Gruppe A

Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Zu einer vorgegebenen Strecke [EG] sollen Punkte F und H so konstruiert werden, dass sie gemeinsam mit den Punkten E und G ein Quadrat mit Diagonale [EG] bilden. Beschreiben Sie in Kurzform die dazu nötigen Konstruktionsschritte. (2 BE)
Hinweis: In der geforderten Kurzform müsste z. B. die Konstruktion einer Parallelen nicht beschrieben werden.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mittelsenkrechte
Um die Punkte F und H konstruieren zu können, konstruiere zunächst die Mittelsenkrechte zu der Strecke [EG] wie folgt: Zeichne einen Kreis um E, dessen Radius größer als der halbe Abstand von E zu G ist. Zeichne einen gleich großen Kreis um G. Markiere die beiden Schnittpunkte. Die Mittelsenkrechte zur Strecke [EG] ist die Gerade, die durch diese beiden Schnittpunkte geht. Bezeichne den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit der Stecke [EG] mit M.
Zeichne nun einen Kreis um M, der durch die Punkte E und G geht. Dieser Kreis schneidet die Mittelsenkrechte der Strecke [EG] in den beiden Punkten F und H.
Die beiden Schnittpunkte dieses Kreises um M mit der Mittelsenkrechten der Strecke [EG] sind die gesuchten Punkte F und H. Die Punkte E, F, G und H sind die Eckpunkte eines Quadrates und die Strecke [EG] ist eine der beiden Diagonalen dieses Quadrates.
2
Jakob behauptet, dass $\sqrt{a^2}=a$ für alle reellen Zahlen $a$ gilt. Nehmen Sie zu Jakobs Be-hauptung Stellung. Veranschaulichen Sie Ihre Stellungnahme durch ein Zahlenbeispiel. (1 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratwurzel
Für diese Aufgabe musst Du wissen was man unter einer Quadratwurzel versteht und wie eine Funktion definiert ist.
Die Quadratwurzel einer Zahl a ist diejenige Zahl, die man quadrieren muss, um a zu erhalten.
Beispiel:
$a=9$
$\sqrt9=3$
Allerdings gilt auch
$(-3)\cdot(-3)=9$ .
Da die Quadratwurzel aber auch als eine Funktion definiert werden kann, muss jedem Wert aus dem Definitionsbereich genau eine Zahl aus der Wertemenge zugeordnet werden.
Um einen eindeutigen Ausdruck zu erhalten wird die Quadratwurzel einer Zahl immer als eine positive reelle Zahl oder 0 definiert.

Vereinfachen Sie den Term so weit wie möglich.

$\dfrac{z^3-z}{z^2-z}$

(2 BE)

Das abgebildete Verkehrsschild gibt am Fuß einer Bergstraße deren Steigung an. Hannah sagt: „Wenn man auf dieser Straße 20 m zurücklegt, so gewinnt man dabei 5 m an Höhe.“ Ist Hannahs Behauptung richtig? Begründen Sie Ihre Antwort anhand einer geeigneten Skizze. (2 BE)

5
Bei dem abgebildeten Glücksrad ist der Sektor, der den Buchstaben B zeigt, doppelt so groß wie jeder der beiden anderen Sektoren. Lukas dreht das Glücksrad dreimal. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er dabei jeden Buchstaben einmal erzielt. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
$\qquad\ \rule{11cm}{0.5mm}$
$\ P=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{4}$
$\ P=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{4}\cdot(1+1+1+1+1+1)$
$\ P=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{4}\cdot6\ \Rightarrow\ P=\dfrac{6}{32}\ \Rightarrow\ P=\dfrac{3}{16}\ \Rightarrow\ P=0{,}1875$
$\ P=18{,}75\%$
Die Wahrscheinlichkeit, dass jeder Buchstabe bei dreimaligem Drehen einmal erzielt wird, beträgt, $\ 18{,}75\%$ .
6
Die Trinkwassertalsperre Frauenau im Bayerischen Wald versorgt Menschen in Niederbayern und in der Oberpfalz mit Wasser. Der Stausee hat eine Oberfläche von $900.000 \;\mathrm{m}^2$ und fasst $18$ Millionen Kubikmeter Wasser.
1. Berechnen Sie die durchschnittliche Tiefe des Stausees. (1 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenformel
  Für diese Aufgabe musst Du die Volumenformel kennen.
  $V=l\cdot b\cdot h$
  $h=V:(l\cdot b)$
  Das Volumen und die Fläche des Stausees sind bekannt.
  $h=18.000.000\ m^3:900.000\ m^2=20\ m$
  Die durchschnittliche Tiefe des Stausees beträgt $20\ m$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. In einem Jahr wurden dem Stausee etwa 16 Millionen Kubikmeter Wasser entnommen. Damit konnte der Wasserverbrauch der 200 000 Einwohner des Versorgungsgebiets in diesem Jahr zu $80\ \%$ abgedeckt werden. Berechnen Sie, wie viel Kubikmeter Wasser in diesem Jahr pro Einwohner des Versorgungsgebiets im Durchschnitt verbraucht wurden. (2 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
  Für diese Aufgabe musst die Prozentrechnung beherrschen.
  Berechne zunächst wieviel Kubikmeter Wasser jeder der 200.000 Einwohner durchnschnittlich erhalten hat, wenn 16 Millionen Kubikmeter Wasser aus dem Stausee entnommen wurden.
  $16.000.000\ m^3:200.000=80\ m^3$
  $80\ m^3$ Wasser decken $80\ \%$ des Jahresverbrauchs pro Einwohner ab.
  $80~m³\widehat=80~\%$ | $:80$
  $1~m³\widehat{=}1~\%$ $|\cdot100$
  $100~m³\widehat=100~\%$
  In diesem Jahr wurden durchschnittlich $100\ m^3$ Wasser pro Einwohner verbraucht.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. Schätzen Sie mithilfe der abgebildeten Karte den Flächen-inhalt des schraffiert markierten Versorgungsgebiets in Quadratkilometern ab. (2 BE)
  Hinweis: Bei einer Abschätzung muss grundsätzlich der Lösungsweg nachvollziehbar sein.
  
