Aufgaben zum Gauß-Algorithmus
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Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Jordan-Verfahren.
3x2x++4y5y==−1−3
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
3x2x++4y5y==−1−3
Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.
(3245−1−3)
Dann dividiert man die erste Zeile durch 3, die zweite durch 2.
I:3,II:2(113425−31−23)
Man subtrahiert nun die erste von der zweiten Zeile.
II−I(103467−31−67)
Anschließend teilt man die zweite Zeile durch 67.
II:67(10341−31−1)
Danach subtrahiert man von der ersten Zeile das 34-fache der zweiten Zeile.
I−34⋅II(10011−1)
Nun kann man die Lösung in der rechten Spalte ablesen:
⇒x=1;y=−1Hast du eine Frage oder Feedback?
3x2x−+4y3y==−2628
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
3x2x−+4y3y==−2628
Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.
(32−43−2628)
Dann dividiert man die erste Zeile durch 3 und die zweite durch 2.
I:3,II:2(11−3423−32614)
Man subtrahiert nun die erste von der zweiten Zeile.
II−I(10−34617−326368)
Anschließend teilt man die zweite Zeile durch 617.
II:617(10−341−3268)
Danach subtrahiert man von der ersten Zeile das −34-fache der zweiten Zeile.
I−(−34)⋅II(100128)
Nun kann man in der rechten Spalte die Lösung ablesen:
⇒x=2;y=8Hast du eine Frage oder Feedback?
xx2x+++2yy3y−+−z2z3z===29−1
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
xx2x+++2yy3y−+−z2z3z===29−1
Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
112213−12−329−1III−2⋅I⟶II−I1002−1−1−13−127−5⟶III−II1002−10−13−427−12
III:(−4)⟶II:(−1)100210−1−312−73
Aus der dritten Zeile ist ersichtlich:
z=3
Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
y−9=−7
⇒y=2
Setze den y- und z-Wert in die erste Zeile ein.
x+4−3=2
x=1
⇒x=1;y=2;z=3
Hast du eine Frage oder Feedback?
- 2
Löse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren.
3x4x6x+++2yy4y===−1−23
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
3x4x6x+++2yy4y===−1−23
Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.
346214−1−23
Dann dividiert man die erste Zeile durch 3, die zweite durch 4 und die dritte durch 6.
III:6I:3,II:4111324132−31−4221
Man subtrahiert nun die erste von der zweiten Zeile und von der dritten.
II−I,III−I10032−1250−31−6165
"Übersetzt" man diese Matrix zurück in das Gleichungssystem bekommt man:
x00+++32y−125y0===−31−6165
Die letzte Zeile ist eine falsche Aussage. Also hat das Gleichungssystem keine Lösung.
Nach dem Kriterium zur Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen folgt ebenfalls, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat, denn:
rg10032−1250=2<3=rg10032−1250−31−3165
Hast du eine Frage oder Feedback?
x2x4x−++3yy5y===419
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
x2x4x−++3yy5y===419
Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.
124−315419
Dann dividiert man die zweite Zeile durch 2 und die dritte durch 4.
II:2,III:4111−3214542149
Man subtrahiert nun die erste von der zweiten Zeile und von der dritten.
II−I,III−I100−3274174−27−47
Dividiere anschließen die zweite Zeile durch 27 und die dritte durch 417.
II:27,III:417100−3114−1−177
Nun subtrahiert man von der dritten Zeile die zweite.
III−II100−3104−11710
"Übersetzt" man diese Matrix zurück in das Gleichungssystem bekommt man:
x00−++3yy0===4−11710
Die letzte Zeile ist eine falsche Aussage. Also hat das Gleichungssystem keine Lösung.
Nach dem Kriterium zur Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen folgt ebenfalls, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat, denn:
rg100−310=2<3=rg100−3104−11710
Hast du eine Frage oder Feedback?
x−2x−x−++2y4y2y===3−6−3
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
x−2x−x−++2y4y2y===3−6−3
Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.
1−2−1−2423−6−3
Dann dividiert man die zweite Zeile durch -2 und die dritte durch -1.
II:(−2),III:(−1)111−2−2−2333
Nun subtrahiert man die erste von der zweiten Zeile und von der dritten.
