Aufgaben zum Gauß-Algorithmus

1
Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Jordan-Verfahren.
1. $\begin{array}{ccccc} 3 x & + & 4 y & = & - 1 \\ 2 x & + & 5 y & = & - 3 \end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
  $\begin{array}{ccccc} 3 x & + & 4 y & = & - 1 \\ 2 x & + & 5 y & = & - 3 \end{array}$
  Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.
  $(\begin{array}{ccc} 3 & 4 & - 1 \\ 2 & 5 & - 3 \end{array})$
  Dann dividiert man die erste Zeile durch 3, die zweite durch 2.
  $\overset{\overset{}{I : 3, I I : 2}}{\to} (\begin{array}{ccc} 1 & \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} \\ 1 & \frac{5}{2} & - \frac{3}{2} \end{array})$
  Man subtrahiert nun die erste von der zweiten Zeile.
  $\overset{\overset{}{I I - I}}{\to} (\begin{array}{ccc} 1 & \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & \frac{7}{6} & - \frac{7}{6} \end{array})$
  Anschließend teilt man die zweite Zeile durch $\frac{7}{6}$ .
  $\overset{\overset{}{I I : \frac{7}{6}}}{\to} (\begin{array}{ccc} 1 & \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & - 1 \end{array})$
  Danach subtrahiert man von der ersten Zeile das $\frac{4}{3}$ -fache der zweiten Zeile.
  $\overset{\overset{}{I - \frac{4}{3} \cdot I I}}{\to} (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \end{array})$
  Nun kann man die Lösung in der rechten Spalte ablesen:
  $\Rightarrow x = 1; y = - 1$
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2. $\begin{array}{ccrcc} 3 x & - & 4 y & = & - 26 \\ 2 x & + & 3 y & = & 28 \end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
  $\begin{array}{ccrcc} 3 x & - & 4 y & = & - 26 \\ 2 x & + & 3 y & = & 28 \end{array}$
  Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.
  $(\begin{array}{ccc} 3 & - 4 & - 26 \\ 2 & 3 & 28 \end{array})$
  Dann dividiert man die erste Zeile durch 3 und die zweite durch 2.
  $\overset{\overset{}{I : 3, I I : 2}}{\to} (\begin{array}{ccc} 1 & - \frac{4}{3} & - \frac{26}{3} \\ 1 & \frac{3}{2} & 14 \end{array})$
  Man subtrahiert nun die erste von der zweiten Zeile.
  $\overset{\overset{}{I I - I}}{\to} (\begin{array}{ccc} 1 & - \frac{4}{3} & - \frac{26}{3} \\ 0 & \frac{17}{6} & \frac{68}{3} \end{array})$
  Anschließend teilt man die zweite Zeile durch $\frac{17}{6}$ .
  $\overset{\overset{}{I I : \frac{17}{6}}}{\to} (\begin{array}{ccc} 1 & - \frac{4}{3} & - \frac{26}{3} \\ 0 & 1 & 8 \end{array})$
  Danach subtrahiert man von der ersten Zeile das $- \frac{4}{3}$ -fache der zweiten Zeile.
  $\overset{\overset{}{I - (- \frac{4}{3}) \cdot I I}}{\to} (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 8 \end{array})$
  Nun kann man in der rechten Spalte die Lösung ablesen:
  $\Rightarrow x = 2; y = 8$
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3. $\begin{array}{rcrcrcr} x & + & 2 y & - & z & = & 2 \\ x & + & y & + & 2 z & = & 9 \\ 2 x & + & 3 y & - & 3 z & = & - 1 \end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
  $\begin{array}{rcrcrcr} x & + & 2 y & - & z & = & 2 \\ x & + & y & + & 2 z & = & 9 \\ 2 x & + & 3 y & - & 3 z & = & - 1 \end{array}$
  Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
  $(\begin{array}{ccr} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & - 3 \end{array} | \begin{array}{r} 2 \\ 9 \\ - 1 \end{array}) \overset{I I - I}{\underset{I I I - 2 \cdot I}{⟶}} (\begin{array}{crr} 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 3 \\ 0 & - 1 & - 1 \end{array} | \begin{array}{r} 2 \\ 7 \\ - 5 \end{array}) \overset{I I I - I I}{⟶} (\begin{array}{crr} 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 3 \\ 0 & 0 & - 4 \end{array} | \begin{array}{r} 2 \\ 7 \\ - 12 \end{array})$
  $\overset{I I : (- 1)}{\underset{I I I : (- 4)}{⟶}} (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} | \begin{array}{c} 2 \\ - 7 \\ 3 \end{array})$
  Aus der dritten Zeile ist ersichtlich:
  $z = 3$
  Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
  $y - 9 = - 7$
  $\Rightarrow y = 2$
  Setze den y- und z-Wert in die erste Zeile ein.
  $x + 4 - 3 = 2$
  $x = 1$
  $\Rightarrow x = 1; y = 2; z = 3$
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Löse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren.

