Aufgaben zur Bestimmung von Nullstellen

Bestimme die Nullstellen der Funktionen, indem du faktorisierst.

$f (x) = 3 x^{4} - 9 x^{3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

Ausklammern

Um diese Aufgabe lösen zu können, brauchst du Wissen über das Ausklammern.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3x^4-9x^3$
	↓	Klammere $x^{3}$ aus (kleinster vorkommender Exponent von $x$ ).
$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^3\cdot\left(3x-9\right)$
	↓	Die Nullstellen bestimmst du, indem du den Funktionsterm null setzt.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^3\cdot\left(3x-9\right)$
	↓	Merke: Ein Produkt ist immer dann null, wenn einer seiner Faktoren null ist! Setze jeden Faktor gleich null!
$\displaystyle x^3$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Ziehe die 3. Wurzel.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0$

$\Rightarrow x_1=0$

$\displaystyle 3x-9$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +9$
	↓	Forme um.
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle 9$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 3$

$\Rightarrow x_2=3$

Die Funktion hat die beiden Nullstellen $x_{1} = 0$ und $x_{2} = 3$ .

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$f (x) = 2 x^{3} - x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

Ausklammern

Um diese Aufgabe lösen zu können, brauchst du Wissen über das Ausklammern.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2x^3-x$
	↓	Klammere $x$ aus (kleinster vorkommender Exponent von $x$ ).
$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x\cdot\left(2x^2-1\right)$
	↓	Die Nullstellen bestimmst du, indem du den Funktionsterm null setzt.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x\cdot\left(2x^2-1\right)$
	↓	Merke: Ein Produkt ist immer dann null, wenn einer seiner Faktoren null ist!

Setze jeden Faktor gleich null!

$x = 0$ $\Rightarrow x_1=0$

$\displaystyle 2x^2-1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1$
	↓	Forme um und ziehe die Wurzel.
$\displaystyle 2x^2$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 0{,}5$	$\displaystyle \pm\sqrt{ }$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \sqrt{0{,}5}$
$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle -\sqrt{0{,}5}$

Die Funktion hat 3 Nullstellen und zwar $x_1=0,\;x_2=\sqrt5$ und $x_3=-\sqrt5$ .

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$f (x) = 3 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

Ausklammern & Mitternachtsformel

Um diese Aufgabe lösen zu können, brauchst du Wissen über das Ausklammern und die Mitternachtsformel.

Löse die Erste Nullstelle:

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3x^3-3x^2-6x$
	↓	Klammere $x$ aus (kleinster vorkommender Exponent von $x$ ).
$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x\cdot\left(3x^2-3x-6\right)$
	↓	Die Nullstellen bestimmst du, indem du den Funktionsterm null setzt.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x\cdot\left(3x^2-3x-6\right)$
	↓	Merke: Ein Produkt ist immer dann null, wenn einer seiner Faktoren null ist!

Setze jeden Faktor gleich null!

$x = 0$ $\Rightarrow x_1=0$

Löse die zweite und dritte Nullstelle:

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3x^2-3x-6$
	↓	Setze den Term in die Mitternachtsformel ein.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \frac{-\left(-3\right)\pm\sqrt{\left(-3\right)^2-4\cdot3\cdot\left(-6\right)}}{2\cdot3}$
	↓	Löse den Inhalt der Diskriminante.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \frac{3\pm\sqrt{81}}{6}$
	↓	Löse die Diskriminante auf!

Löse den Term auf um $x_{2}$ zu berechnen.

$x_2=\frac{3+9}{6}$ $x_2=\frac{12}{6}$

$x_{2} = 2$

Löse den Term auf um $x_{3}$ zu berechnen.

$x_3=\frac{3-9}{6}$ $x_3=\frac{-6}{6}$ $x_{3} = - 1$

Ergebnis:

Die Funktion hat die folgenden Nullstellen: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 2$ und $x_{3} = - 1$ .

