunÀchst die Koordinaten der Vektoren ein!
gâ=(2â2â)â4â (â5â3â)+32ââ (39â)
FĂŒhre nun die Rechenoperationen komponentenweise durch und vereinfache anschlieĂend!
gâ=(2â2â)â(4â (â5)4â (â3)â)+(32ââ 332ââ 9â)==(2â(â20)+2â2â(â12)+6â)=(2416â)Hast du eine Frage oder Feedback?
- 2
Berechne den Lösungsvektor.
(11â)+2â (1â2â)+(06â)
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren, Skalare Multiplikation
(11â)+2â (1â2â)+(06â)
Multipliziere zuerst den Vektor komponentenweise mit dem Skalar.
=(11â)+(2â 12â (â2)â)+(06â)
Addiere die Vektoren komponentenweise.
=(1+2â 1+01+2â (â2)+6â)=(33â)
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4â (0â2â)+(60â)â(03â)
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren, Skalare Multiplikation
4â (0â2â)+(60â)â(03â)
Multipliziere zuerst den ersten Vektor mit dem Skalar.
=(0â8â)+(60â)â(03â)
Addiere und subtrahiere die Vektoren komponentenweise.
=(0+6â0â8+0â3â)=(6â11â)
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5â (â33â)â3â (â92â)+4â (â3â2,25â)
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren, Skalare Multiplikation
5â (â33â)â3â (â92â)+4â (â3â2,25â)
Multipliziere die Vektoren komponentenweise mit den Skalaren.
=(5â (â3)5â 3â)â(3â (â9)3â 2â)+(4â (â3)4â (â2,25)â)
Addiere bzw. subtrahiere komponentenweise.
=(5â (â3)â3â (â9)+4â (â3)5â 3â3â 2+4â (â2,25)â)=(00â)
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- 3
Gegeben seien die Punkte A(â4âŁ0), B(2âŁâ1) und C(5âŁ2). VervollstĂ€ndige zu einem Parallelogramm ABCD und berechne neben den Koordinaten von D auch die Lage des Schnittpunktes M seiner Diagonalen.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektorkette
Zeichnerische Bestimmung von D
Trage A, B und C ein. Ăbertrage den Vektor BC an A.
D liegt also bei D(â1âŁ3)
Da es sich nicht immer um so schöne Zahlwerte handelt, ist es gut, auch die rechnerische Bestimmung zu können.
Rechnerische Bestimmung
Bestimme zuerst a=AB oder b=BC.
a=(2ââ1â(â4)â0â)=(6â1â)
b=(52âââ2(â1)â)=(33â)
Da ABCD ein Parallelogramm ist, gilt auĂerdem AB=DC und BC=AD.
Die Koordinaten von D berechnest du, indem du eine Vektorkette bildest. Beginne diese mit dem Ortsvektor A von A.
D=A+BC=(â40â)+(33â)=(â13â)
Somit ist D(â1âŁ3).
Lage des Diagonalenschnittpuntkts
In einem Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen. Du suchst also den Mittelpunkt M der Strecke AC oder BD.
Bilde wieder eine Vektorkette:
M=A+21ââ AC=(â40â)+21ââ (5â(â4)2â0â)=(â40â)+21ââ (92â)=(0,51â)
Die Diagonalen schneiden sich also in M(0,5âŁ1)
Löse durch Zeichnen oder mithilfe einer Vektorkette.
Nutze dabei, dass die Seiten BC und AD parallel und gleich lang sind.
AuĂerdem halbieren sich die Diagonalen im Parallelogramm.
- 4
Gegeben sind die Vektoren a=(â12â), b=(34,5â) und c=(50â). Berechne jeweils den Vektor, der sich durch die angegebene Vektorkette ergibt!
- d=7a+2bâ52âc
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren
d=7a+2bâ52âc=7â (â12â)+2â (34,5â)â52ââ (50â)==(7â (â1)7â 2â)+(2â 32â 4,5â)ââ52ââ 552ââ 0ââ=(â7+6â214+9â0â)=(â323â)Hast du eine Frage oder Feedback?
- e=32âbâ4a
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren
e=32âbâ4a=32ââ (34,5â)â4â (â12â)==â32ââ 332ââ 4,5âââ(4â (â1)4â 2â)=(2â(â4)3â8â)=(6â5â)Hast du eine Frage oder Feedback?
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