$ \begin{array}{ccrcr} 3 x & + & 2 y & = & - 1 \\ 4 x & + & y & = & - 2 \\ 6 x & + & 4 y & = & 3 \end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
$\begin{array}{ccrcr} 3 x & + & 2 y & = & - 1 \\ 4 x & + & y & = & - 2 \\ 6 x & + & 4 y & = & 3 \end{array}$
Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.
$(\begin{array}{ccr} 3 & 2 & - 1 \\ 4 & 1 & - 2 \\ 6 & 4 & 3 \end{array})$
Dann dividiert man die erste Zeile durch 3, die zweite durch 4 und die dritte durch 6.
$\underset{I I I : 6}{\overset{\overset{}{I : 3, I I : 4}}{\to}} (\begin{array}{ccr} 1 & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \\ 1 & \frac{1}{4} & - \frac{2}{4} \\ 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{2} \end{array})$
Man subtrahiert nun die erste von der zweiten Zeile und von der dritten.
$\overset{\overset{}{I I - I, I I I - I}}{\to} (\begin{array}{ccr} 1 & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & - \frac{5}{12} & - \frac{1}{6} \\ 0 & 0 & \frac{5}{6} \end{array})$
"Übersetzt" man diese Matrix zurück in das Gleichungssystem bekommt man:
$\begin{array}{ccrcr} x & + & \frac{2}{3} y & = & - \frac{1}{3} \\ 0 & + & - \frac{5}{12} y & = & - \frac{1}{6} \\ 0 & + & 0 & = & \frac{5}{6} \end{array}$
Die letzte Zeile ist eine falsche Aussage. Also hat das Gleichungssystem keine Lösung.
Nach dem Kriterium zur Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen folgt ebenfalls, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat, denn:
$r g (\begin{array}{cc} 1 & \frac{2}{3} \\ 0 & - \frac{5}{12} \\ 0 & 0 \end{array}) = 2 < 3 = r g (\begin{array}{ccr} 1 & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & - \frac{5}{12} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & \frac{5}{6} \end{array})$
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$\begin{array}{rcrcc} x & - & 3 y & = & 4 \\ 2 x & + & y & = & 1 \\ 4 x & + & 5 y & = & 9 \end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
$\begin{array}{rcrcc} x & - & 3 y & = & 4 \\ 2 x & + & y & = & 1 \\ 4 x & + & 5 y & = & 9 \end{array}$
Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.
$(\begin{array}{ccc} 1 & - 3 & 4 \\ 2 & 1 & 1 \\ 4 & 5 & 9 \end{array})$
Dann dividiert man die zweite Zeile durch 2 und die dritte durch 4.
$\overset{\overset{}{I I : 2, I I I : 4}}{\to} (\begin{array}{ccc} 1 & - 3 & 4 \\ 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 1 & \frac{5}{4} & \frac{9}{4} \end{array})$
Man subtrahiert nun die erste von der zweiten Zeile und von der dritten.
$\overset{\overset{}{I I - I, I I I - I}}{\to} (\begin{array}{ccc} 1 & - 3 & 4 \\ 0 & \frac{7}{2} & - \frac{7}{2} \\ 0 & \frac{17}{4} & - \frac{7}{4} \end{array})$
Dividiere anschließen die zweite Zeile durch $\frac{7}{2}$ und die dritte durch $\frac{17}{4}$ .
$\overset{\overset{}{I I : \frac{7}{2}, I I I : \frac{17}{4}}}{\to} (\begin{array}{ccc} 1 & - 3 & 4 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - \frac{7}{17} \end{array})$
Nun subtrahiert man von der dritten Zeile die zweite.
$\overset{\overset{}{I I I - I I}}{\to} (\begin{array}{ccc} 1 & - 3 & 4 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & \frac{10}{17} \end{array})$
"Übersetzt" man diese Matrix zurück in das Gleichungssystem bekommt man:
$\begin{array}{rcrcc} x & - & 3 y & = & 4 \\ 0 & + & y & = & - 1 \\ 0 & + & 0 & = & \frac{10}{17} \end{array}$
Die letzte Zeile ist eine falsche Aussage. Also hat das Gleichungssystem keine Lösung.
Nach dem Kriterium zur Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen folgt ebenfalls, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat, denn:
$r g (\begin{array}{cc} 1 & - 3 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}) = 2 < 3 = r g (\begin{array}{ccc} 1 & - 3 & 4 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & \frac{10}{17} \end{array})$
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$\begin{array}{rcrcr} x & - & 2 y & = & 3 \\ - 2 x & + & 4 y & = & - 6 \\ - x & + & 2 y & = & - 3 \end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