II−I,III−I100−200300
"Übersetzt" man diese Matrix zurück in das Gleichungssystem bekommt man:
x00−++2y00===300
Die letzten beiden Zeilen sind wahre Aussagen. Sie tragen nicht zur Lösung bei. Die Lösung steht in der ersten Zeile. Alle Zahlenpaare, welche die erste Zeile erfüllen sind Lösung des Gleichungssystems. Es sind also unendlich viele.
L={(x,y)∈R2∣x−2y=3}
Nach dem Kriterium zur Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen folgt ebenfalls, dass das Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar ist, denn:
rg100−200300=1<3
Dennoch kann man eine Lösungsmenge angeben:
L={(x,y)∈R2∣x−2y=3}
Bemerkung: Die (unendlich vielen) Lösungen befinden sich auf einer Geraden mit der Gleichung x−2y=3⇔y=21x−23.
Hast du eine Frage oder Feedback?
6x5x3x−−−y3y2y+++2z3zz===1414
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
6x5x3x−−−y3y2y+++2z3zz===1414
Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
653−1−3−223114141⋅I−2⋅III⟶5⋅I−6⋅II600−11332−801−19−27
II:3⟶II↔III600−111320−81−9−19⟶III−13⋅II600−11020−81−998
Aus der dritten Zeile folgt:
−8z = 98 :(−8) z = −12,25 Die zweite Zeile enthält schon den Wert von y:
y = −9 ↓ Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.
6x−(−9)+2⋅(−12,25) = 1 ↓ 6x+9−24,5 = 1 6x−15,5 = 1 6x = 16,5 x = 2,75 ⇒x=2,75;y=−9;z=−12,25
Hast du eine Frage oder Feedback?
43x−9x31x−++67y14y91y===81−230
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
43x−9x31x−++67y14y91y===81−230
Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.
43−931−67149181−230
Dann dividiert man die erste Zeile durch 43, die zweite durch −9 und die dritte durch 31.
III:31I:43,II:(−9)111−914−9143161610
Nun subtrahiert man von der zweiten und dritten Zeile die erste.
III−III−I100−9140917610−61
Die zweite Zeile ist eine wahre Aussage und trägt nicht zur Lösung bei.
Aus der letzten Zeile 917y=−61 bekommt man für y einen Wert: y=−343.
Nun setzt man diesen Wert in die erste Zeile ein: x−914(−343)=61 und formt nach x um. Man bekommt für x einen Wert: x=341, also L={(341;−343)}.
Ermittlung der Lösung mit dem Gauß-Jordan-Verfahren:
Starte noch einmal mit der letzten Matrix:
Man dividiert nun die dritte Zeile durch 917.
III:917100−91401610−343
Anschließend subtrahiert man von der ersten das −914-fache der dritten Zeile.
I−(−914)⋅III1000013410−343
Nun kann man die Lösung in der rechten Spalte ablesen:
L={(341;−343)}
Hast du eine Frage oder Feedback?
6x5y3z−−−z3x2x+++2y3zy===484924
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
6x5y3z−−−z3x2x+++2y3zy===484924
Ordne nach den Variablen.
6x−3x−2x+++2y5yy−++z3z3z===484924
Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
6−3−2251−1334849241⋅I+3⋅III⟶1⋅I+2⋅II6002125−158481461205⋅II−12⋅III⟶6002120−15−7148146−710
Aus der dritten Zeile folgt:
−71z = −710 z = 10 Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
12y+5⋅10 = 146 12y+50 = 146 12y = 96 y = 8 Setze den gefundenen y- und den gefundenen z-Wert in die erste Zeile ein.
6x+2⋅8−10 = 48 6x⋅16−10 = 48 6x+6 = 48 6x = 42 x = 7 ⇒x=7;y=8;z=10
Hast du eine Frage oder Feedback?
x−x−−+2yyy−+z3z===4−1−1
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
x−x−−+2yyy−+z3z===4−1−1
Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
10−1−2−110−134−1−1⟶1⋅I+1⋅III100−2−1−10−134−13⟶1⋅II−1⋅III100−2−100−1−44−1−4
Aus der dritten Zeile folgt:
−4z = −4 :(−4) z = 1 ↓ Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
−y−1 = −1 +1 −y = 0 :(−1) y = 0 ↓ Setze den gefundenen y-Wert in die erste Zeile ein.
x−2⋅0 = 4 x = 4 ⇒x=4;y=0;z=1Hast du eine Frage oder Feedback?
