Aufgaben zu Bernoulli-Kette und Binomialverteilung

Eine Firma stellt Computertastaturen her, von denen 2 % Ausschuss sind. Bestimme die Anzahl der Tastaturen, die mindestens produziert werden müssen, damit mit 90%iger Wahrscheinlichkeit zumindest eine defekte dabei ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeiten

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Mindestens eine Tastatur ist defekt“ kannst du direkt nur sehr schwierig berechnen. Deshalb ist es sinnvoll, diese Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis „Keine Tastatur ist defekt“ zu berechnen.

Du startest also mit folgendem Ansatz:

$P(\text{„Mindestens eine Tastatur ist defekt“}) = 1 - P(\text{„Keine Tastatur ist defekt“})$

Stelle nun die Formel für die Binomialverteilung von $P(\text{„Keine Tastatur ist defekt“})$ auf (also $k=0$ , da keine defekt ist).

$\displaystyle P(\text{„Keine Tastatur ist defekt“})$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}\cdot0{,}02^0\cdot\left(1-0{,}02\right)^{n-0}$
	↓	Wende die Formel für den Binomialkoeffizienten an.
	$=$	$\displaystyle \frac{n!}{0!\cdot\left(n-0\right)!}\cdot0{,}02^0\cdot0{,}98^n$
	↓	Vereinfache den Term, indem du $0!$ durch das Ergebnis der Fakultät ersetzt, die Potenz $0{,}02^0$ ausrechnest und die Differenz im Bruch berechnest.
	$=$	$\displaystyle \frac{n!}{n!}\cdot1\cdot0{,}98^n$
	↓	Vereinfache den Bruch $\frac{n!}{n!}$ .
	$=$	$\displaystyle 0{,}98^n$

Führe den zuvor aufgestellten Ansatz mit P(„mindestens eine Tastatur ist defekt“) ${}=90\,\%$ aus.

$\displaystyle 1-0{,}98^n$	$=$	$\displaystyle 0{,}9$	$\displaystyle +0{,}98^n-0{,}9$
$\displaystyle 0{,}1$	$=$	$\displaystyle 0{,}98^n$
	↓	Wende den Logarithmus an.
$\displaystyle \log_{0{,}98}0{,}1$	$=$	$\displaystyle n$
$\displaystyle n$	$≈$	$\displaystyle 114$

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2
Eine bestimmte Maschine besteht aus 8 unabhängig voneinander arbeitenden Teilen. Jedes Teil funktioniert mit der Wahrscheinlichkeit p nicht. Fallen mindestens 2 dieser Teile aus, wird die Maschine funktionsunfähig.
Wie groß darf p, auf eine Stelle hinter dem Komma gerundet, höchstens sein, damit die Maschine mit (mindestens) 80% Sicherheit arbeiten kann?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen mit Wahrscheinlichkeiten
Definiere die Zufallsvariable $X$ ="Anzahl der Teile der Maschine, die nicht funktionieren"
$P(\text{"Maschine läuft"})$ = $P\left(X\leq1\right)$
$X$ hat Binomialverteilung mit $n=8$ . Es gibt nämlich $\begin{pmatrix}8\\ k \end{pmatrix}$ Möglichkeiten, dass $k$ der $8$ Teile nicht funktionieren; für jedes einzelne Teil ist die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht funktioniert, gleich $p$ .
$\mathrm P(\mathrm X=\mathrm k)=\begin{pmatrix}8\\\mathrm k\end{pmatrix}\cdot p^\mathrm k\cdot\left(1-\mathrm p\right)^{8-\mathrm k}$
Du brauchst für diese Aufgabe nun die kumulierte Wahrscheinlichkeit, d. h. die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $X \leq 1$ ist.
Setze die Wahrscheinlichkeit größer gleich als $80\%$ und schaue im Tafelwerk der Stochastik nach, für welche $p$ die Ungleichung immer noch erfüllt ist.
$\mathrm P\left(\mathrm X\leq1\right)\geq0{,}8$
Dem Tafelwerk entnimmst du: Für alle Werte von $p$ die unter $0{,}1$ liegen, ist die Ungleichung sicher erfüllt, für $p=0{,}125$ bereits nicht mehr.
$\Rightarrow \mathrm p\leq 0{,}1$

Aus einem Kartenspiel mit 52 Karten wird immer eine Karte gezogen und dann wieder zurückgesteckt.