$\begin{array}{rcrcr} x & - & 2 y & = & 3 \\ - 2 x & + & 4 y & = & - 6 \\ - x & + & 2 y & = & - 3 \end{array}$
Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.
$(\begin{array}{rrr} 1 & - 2 & 3 \\ - 2 & 4 & - 6 \\ - 1 & 2 & - 3 \end{array})$
Dann dividiert man die zweite Zeile durch -2 und die dritte durch -1.
$\overset{\overset{}{I I : (- 2), I I I : (- 1)}}{\to} (\begin{array}{rrr} 1 & - 2 & 3 \\ 1 & - 2 & 3 \\ 1 & - 2 & 3 \end{array})$
Nun subtrahiert man die erste von der zweiten Zeile und von der dritten.
$\overset{\overset{}{I I - I, I I I - I}}{\to} (\begin{array}{rrr} 1 & - 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$
"Übersetzt" man diese Matrix zurück in das Gleichungssystem bekommt man:
$\begin{array}{rcrcc} x & - & 2 y & = & 3 \\ 0 & + & 0 & = & 0 \\ 0 & + & 0 & = & 0 \end{array}$
Die letzten beiden Zeilen sind wahre Aussagen. Sie tragen nicht zur Lösung bei. Die Lösung steht in der ersten Zeile. Alle Zahlenpaare, welche die erste Zeile erfüllen sind Lösung des Gleichungssystems. Es sind also unendlich viele.
$L = {(x, y) \in ℝ^{2} | x - 2 y = 3}$
Nach dem Kriterium zur Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen folgt ebenfalls, dass das Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar ist, denn:
$r g (\begin{array}{rrr} 1 & - 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}) = 1 < 3$
Dennoch kann man eine Lösungsmenge angeben:
$L = {(x, y) \in ℝ^{2} | x - 2 y = 3}$
Bemerkung: Die (unendlich vielen) Lösungen befinden sich auf einer Geraden mit der Gleichung $x - 2 y = 3 \Leftrightarrow y = \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$ .
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$\begin{array}{rcrcrcr} 6 x & - & y & + & 2 z & = & 1 \\ 5 x & - & 3 y & + & 3 z & = & 4 \\ 3 x & - & 2 y & + & z & = & 14 \end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
$\begin{array}{rcrcrcr} 6 x & - & y & + & 2 z & = & 1 \\ 5 x & - & 3 y & + & 3 z & = & 4 \\ 3 x & - & 2 y & + & z & = & 14 \end{array}$
Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
$(\begin{array}{crcc} 6 & - 1 & 2 & 1 \\ 5 & - 3 & 3 & 4 \\ 3 & - 2 & 1 & 14 \end{array}) \overset{5 \cdot I - 6 \cdot I I}{\underset{1 \cdot I - 2 \cdot I I I}{⟶}} (\begin{array}{crcc} 6 & - 1 & 2 & 1 \\ 0 & 13 & - 8 & - 19 \\ 0 & 3 & 0 & - 27 \end{array})$
$\overset{II \leftrightarrow III}{\underset{II : 3}{⟶}} (\begin{array}{crcc} 6 & - 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 9 \\ 0 & 13 & - 8 & - 19 \end{array}) \overset{I I I - 13 \cdot I I}{⟶} (\begin{array}{crcc} 6 & - 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 9 \\ 0 & 0 & - 8 & 98 \end{array})$
Aus der dritten Zeile folgt:
$- 8 z$ $=$ $98$ $: (- 8)$
$z$ $=$ $- 12,25$
Die zweite Zeile enthält schon den Wert von $y$ :
$y$ $=$ $- 9$
↓
Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.
$6 x - (- 9) + 2 \cdot (- 12,25)$ $=$ $1$
↓
Multipliziere aus.
$6 x + 9 - 24,5$ $=$ $1$
$6 x - 15,5$ $=$ $1$
$6 x$ $=$ $16,5$
$x$ $=$ $2,75$
$\Rightarrow x = 2,75; y = - 9; z = - 12,25$
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$\begin{array}{cccc} \frac{3}{4} x & - & \frac{7}{6} y & = & \frac{1}{8} \\ - 9 x & + & 14 y & = & - \frac{3}{2} \\ \frac{1}{3} x & + & \frac{1}{9} y & = & 0 \end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
$\begin{array}{cccc} \frac{3}{4} x & - & \frac{7}{6} y & = & \frac{1}{8} \\ - 9 x & + & 14 y & = & - \frac{3}{2} \\ \frac{1}{3} x & + & \frac{1}{9} y & = & 0 \end{array}$
Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.
$(\begin{array}{ccc} \frac{3}{4} & - \frac{7}{6} & \frac{1}{8} \\ - 9 & 14 & - \frac{3}{2} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & 0 \end{array})$
Dann dividiert man die erste Zeile durch $\frac{3}{4}$ , die zweite durch $- 9$ und die dritte durch $\frac{1}{3}$ .
$\underset{III : \frac{1}{3}}{\overset{\overset{}{I : \frac{3}{4}, I I : (- 9)}}{\to}} (\begin{array}{ccc} 1 & - \frac{14}{9} & \frac{1}{6} \\ 1 & - \frac{14}{9} & \frac{1}{6} \\ 1 & \frac{1}{3} & 0 \end{array})$
Nun subtrahiert man von der zweiten und dritten Zeile die erste.
