9Intervallschachtelung (4/4)

Beispiel

Bei $\; \sqrt{2}\;$ würde die Intervallschachtelung folgendermaßen weitergehen:

$\sqrt{2}\;$ liegt im Intervall

weil

Intervall	Berechnung
$\left]1 ; \; 2 \right[$	$1^2 < 2 < 2^2$
$\left]1; \; \color{#ff6600}{1{,}5} \right[$	$\frac{1+2}{2} = \color{#ff6600}{1{,}5}$ mit $1{,}5^2 = 2{,}25$ $1^2 < 2 < 1{,}5^2$
$\left]\color{#ff6600}{1{,}25}; \; 1{,}5 \right[$	$\frac{1+1{,}5}{2} = \color{#ff6600}{1{,}25}$ mit $1{,}25^2 \approx 1{,}56$ $1{,}25^2 < 2 < 1{,}5^2$
$\left]\color{#ff6600}{1{,}375}; \; 1{,}5 \right[$	$\frac{1{,}25+1{,}5}{2} = \color{#ff6600}{1{,}375}$ mit $1{,}375^2 \approx 1{,}89$ $1{,}375^2 < 2 < 1{,}5^2$
$\left]1{,}375; \; \color{#ff6600}{1{,}4375} \right[$	$\frac{1{,}375+1{,}5}{2} = \color{#ff6600}{1{,}4375}$ mit $1{,}4375^2 \approx 2{,}066$ $1{,}375^2 < 2 < 1{,}4375^2$
$\left]\color{#ff6600}{1{,}40625}; \; 1{,}4375 \right[$	$\frac{1{,}375+1{,}4375}{2} = \color{#ff6600}{1{,}40625}$ mit $1{,}40625^2 \approx 1{,}98$ $1{,}40625^2 < 2 < 1{,}4375^2$

Diese Tabelle kann man noch beliebig lange fortführen.

Wenn du hier abbrichst, erhältst du als Ergebnis, dass $\sqrt{2}$ zwischen $1{,}40625$ und $1{,}4375$ liegt.

Oft wird aber noch nach einem Schätzwert gefragt. Jeder Wert aus diesem Intervall wäre ein gültiger Schätzwert. Ein Kandidat wäre hier der Mittelwert.

\displaystyle \sqrt{2} \approx \frac{1{,}40625+1{,}4375}{2} =1{,}421875

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9Intervallschachtelung (4/4)

Beispiel

2 \sqrt{2}\;2​ liegt im Intervall

weil

$\sqrt{2}\;$ liegt im Intervall