  Das Gebiet sieht ähnlich wie einen Halbkreis mit $40\ km$ Radius aus.
  Die Fläche ist etwa $\frac{1}{2}\cdot 40\cdot 40\cdot \pi\ \text{km}^2\approx 2500\ \text{km}^2$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
7
Eine Parabel ist gegeben durch die Gleichung $\;y=\frac{1}{2}x^2+2x-6$ .
1. Geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der Parabel mit der y-Achse an. (1 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen
  Eine Parabel ist gegeben durch die Gleichung $y=\frac12x²+2x-6$ .
  Für diese Aufgabe musst Du wissen, wie man die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen berechnet.
  Für die Berechnung des Schnittpunktes der Parabel mit der y-Achse setzte $x=0$ .
  => $y=-6$
  Der Schnittpunkt der Parabel mit der y-Achse liegt bei $y=-6$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse. (2 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen
  Für die Berechnung des Schnittpunktes der Parabel mit der x-Achse setzte $y=0$ .
  $0=\frac{1}{2}x^2+2x-6$
  $0=(\frac16x+1)\cdot(3x-6)$
  Das Produkt aus den beiden Klammern wird $0$ , wenn der Wert mindestens einer der beiden Klammern $0$ ist.
  $=>x=-6$ oder $x=2$
  Die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse liegen bei $x=-6$ und $x=2$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
8
Für eine annähernd punktförmige Lichtquelle wird die Intensität y des Lichts im Abstand x von der Lichtquelle durch die Funktionsgleichung $\;y=\frac{2}{x^2}$ beschrieben.
1. Einer der abgebildeten Graphen kann zur Funktionsgleichung $\;y=\frac{2}{x^2}$ gehören. Kreuzen Sie an. (1 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsgleichungen
  Gegeben ist die Funktionsgleichung $y=\frac2{x²}$
  Um zu erkennen, welcher Graph zu der Funktionsgleichung gehört, setze in die Gleichung verschiedene Werte für $x$ ein und berrechne $y$ .
  $x=1$ => $y=\frac2{1²}=\frac21=1$
  $x=2$ => $y=\frac2{2²}=\frac24=\frac12$
  $x=3$ => $y=\frac2{3³}=\frac29$
  Zu der Funktionsgleichung $y=\frac2{x²}$ gehört der 3. Graph von links.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. Bestimmen Sie die zu $x=a$ und $x=5a$ gehörenden y-Werte. Geben Sie mithilfe Ihrer Ergebnisse an, um wie viel Prozent die Intensität des Lichts abnimmt, wenn man den Abstand zur Lichtquelle verfünffacht. (2 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Dreisatz
  Bestimmen Sie die zu $x=a$ und $x=5a$ gehörenden y-Werte
  Gleichung 1) $x=a$ => $y=\frac2{a²}$
  Gleichung 2) $x=5a$ => $y=\frac2{(5a)²}=\frac2{25a²}$
  Berechne nun um wie viel Prozent die Intensität des Lichts abnimmt, wenn man den Abstand zur Lichtquelle verfünffacht.
  Für diese Aufgabe musst Du die Prozentrechnung mittels Dreisatz anwenden.
  Setzte zum Beispiel in beiden Gleichungen $a=1$
  Gleichung 1) $a=1$ => $y=2$
  Gleichung 2) $a=1$ => $y=\frac2{25}$
  $2\widehat=100~\%$
  $\frac2{100}\widehat=1~\%$
  $\frac2{25}:\frac2{100}=\frac{100}{25}=4$
  Die Intensität des Lichtes nimmt um $4\ \%$ ab, wenn man den Abstand zur Lichtquelle verfünffacht.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. Lösen Sie die Gleichung $\;y=\frac{2}{x^2}$ nach x auf. (1 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzel ziehen
  Löse $y=\frac2{x²}$ nach x auf.
  $y=\frac{2}{x^2}$ | $\cdot x²$
  $y\cdot x^2=2$ | $:y$
  $x^2=\frac{2}{y}$
  ziehe die Wurzel
  $x=\sqrt{\frac{2}{y}}$
  Wenn man die Gleichung $y=\frac2{x²}$ nach $x$ auflöst, ergibt sich $x=\sqrt{\frac2y}$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

	$\displaystyle \dfrac{z^3-z}{z^2-z}$
	↓ Ausklammern von $z$
$=$	$\displaystyle \dfrac{z\left(z^2-1\right)}{z\left(z-1\right)}$
	↓ Kürzen von $z$
$=$	$\displaystyle \dfrac{\left(z^2-1\right)}{\left(z-1\right)}$
	↓ Anwenden der 3. binomischen Formel im Zähler
$=$	$\displaystyle \dfrac{\left(z+1\right)\left(z-1\right)}{\left(z-1\right)}$
	↓ Kürzen von $\left(z-1\right)$
$=$	$\displaystyle z+1$

$\displaystyle 0{,}25$	$=$	$\displaystyle \frac{5m}{x}$	$\displaystyle \cdot x$
$\displaystyle 0{,}25\cdot x$	$=$	$\displaystyle 5m$	$\displaystyle :0{,}25$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 20m$

Gruppe A

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?