$\underset{I I I - I}{\overset{\overset{}{I I - I}}{\to}} (\begin{array}{ccc} 1 & - \frac{14}{9} & \frac{1}{6} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{17}{9} & - \frac{1}{6} \end{array})$
Die zweite Zeile ist eine wahre Aussage und trägt nicht zur Lösung bei.
Aus der letzten Zeile $\frac{17}{9} y = - \frac{1}{6}$ bekommt man für y einen Wert: $y = - \frac{3}{34}$ .
Nun setzt man diesen Wert in die erste Zeile ein: $x - \frac{14}{9} (- \frac{3}{34}) = \frac{1}{6}$ und formt nach $x$ um. Man bekommt für x einen Wert: $x = \frac{1}{34}$ , also $L = {(\frac{1}{34}; - \frac{3}{34})}$ .
Ermittlung der Lösung mit dem Gauß-Jordan-Verfahren:
Starte noch einmal mit der letzten Matrix:
Man dividiert nun die dritte Zeile durch $\frac{17}{9}$ .
$\overset{\overset{}{I I I : \frac{17}{9}}}{\to} (\begin{array}{ccc} 1 & - \frac{14}{9} & \frac{1}{6} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{3}{34} \end{array})$
Anschließend subtrahiert man von der ersten das $- \frac{14}{9}$ -fache der dritten Zeile.
$\overset{\overset{}{I - (- \frac{14}{9}) \cdot I I I}}{\to} (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & \frac{1}{34} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{3}{34} \end{array})$
Nun kann man die Lösung in der rechten Spalte ablesen:
$L = {(\frac{1}{34}; - \frac{3}{34})}$
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$\begin{array}{rcrcrcr} 6 x & - & z & + & 2 y & = & 48 \\ 5 y & - & 3 x & + & 3 z & = & 49 \\ 3 z & - & 2 x & + & y & = & 24 \end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
$\begin{array}{rcrcrcr} 6 x & - & z & + & 2 y & = & 48 \\ 5 y & - & 3 x & + & 3 z & = & 49 \\ 3 z & - & 2 x & + & y & = & 24 \end{array}$
Ordne nach den Variablen.
$\begin{array}{rcrcrcr} 6 x & + & 2 y & - & z & = & 48 \\ - 3 x & + & 5 y & + & 3 z & = & 49 \\ - 2 x & + & y & + & 3 z & = & 24 \end{array}$
Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
$(\begin{array}{crcc} 6 & 2 & - 1 & 48 \\ - 3 & 5 & 3 & 49 \\ - 2 & 1 & 3 & 24 \end{array}) \overset{1 \cdot I + 2 \cdot I I}{\underset{1 \cdot I + 3 \cdot I I I}{⟶}} (\begin{array}{crcc} 6 & 2 & - 1 & 48 \\ 0 & 12 & 5 & 146 \\ 0 & 5 & 8 & 120 \end{array}) \underset{5 \cdot I I - 12 \cdot I I I}{⟶} (\begin{array}{crcc} 6 & 2 & - 1 & 48 \\ 0 & 12 & 5 & 146 \\ 0 & 0 & - 71 & - 710 \end{array})$
Aus der dritten Zeile folgt:
$- 71 z$ $=$ $- 710$
$z$ $=$ $10$
Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
$12 y + 5 \cdot 10$ $=$ $146$
$12 y + 50$ $=$ $146$
$12 y$ $=$ $96$
$y$ $=$ $8$
Setze den gefundenen y- und den gefundenen z-Wert in die erste Zeile ein.
$6 x + 2 \cdot 8 - 10$ $=$ $48$
$6 x \cdot 16 - 10$ $=$ $48$
$6 x + 6$ $=$ $48$
$6 x$ $=$ $42$
$x$ $=$ $7$
$\Rightarrow x = 7; y = 8; z = 10$
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$\begin{array}{rcrcrcr} x & - & 2 y & = & 4 \\ - & y & - & z & = & - 1 \\ - x & + & y & + & 3 z & = & - 1 \end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
$\begin{array}{rcrcrcr} x & - & 2 y & = & 4 \\ - & y & - & z & = & - 1 \\ - x & + & y & + & 3 z & = & - 1 \end{array}$
Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
$(\begin{array}{cccc} 1 & - 2 & 0 & 4 \\ 0 & - 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & 3 & - 1 \end{array}) \overset{1 \cdot I + 1 \cdot I I I}{⟶} (\begin{array}{cccc} 1 & - 2 & 0 & 4 \\ 0 & - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & - 1 & 3 & 3 \end{array}) \overset{1 \cdot I I - 1 \cdot I I I}{⟶} (\begin{array}{cccc} 1 & - 2 & 0 & 4 \\ 0 & - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 0 & - 4 & - 4 \end{array})$
Aus der dritten Zeile folgt:
$- 4 z$ $=$ $- 4$ $: (- 4)$
$z$ $=$ $1$
↓
Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
$- y - 1$ $=$ $- 1$ $+ 1$
$- y$ $=$ $0$ $: (- 1)$
$y$ $=$ $0$
↓
Setze den gefundenen y-Wert in die erste Zeile ein.
$x - 2 \cdot 0$ $=$ $4$
$x$ $=$ $4$
$\Rightarrow x = 4; y = 0; z = 1$
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$\begin{array}{rcrcrcr} 2 x & + & 3 y & - & z & = & 3 \\ x & + & 2 z & = & 9 \\ x & - & y & = & 2 \end{array}$