Wie oft muss dies wiederholt werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% mindestens zwei Pikkarten zu ziehen?

4
In einem Multiple-Choice-Test gibt es 20 Aufgaben, bei denen man aus drei möglichen Lösungen die richtige ankreuzen muss. Felix hat sich nicht auf den Test vorbereitet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird er trotzdem genau die Hälfte der Fragen richtig beantworten?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Berechne die Wahrscheinlichkeit, indem du die gegebenen Werte in die Formel der Binomialverteilung einsetzt:
geg: $n=20,\;p=\frac13,\;k=10$
Wende die Formel für den Binomialkoeffizienten an:
$P=\begin{pmatrix}20\\10\end{pmatrix}\cdot\left(\frac13\right)^{10}\cdot\left(1-\frac13\right)^{20-10}$
$=\frac{20!}{10!\left(20-10\right)!}\cdot\left(\frac13\right)^{10}\cdot\left(1-\frac13\right)^{20-10}$
$=\frac{20!}{10!\cdot10!}\cdot\left(\frac13\right)^{10}\cdot\left(\frac23\right)^{10}$
$\approx0{,}05426\approx5{,}4\%$
$\Rightarrow$ Zu $5{,}4\%$ beantwortet er genau die Hälfte der Fragen richtig.

In einem Forum wird eine wichtige Frage gestellt, woraufhin 6 Personen eine Antwort formulieren, ohne die Antwort der anderen gesehen zu haben. Hierbei gibt jeder von ihnen mit einer 70%igen Wahrscheinlichkeit die richtige Antwort.

Wie könnte man dies als Bernoulli-Kette darstellen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Kette
Die Antworten werden unabhängig voneinander bewertet.
Jede Antwort kann richtig mit Wahrscheinlichkeit 0,7 oder falsch mit Wahrscheinlichkeit 0,3 sein.
Die 6 Antworten werden jetzt hintereinander als Bernoulli-Experimente betrachtet.
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Mit welcher Wahrscheinlichkeit
(1) haben alle sechs mit ihrer Antwort recht?
(2) hat keiner von ihnen recht?
(3) geben genau der erste und letzte die richtige Antwort?
(4) gibt mindestens einer die richtige Antwort?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeiten berechnen
P("Person hat recht")= $\mathrm P\left(\mathrm R\right)$ = 0,7
Bestimmte die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis
P("Person hat unrecht")= $\mathrm P\left(\overline{\mathrm R}\right)$ = 0,3
Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben alle sechs mit ihrer Antwort recht?
Ob eine Antwort richtig ist wird nicht von der Richtigkeit der anderen Antworten beeinflusst, also sind die Ereignisse stochastisch unabhängig.Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, dass alle Personen richtig liegen, musst du also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person richtig liegt, hoch die Anzahl der Personen nehmen.
P("alle sechs haben recht")= $P\left(R\right)^6$
$=0{,}7^6 \approx0{,}118=11{,}8\%$
Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat keiner von ihnen recht?
Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, dass alle Personen falsch liegen, musst du die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person falsch liegt hoch die Anzahl der Personen nehmen.
P("alle sechs haben unrecht") = $P\left(\overline R\right)^6$
$=0{,}3^6=0{,}000729=0{,}0729\%$
Mit welcher Wahrscheinlichkeit geben genau der erste und letzte die richtige Antwort?
Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, dass genau der erste und der letzte die richtige Antwort geben, musst du die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Antworten miteinander multiplizieren (wegen der stochastischen Unabhängigkeit), wobei gilt: P=0,7 wenn die Antwort richtig und P=0,3 wenn die Antwort falsch ist.
P("genau erste und letzte die richtige Antwort richtig") = $0{,}7\cdot0{,}3\cdot0{,}3\cdot0{,}3\cdot0{,}3\cdot0{,}7$
$=0{,}003969=0{,}3969\%$
Mit welcher Wahrscheinlichkeit gibt mindestens einer die richtige Antwort?
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine Antwort richtig ist, kannst du mit Hilfe des Gegenereignisses (alle sechs haben Unrecht) berechnen.
P("mindestens eine Antwort richtig") $=1-0{,}000729$
$=0{,}999271=99{,}9271\%$
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Wie viele Personen müssten mindestens auf die Frage antworten, um mit einer Wahrscheinlichkeit, die größer als 99% ist, zumindest eine richtige Antwort zu erhalten?