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$f (x) = x^{2} - 81$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

Es gibt (mindestens) drei Möglichkeiten:

Wurzelziehen

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} f(x)=0 & \iff x^2-81=0\\ & \iff x^2=81\\ &\iff x=9 \vee x=-9 \end{aligned}$

Dritte binomische Formel

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} f(x)=0 & \iff x^2-81=0\\ & \iff (x+9)\cdot(x-9)=0 \end{aligned}$

Nach dem Satz vom Nullprodukt folgt

$x+9=0 \vee x-9=0 \iff x=-9 \vee x=9$ .

Mitternachtsformel

Um diese Gleichung lösen zu können, brauchst du Wissen über die Mitternachtsformel.

Bestimme die Nullstellen:

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2-81$
	↓	Setze die Gleichung in die Mitternachtsformel ein.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-0\pm\sqrt{0^2-4\cdot1\cdot\left(-81\right)}}{2\cdot1}$
	↓	Löse den Inhalt der Diskriminante.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-0\pm\sqrt{324}}{2}$

Fall 1:+

$x_1=\frac{+18}{2}=9$

Fall 2:-

$x_2=\frac{-18}{2}=-9$

Ergebnis:

Die Funktion hat die beiden Nullstellen $x_{1} = 9$ und $x_{2} = - 9$ .

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$f (x) = x^{2} - 10 x + 25$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

Mitternachtsformel

Um diese Aufgabe lösen zu können, brauchst du Wissen über die Mitternachtsformel.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2-10x+25$
	↓	Setze den Term in die Mitternachtsformel ein.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-\left(-10\right)\pm\sqrt{\left(-10\right)^2-4\cdot1\cdot25}}{2\cdot1}$
	↓	Löse den Inhalt der Diskriminante.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{10\pm\sqrt{0}}{2}$
	↓	Da die Diskriminante null ist, sind $x_{1}$ und $x_{2}$ gleich!
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{10}{2}$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle 5$

Die Funktion hat eine doppelte Nullstelle bei $x_{1{,}2}=5$

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$f (x) = 9 x^{2} + 24 x + 16$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

Mitternachtsformel

Um diese Aufgabe lösen zu können, brauchst du Wissen über die Mitternachtsformel.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 9x^2+24x+16$
	↓	Setze den Term in die Mitternachtsformel ein.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-24\pm\sqrt{24^2-4\cdot9\cdot16}}{2\cdot9}$
	↓	Löse den Inhalt der Diskriminante.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-24\pm\sqrt{0}}{18}$
	↓	Da die Diskriminante null ist, sind $x_{1}$ und $x_{2}$ gleich!
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-24}{18}$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -1,\overline{3}$

Die Funktion hat eine doppelte Nullstelle bei $x_{1{,}2}=-1,\bar3$

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$f (x) = 9 x^{4} - 81 x^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

Subsitution & pq-Formel

Um diese Aufgabe lösen zu können, brauchst du Wissen über die Substitution und pq-Formel.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 9x^4-81x^2$
	↓	Wandle die Substitution x² = y in eine Quadratische Gleichung um.
$\displaystyle f\left(y\right)$	$=$	$\displaystyle 9y^2-81y$
	↓	Setzte $f (y) = 0$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 9y^2-81y$
	↓	Klammere $y$ aus.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle y\cdot\left(9y-81\right)$
	↓	Ein Produkt ist $0$ , wenn mindestens einer der Faktoren $0$ ist.

=> $y_{1} = 0$

Resubstitution $y = x^{2}$

$0 = x^{2}$

$x_{1{,}2}=0$

$\displaystyle 9y-81$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +81$
$\displaystyle 9y$	$=$	$\displaystyle 81$	$\displaystyle :9$

=> $y_{2} = 9$

Resubstitution $y = x^{2}$

$x^{2} = 9$

ziehe die Wurzel

$x_{3{,}4}=\pm3$

Die Funktion hat eine doppelte Nullstelle bei $x_{1{,}2}=0$ und jeweils eine einfache Nullstelle bei $x_{3} = + 3$ und $x_{4} = - 3$ .

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