$\begin{array}{rcrcrcr} 5 x & + & 2 y & - & 2 z & = & - 1 \\ 3 x & + & y & - & 3 z & = & - 4 \\ 2 x & + & z & = & 4 \end{array}$

$\begin{array}{ccrcrcr} 4 x & + & 3 y & + & z & = & 13 \\ 2 x & - & 5 y & + & 3 z & = & 1 \\ 7 x & - & y & - & 2 z & = & - 1 \end{array}$

$\begin{array}{rcrcrcr} 2 x & + & 9 y & - & 14 z & = & 39 \\ 3 x & + & 6 y & + & 2 z & = & 36 \\ \frac{x}{2} & + & \frac{y}{3} & + & 7 z & = & 2 \end{array}$

$\begin{array}{rcrcrcr} x & + & y & - & z & = & 4 \\ 4 x & - & 2 y & - & 2 z & = & 3 \\ - 5 x & + & 4 y & + & 2 z & = & 0 \end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
$\begin{array}{rcrcrcr} x & + & y & - & z & = & 4 \\ 4 x & - & 2 y & - & 2 z & = & 3 \\ - 5 x & + & 4 y & + & 2 z & = & 0 \end{array}$
Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
$(\begin{array}{rrrc} 1 & 1 & - 1 & 4 \\ 4 & - 2 & - 2 & 3 \\ - 5 & 4 & 2 & 0 \end{array}) \overset{4 \cdot I - 1 \cdot I I}{\underset{5 \cdot I + 1 \cdot I I I}{⟶}} (\begin{array}{rrrc} 1 & 1 & - 1 & 4 \\ 0 & 6 & - 2 & 13 \\ 0 & 9 & - 3 & 20 \end{array}) \overset{3 \cdot I I - 2 \cdot I I I}{⟶} (\begin{array}{rrrc} 1 & 1 & - 1 & 4 \\ 0 & 6 & - 2 & 13 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{array})$
Aus unterer Zeile folgt:
$0 \cdot z = - 1$
$\Rightarrow$ Dies ist nicht lösbar!
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3
Löse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren, und gib die Lösung in allgemeiner Form an. (Verwende dabei, falls erforderlich, Parameter in der Lösung).
1. $\begin{array}{ccccc} x & + & 2 y & = & 0 \\ x & + & y & + & z & = & 0 \\ 2 x & + & 3 y & + & z & = & 0 \end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gauß-Verfahren
  $\begin{array}{ccccc} x & + & 2 y & = & 0 \\ x & + & y & + & z & = & 0 \\ 2 x & + & 3 y & + & z & = & 0 \end{array}$
  Setze das Gleichungssystem in die Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
  $(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 0 \end{array}) \overset{1 \cdot I - 1 \cdot I I}{\underset{2 \cdot I - 1 \cdot I I I}{⟶}} (\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}) \overset{1 \cdot I I - 1 \cdot I I I}{⟶} (\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})$
  Aus der dritten Zeile (Nullzeile) folgt:
  $z = r$ , wobei $r$ beliebig gewählt werden kann
  Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
  $y - r$ $=$ $0$ $+ r$
  $y$ $=$ $r$
  Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.
  $x + 2 r$ $=$ $0$ $- 2 r$
  $x$ $=$ $- 2 r$
  $\Rightarrow x = - 2 r; y = r; z = r$
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2. $\begin{array}{rcrcrcc} x & - & 2 y & + & 3 z & = & 0 \\ - x & + & 2 y & - & 3 z & = & 0 \\ 2 x & - & 4 y & + & 6 z & = & 0 \end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gauß-Verfahren
  $\begin{array}{rcrcrcc} x & - & 2 y & + & 3 z & = & 0 \\ - x & + & 2 y & - & 3 z & = & 0 \\ 2 x & - & 4 y & + & 6 z & = & 0 \end{array}$
  Setze dass Gleichungssystem in die Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
