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Kurs

Berechnungen von Wurzeln

9Intervallschachtelung (4/4)

Beispiel

Bei   2  \; \sqrt{2}\; würde die Intervallschachtelung folgendermaßen weitergehen:

2  \sqrt{2}\; liegt im Intervall

weil

Intervall

Berechnung

]1;  2[\left]1 ; \; 2 \right[

12<2<221^2 < 2 < 2^2

]1;  1,5[\left]1; \; \color{#ff6600}{1{,}5} \right[

1+22=1,5\frac{1+2}{2} = \color{#ff6600}{1{,}5}

mit 1,52=2,251{,}5^2 = 2{,}25

12<2<1,521^2 < 2 < 1{,}5^2

]1,25;  1,5[\left]\color{#ff6600}{1{,}25}; \; 1{,}5 \right[

1+1,52=1,25\frac{1+1{,}5}{2} = \color{#ff6600}{1{,}25}

mit 1,252≈1,561{,}25^2 \approx 1{,}56

1,252<2<1,521{,}25^2 < 2 < 1{,}5^2

]1,375;  1,5[\left]\color{#ff6600}{1{,}375}; \; 1{,}5 \right[

1,25+1,52=1,375\frac{1{,}25+1{,}5}{2} = \color{#ff6600}{1{,}375}

mit 1,3752≈1,891{,}375^2 \approx 1{,}89

1,3752<2<1,521{,}375^2 < 2 < 1{,}5^2

]1,375;  1,4375[\left]1{,}375; \; \color{#ff6600}{1{,}4375} \right[

1,375+1,52=1,4375\frac{1{,}375+1{,}5}{2} = \color{#ff6600}{1{,}4375}

mit 1,43752≈2,0661{,}4375^2 \approx 2{,}066

1,3752<2<1,437521{,}375^2 < 2 < 1{,}4375^2

]1,40625;  1,4375[\left]\color{#ff6600}{1{,}40625}; \; 1{,}4375 \right[

1,375+1,43752=1,40625\frac{1{,}375+1{,}4375}{2} = \color{#ff6600}{1{,}40625}

mit 1,406252≈1,981{,}40625^2 \approx 1{,}98

1,406252<2<1,437521{,}40625^2 < 2 < 1{,}4375^2

Diese Tabelle kann man noch beliebig lange fortführen.

Wenn du hier abbrichst, erhältst du als Ergebnis, dass 2\sqrt{2} zwischen 1,406251{,}40625 und 1,43751{,}4375 liegt.

Oft wird aber noch nach einem Schätzwert gefragt. Jeder Wert aus diesem Intervall wäre ein gültiger Schätzwert. Ein Kandidat wäre hier der Mittelwert.

2≈1,40625+1,43752=1,421875\displaystyle \sqrt{2} \approx \frac{1{,}40625+1{,}4375}{2} =1{,}421875

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