Eine Firma für Bohrmaschinen stellt mit $20%$ Ausschuss her. Das heißt, dass jede fünfte Bohrmaschine fehlerhaft hergestellt wird.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter 100 zufällig gewählten Bohrmaschinen kein Ausschussstück zu finden ist?

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 20 Bohrmaschinen zum Ausschuss zählen?

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle 1-P\left(X\le1\right)$	$≥$	$\displaystyle 0{,}6$	$\displaystyle +P\left(X\le1\right)-0{,}6$
$\displaystyle 1-0{,}6$	$≥$	$\displaystyle P\left(X\le1\right)$
$\displaystyle 0{,}4$	$≥$	$\displaystyle P\left(X\le1\right)$

$\displaystyle P\left("\min destens\ einer\ hat\ Recht"\right)$	$=$	$\displaystyle 1-P\left("keiner\ hat\ Recht"\right)$
	↓	Stelle die Formel für die Binomialverteilung von $P($ "keiner hat Recht" $)$ auf (damit ist k=0, da keiner richtig antwortet).
$\displaystyle P\left("keiner\ hat\ Recht"\right)$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}\cdot0{,}7^0\cdot\left(1-0{,}7\right)^{n-0}$
	↓	Wende die Formel für den Binomialkoeffizient an.
	$=$	$\displaystyle \frac{n!}{0!\cdot\left(n-0\right)!}\cdot0{,}7^0\cdot0{,}3^{n-0}$
	↓	$0!=1,x^0=1$
	$=$	$\displaystyle \frac{n!}{n!}\cdot1\cdot0{,}3^n$
	$=$	$\displaystyle 0{,}3^n$
	↓	Mache Ansatz P("mindestens einer hat Recht") $>99\%$ und schreibe die Wahrscheinlichkeit mit jener des Gegenereignisses:
$\displaystyle 1-0{,}3^n$	$>$	$\displaystyle 0{,}99$	$\displaystyle -0{,}99+0{,}3^n$
$\displaystyle 0{,}01$	$>$	$\displaystyle 0{,}3^n$
	↓	Wende den Logarithmus an.
$\displaystyle \log_{0{,}3}0{,}01$	$<$	$\displaystyle n$
$\displaystyle 3{,}82$	$<$	$\displaystyle n$

$\displaystyle P$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}100\\0\end{pmatrix}\cdot0{,}2^0\cdot\left(1-0{,}2\right)^{100-0}$
	↓	Wende die Formel für den Binomialkoeffizienten an.
	$=$	$\displaystyle \frac{100!}{0!\left(100-0\right)!}\cdot 0{,}2^0\cdot \left(1-0{,}2\right)^{100-0}$
	$=$	$\displaystyle \frac{100!}{100!}\cdot 0{,}2^0\cdot 0{,}8^{100}$
	$=$	$\displaystyle 0{,}8^{100}$
	$≈$	$\displaystyle 2{,}037\cdot10^{-10}\approx2{,}037\cdot10^{-8}\%$

$\displaystyle P$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}100\\20\end{pmatrix}\cdot0{,}2^{20}\cdot\left(1-0{,}2\right)^{100-20}$
	↓	Wende die Formel für den Binomialkoeffizienten an.
	$=$	$\displaystyle \frac{100!}{20!\left(100-20\right)!}\cdot 0{,}2^{20}\cdot \left(1-0{,}2\right)^{100-20}$
	$=$	$\displaystyle \frac{100!}{20!\cdot80!}\cdot0{,}2^{20}\cdot0{,}8^{80}$
	$≈$	$\displaystyle 0{,}0993\approx9{,}9\%$

Aufgaben zu Bernoulli-Kette und Binomialverteilung

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Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat keiner von ihnen recht?

Mit welcher Wahrscheinlichkeit geben genau der erste und letzte die richtige Antwort?

Mit welcher Wahrscheinlichkeit gibt mindestens einer die richtige Antwort?

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Alternative Berechnungen

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