  $(\begin{array}{rrrc} 1 & - 2 & 3 & 0 \\ - 1 & 2 & - 3 & 0 \\ 2 & - 4 & 6 & 0 \end{array}) \overset{1 \cdot I + 1 \cdot I I}{\underset{2 \cdot I - 1 \cdot I I I}{⟶}} (\begin{array}{rrrc} 1 & - 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})$
  Aus den beiden unteren Zeilen (Nullzeilen) folgt: Man kann zwei der drei Variablen frei wählen bzw. muss in einer allgemeinen Lösung Parameter dafür schreiben.
  Setze zum Beispiel
  $y = r; z = s$
  … und setze diese Parameter-Werte für $y$ und $z$ in die erste Zeile ein.
  $x - 2 r + 3 s = 0$
  Löse nach $x$ auf.
  $x - 2 r + 3 s$ $=$ $0$ $+ 2 r - 3 s$
  $x$ $=$ $2 r - 3 s$
  $\Rightarrow x = 2 r - 3 s; y = r; z = s$
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3. $\begin{array}{rcrcrcc} 2 x & - & y & + & 3 z & = & 1 \\ x & + & 3 y & - & 2 z & = & 1 \\ 3 x & - & 2 y & + & 5 z & = & 1 \end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gauß-Verfahren
  $\begin{array}{rcrcrcc} 2 x & - & y & + & 3 z & = & 1 \\ x & + & 3 y & - & 2 z & = & 1 \\ 3 x & - & 2 y & + & 5 z & = & 1 \end{array}$
  Setze das Gleichungssystem in die Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
  $(\begin{array}{crrc} 2 & - 1 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & - 2 & 1 \\ 3 & - 2 & 5 & 1 \end{array}) \overset{1 \cdot I - 2 \cdot I I}{\underset{3 \cdot I - 2 \cdot I I I}{⟶}} (\begin{array}{crrc} 2 & - 1 & 3 & 1 \\ 0 & - 7 & 7 & - 1 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 \end{array}) \overset{1 \cdot I I + 7 \cdot I I I}{⟶} (\begin{array}{crrc} 2 & - 1 & 3 & 1 \\ 0 & - 7 & 7 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{array})$
  Aus der dritten Zeile folgt:
  $0 \cdot z = 6$
  $\Rightarrow$ Dies ist nicht lösbar
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4. $\begin{array}{rcrcrcr} x & - & 2 y & + & z & = & - 1 \\ - 2 x & + & y & + & 2 z & = & - 5 \\ 3 x & - & y & + & 2 z & = & 3 \\ x & - & 3 y & + & 8 z & = & - 9 \end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gauß-Verfahren
  $\begin{array}{rcrcrcr} x & - & 2 y & + & z & = & - 1 \\ - 2 x & + & y & + & 2 z & = & - 5 \\ 3 x & - & y & + & 2 z & = & 3 \\ x & - & 3 y & + & 8 z & = & - 9 \end{array}$
  Setze das Gleichungsystem in die Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
  $\begin{aligned} (\begin{array}{rrcr} 1 & - 2 & 1 & - 1 \\ - 2 & 1 & 2 & - 5 \\ 3 & - 1 & 2 & 3 \\ 1 & - 3 & 8 & - 9 \end{array}) \\ \overset{2 \cdot I + I I, 3 \cdot I - 1 \cdot I I I}{\underset{1 \cdot I - 1 \cdot I V}{⟶}} & (\begin{array}{rrcr} 1 & - 2 & 1 & - 1 \\ 0 & - 3 & 4 & - 7 \\ 0 & - 5 & 1 & - 6 \\ 0 & 1 & - 7 & 8 \end{array}) \\ \overset{5 \cdot I I - 3 \cdot I I I}{\underset{1 \cdot I I + 3 \cdot I V}{⟶}} & (\begin{array}{rrcr} 1 & - 2 & 1 & - 1 \\ 0 & - 3 & 4 & - 7 \\ 0 & 0 & 17 & - 17 \\ 0 & 0 & - 17 & 17 \end{array}) \end{aligned}$
  Aus der dritten (oder vierten) Zeile folgt:
  $17 z$ $=$ $- 17$ $: 17$
  $z$ $=$ $- 1$
  Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
  $- 3 y + 4 \cdot (- 1)$ $=$ $- 7$
  ↓