2xxx+−3yy−+z2z===392
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
2xxx+−3yy−+z2z===392
Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
21130−1−1203921⋅I−2⋅III⟶1⋅I−2⋅II200335−1−5−13−15−1⟶5⋅II−3⋅III200330−1−5−223−15−72
Aus der letzten Zeile folgt:
−22z = −72 :(−22) z = 1136 ↓ Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
3⋅y−5⋅1136 = −15 ↓ 3⋅y−11180 = −15 +11180 3⋅y = 1115 :3 y = 115 ↓ Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.
2⋅x+3⋅115−1136 = 3 ↓ 2⋅x+1115−1136 = 3 ↓ 2⋅x+(−1121) = 3 +1121 2⋅x = 1154 :2 x = 1127 ⇒x=1127;y=115;z=1136Hast du eine Frage oder Feedback?
5x3x2x++2yy−−+2z3zz===−1−44
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
5x3x2x++2yy−−+2z3zz===−1−44
Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
532210−2−31−1−442⋅I−5⋅III⟶3⋅I−5⋅II500214−29−9−117−22⟶4⋅II−1⋅III500210−2945−11790
Aus der dritten Zeile folgt:
45z = 90 :45 z = 2 ↓ Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
y+9⋅2 = 17 ↓ y+18 = 17 −18 y = −1 ↓ Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.
5x+2⋅(−1)−2⋅2 = −1 ↓ 5x−2−4 = −1 5x−6 = −1 +6 5x = 5 :5 x = 1 ⇒x=1;y=−1;z=2Hast du eine Frage oder Feedback?
4x2x7x+−−3y5yy++−z3z2z===131−1
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
4x2x7x+−−3y5yy++−z3z2z===131−1
Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
4273−5−113−2131−17⋅I−4⋅III⟶1⋅I−2⋅II400313251−515131195⟶25⋅II−13⋅III40031301−5−3201311−960
Aus der dritten Zeile folgt:
−320z = −960 :(−320) z = 3 ↓ Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
13y−5⋅3 = 11 13y−15 = 11 +15 13y = 26 :13 y = 2 ↓ Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Gleichung ein.
4x+3⋅2+3 = 13 ↓ Fasse zusammen.
4x+9 = 13 −9 4x = 4 :4 x = 1 ⇒x=1;y=2;z=3Hast du eine Frage oder Feedback?
2x3x2x+++9y6y3y−++14z2z7z===39362
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
2x3x2x+++9y6y3y−++14z2z7z===39362
Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
23219631−1427393621⋅I−4⋅III⟶3⋅I−2⋅II200915323−14−46−42394531⟶323⋅II−15⋅III2009150−14−4638323945−120
Aus der dritten Zeile folgt:
3832z = −120 :3832 z = −10445 ↓ Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
15⋅y−46⋅(−10445) = 45 ↓ 15⋅y+521035 = 45 −521035 15⋅y = 521025 :15 y = 5287 ↓ Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.
2⋅x+9⋅5287−14⋅(−10445) = 39 ↓ 2⋅x+52783+52315 = 39 2⋅x+521098 = 39 −521098 2⋅x = 26465 :2 x = 52465 ⇒x=52465;y=5287;z=−10445Hast du eine Frage oder Feedback?
x4x−5x+−+y2y4y−−+z2z2z===430
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
x4x−5x+−+y2y4y−−+z2z2z===430
Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
14−51−24−1−224305⋅I+1⋅III⟶4⋅I−1⋅II100169−1−2−341320⟶3⋅II−2⋅III100160−1−20413−1
Aus unterer Zeile folgt:
0⋅z=−1
⇒ Dies ist nicht lösbar!
Hast du eine Frage oder Feedback?