  Multpliziere aus.
  $- 3 y - 4$ $=$ $- 7$ $+ 4$
  $- 3 y$ $=$ $- 3$ $: (- 3)$
  $y$ $=$ $1$
  Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein und löse nach x auf.
  $x - 2 - 1$ $=$ $- 1$
  $x - 3$ $=$ $- 1$ $+ 3$
  $x$ $=$ $2$
  $\Rightarrow x = 2; y = 1; z = - 1$
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5. $\begin{array}{rcrcrcr} x & - & 3 y & + & z & = & 4 \\ - 2 x & + & 4 y & - & 3 z & = & - 9 \end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gauß-Verfahren
  Wende das Gauß-Verfahren auf das folgdende Gleichungssystem an:
  $\begin{array}{rcrcrcr} x & - & 3 y & + & z & = & 4 \\ - 2 x & + & 4 y & - & 3 z & = & - 9 \end{array}$
  Setze das Gleichungssystem in die Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
  $(\begin{array}{rrrr} 1 & - 3 & 1 & 4 \\ - 2 & 4 & - 3 & - 9 \end{array}) \overset{2 \cdot I + 1 \cdot I I}{⟶} (\begin{array}{rrrr} 1 & - 3 & 1 & 4 \\ 0 & - 2 & - 1 & - 1 \end{array})$
  Aus der zweiten Zeile folgt:
  $- 2 y - 1 z = - 1$
  Setze $z = r$ .
  $- 2 y - r$ $=$ $- 1$ $+ r$
  $- 2 y$ $=$ $- 1 + r$ $: (- 2)$
  $y$ $=$ $\frac{1 - r}{2}$
  Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.
  $x - 3 \cdot \frac{1 - r}{2} + r$ $=$ $4$
  ↓
  Multipliziere die 3 in den Bruch.
  $x - \frac{3 - 3 r}{2} + r$ $=$ $4$ $+ \frac{3 - 3 r}{2} - r$
  $x$ $=$ $4 + \frac{3 - 3 r}{2} - r$
  ↓
  Bilde den Hauptnenner (hier 2) und erweitere alle Elemente auf diesen.
  $x$ $=$ $\frac{8}{2} + \frac{3 - 3 r}{2} - \frac{2 r}{2}$
  $x$ $=$ $\frac{- 5 r + 11}{2}$
  $\Rightarrow x = \frac{- 5 r + 11}{2}; y = \frac{1 - r}{2}; z = r$
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4
Für welche Werte von $a$ ist folgendes LGS lösbar? Was sind dann die Lösungen?
$\begin{array}{cccccccc} x_{1} & + & 2 x_{2} + & x_{3} & = & 2 \\ x_{1} & + & 4 x_{2} + & 3 x_{3} & = & 4 \\ - 2 x_{1} & - & 3 x_{2} - & x_{3} & = & a \end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineares Gleichungssystem
Das LGS lässt sich als Matrix aufschreiben und mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus vereinfachen.
$(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & 3 \\ - 2 & - 3 & - 1 \end{array} | \begin{array}{r} 2 \\ 4 \\ a \end{array})$
$(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} | \begin{array}{r} 2 \\ 2 \\ a + 4 \end{array})$
$(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} | \begin{array}{r} 2 \\ a + 4 \\ 2 - 2 (a + 4) \end{array})$
Da die letzte Zeile keine Koeffizienten mehr enthält, gilt $0 = 2 - 2 (a + 4)$ bzw. $a = - 3$ . Das Gleichungssystem ist also unterdefefiniert und wir können $x_{3}$ beliebig wählen, z. B. $x_{3} = z$ . Wir fügen diese Gleichung noch als eine neue Zeile ein und setzen $a = - 3$ .
$(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} | \begin{array}{r} 2 \\ - 3 + 4 \\ z \end{array})$
$(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} | \begin{array}{r} z \\ 1 - z \\ z \end{array})$
Das heißt, es gilt $a = - 3$ sowie $x_{1} = z$ , $x_{2} = 1 - z$ und $x_{3} = z$ mit $z \in ℝ$ .

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$- 22 z$	$=$	$- 72$	$: (- 22)$
$z$	$=$	$\frac{36}{11}$
	↓	Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
$3 \cdot y - 5 \cdot \frac{36}{11}$	$=$	$- 15$
	↓	Multipliziere aus.
$3 \cdot y - \frac{180}{11}$	$=$	$- 15$	$+ \frac{180}{11}$
$3 \cdot y$	$=$	$\frac{15}{11}$	$: 3$
$y$	$=$	$\frac{5}{11}$
	↓	Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.
$2 \cdot x + 3 \cdot \frac{5}{11} - \frac{36}{11}$	$=$	$3$
	↓	Multipliziere.
$2 \cdot x + \frac{15}{11} - \frac{36}{11}$	$=$	$3$
	↓	Subtrahiere.
$2 \cdot x + (- \frac{21}{11})$	$=$	$3$	$+ \frac{21}{11}$
$2 \cdot x$	$=$	$\frac{54}{11}$	$: 2$
$x$	$=$	$\frac{27}{11}$

$\frac{832}{3} z$	$=$	$- 120$	$: \frac{832}{3}$
$z$	$=$	$- \frac{45}{104}$
	↓	Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
$15 \cdot y - 46 \cdot (- \frac{45}{104})$	$=$	$45$
	↓	Multipliziere aus.
$15 \cdot y + \frac{1035}{52}$	$=$	$45$	$- \frac{1035}{52}$
$15 \cdot y$	$=$	$\frac{1025}{52}$	$: 15$
$y$	$=$	$\frac{87}{52}$
	↓	Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.
$2 \cdot x + 9 \cdot \frac{87}{52} - 14 \cdot (- \frac{45}{104})$	$=$	$39$
	↓	Multipliziere aus.
$2 \cdot x + \frac{783}{52} + \frac{315}{52}$	$=$	$39$
$2 \cdot x + \frac{1098}{52}$	$=$	$39$	$- \frac{1098}{52}$
$2 \cdot x$	$=$	$\frac{465}{26}$	$: 2$
$x$	$=$	$\frac{465}{52}$

$y$	$=$	$- 9$
	↓	Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.
$6 x - (- 9) + 2 \cdot (- 12,25)$	$=$	$1$
	↓	Multipliziere aus.
$6 x + 9 - 24,5$	$=$	$1$
$6 x - 15,5$	$=$	$1$
$6 x$	$=$	$16,5$
$x$	$=$	$2,75$

$12 y + 5 \cdot 10$	$=$	$146$
$12 y + 50$	$=$	$146$
$12 y$	$=$	$96$
$y$	$=$	$8$

$6 x + 2 \cdot 8 - 10$	$=$	$48$
$6 x \cdot 16 - 10$	$=$	$48$
$6 x + 6$	$=$	$48$
$6 x$	$=$	$42$
$x$	$=$	$7$

$- 4 z$	$=$	$- 4$	$: (- 4)$
$z$	$=$	$1$
	↓	Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
$- y - 1$	$=$	$- 1$	$+ 1$
$- y$	$=$	$0$	$: (- 1)$
$y$	$=$	$0$
	↓	Setze den gefundenen y-Wert in die erste Zeile ein.
$x - 2 \cdot 0$	$=$	$4$
$x$	$=$	$4$

$45 z$	$=$	$90$	$: 45$
$z$	$=$	$2$
	↓	Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
$y + 9 \cdot 2$	$=$	$17$
	↓	Multipliziere aus.
$y + 18$	$=$	$17$	$- 18$
$y$	$=$	$- 1$
	↓	Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.
$5 x + 2 \cdot (- 1) - 2 \cdot 2$	$=$	$- 1$
	↓	Multipliziere aus.
$5 x - 2 - 4$	$=$	$- 1$
$5 x - 6$	$=$	$- 1$	$+ 6$
$5 x$	$=$	$5$	$: 5$
$x$	$=$	$1$

$- 320 z$	$=$	$- 960$	$: (- 320)$
$z$	$=$	$3$
	↓	Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
$13 y - 5 \cdot 3$	$=$	$11$
$13 y - 15$	$=$	$11$	$+ 15$
$13 y$	$=$	$26$	$: 13$
$y$	$=$	$2$
	↓	Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Gleichung ein.
$4 x + 3 \cdot 2 + 3$	$=$	$13$
	↓	Fasse zusammen.
$4 x + 9$	$=$	$13$	$- 9$
$4 x$	$=$	$4$	$: 4$
$x$	$=$	$1$

$- 3 y + 4 \cdot (- 1)$	$=$	$- 7$
	↓	Multpliziere aus.
$- 3 y - 4$	$=$	$- 7$	$+ 4$
$- 3 y$	$=$	$- 3$	$: (- 3)$
$y$	$=$	$1$

$- 2 y - r$	$=$	$- 1$	$+ r$
$- 2 y$	$=$	$- 1 + r$	$: (- 2)$
$y$	$=$	$\frac{1 - r}{2}$

$x - 3 \cdot \frac{1 - r}{2} + r$	$=$	$4$
	↓	Multipliziere die 3 in den Bruch.
$x - \frac{3 - 3 r}{2} + r$	$=$	$4$	$+ \frac{3 - 3 r}{2} - r$
$x$	$=$	$4 + \frac{3 - 3 r}{2} - r$
	↓	Bilde den Hauptnenner (hier 2) und erweitere alle Elemente auf diesen.
$x$	$=$	$\frac{8}{2} + \frac{3 - 3 r}{2} - \frac{2 r}{2}$
$x$	$=$	$\frac{- 5 r + 11}{2}$

$- 8 z$	$=$	$98$	$: (- 8)$
$z$	$=$	$- 12,25$

$17 z$	$=$	$- 17$	$: 17$
$z$	$=$	$- 1$

Aufgaben zum Gauß-Algorithmus

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