- 3
Löse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren, und gib die Lösung in allgemeiner Form an. (Verwende dabei, falls erforderlich, Parameter in der Lösung).
xx2x+++2yy3y++zz===000
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gauß-Verfahren
xx2x+++2yy3y++zz===000
Setze das Gleichungssystem in die Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
1122130110002⋅I−1⋅III⟶1⋅I−1⋅II1002110−1−1000⟶1⋅II−1⋅III1002100−10000
Aus der dritten Zeile (Nullzeile) folgt:
z=r, wobei r beliebig gewählt werden kann
Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
y−r = 0 +r y = r Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.
x+2r = 0 −2r x = −2r ⇒x=−2r;y=r;z=rHast du eine Frage oder Feedback?
x−x2x−+−2y2y4y+−+3z3z6z===000
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gauß-Verfahren
x−x2x−+−2y2y4y+−+3z3z6z===000
Setze dass Gleichungssystem in die Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
1−12−22−43−360002⋅I−1⋅III⟶1⋅I+1⋅II100−200300000
Aus den beiden unteren Zeilen (Nullzeilen) folgt: Man kann zwei der drei Variablen frei wählen bzw. muss in einer allgemeinen Lösung Parameter dafür schreiben.
Setze zum Beispiel
y=r;z=s
… und setze diese Parameter-Werte für y und z in die erste Zeile ein.
x−2r+3s=0
Löse nach x auf.
x−2r+3s = 0 +2r−3s x = 2r−3s ⇒x=2r−3s;y=r;z=sHast du eine Frage oder Feedback?
2xx3x−+−y3y2y+−+3z2z5z===111
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gauß-Verfahren
2xx3x−+−y3y2y+−+3z2z5z===111
Setze das Gleichungssystem in die Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
213−13−23−251113⋅I−2⋅III⟶1⋅I−2⋅II200−1−7137−11−11⟶1⋅II+7⋅III200−1−703701−16
Aus der dritten Zeile folgt:
0⋅z=6
⇒ Dies ist nicht lösbar
Hast du eine Frage oder Feedback?
x−2x3xx−+−−2yyy3y++++z2z2z8z====−1−53−9
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gauß-Verfahren
x−2x3xx−+−−2yyy3y++++z2z2z8z====−1−53−9
Setze das Gleichungsystem in die Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
1⋅I−1⋅IV⟶2⋅I+II,3⋅I−1⋅III1⋅II+3⋅IV⟶5⋅II−3⋅III1−231−21−1−31228−1−53−91000−2−3−51141−7−1−7−681000−2−3001417−17−1−7−1717
Aus der dritten (oder vierten) Zeile folgt:
17z = −17 :17 z = −1 Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
−3y+4⋅(−1) = −7 ↓ −3y−4 = −7 +4 −3y = −3 :(−3) y = 1 Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein und löse nach x auf.
x−2−1 = −1 x−3 = −1 +3 x = 2 ⇒x=2;y=1;z=−1Hast du eine Frage oder Feedback?
x−2x−+3y4y+−z3z==4−9
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gauß-Verfahren
Wende das Gauß-Verfahren auf das folgdende Gleichungssystem an:
x−2x−+3y4y+−z3z==4−9
Setze das Gleichungssystem in die Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
(1−2−341−34−9)⟶2⋅I+1⋅II(10−3−21−14−1)
Aus der zweiten Zeile folgt:
−2y−1z=−1
Setze z=r.
−2y−r = −1 +r −2y = −1+r :(−2) y = 21−r Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.
x−3⋅21−r+r = 4 ↓ Multipliziere die 3 in den Bruch.
x−23−3r+r = 4 +23−3r−r x = 4+23−3r−r ↓ Bilde den Hauptnenner (hier 2) und erweitere alle Elemente auf diesen.
x = 28+23−3r−22r x = 2−5r+11 ⇒x=2−5r+11;y=21−r;z=rHast du eine Frage oder Feedback?
- 4
Für welche Werte von a ist folgendes LGS lösbar? Was sind dann die Lösungen?
x1x1−2x1++−2x2+4x2+3x2−x33x3x3===24a
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineares Gleichungssystem
Das LGS lässt sich als Matrix aufschreiben und mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus vereinfachen.
11−224−313−124a
10022112122a+4
1002101102a+42−2(a+4)
Da die letzte Zeile keine Koeffizienten mehr enthält, gilt 0=2−2(a+4) bzw. a=−3. Das Gleichungssystem ist also unterdefefiniert und wir können x3 beliebig wählen, z. B. x3=z. Wir fügen diese Gleichung noch als eine neue Zeile ein und setzen a=−3.
1002101112−3+4z
100010001z1−zz
Das heißt, es gilt a=−3 sowie x1=z, x2=1−z und x3=z mit z∈R.
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