Aufgaben zur Bestimmung von Nullstellen

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Bestimme die Nullstellen der Funktionen, indem du faktorisierst.

$f (x) = 3 x^{4} - 9 x^{3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

Ausklammern

Um diese Aufgabe lösen zu können, brauchst du Wissen über das Ausklammern.

$f (x)$	$=$	$3 x^{4} - 9 x^{3}$
	↓	Klammere $x^{3}$ aus (kleinster vorkommender Exponent von $x$ ).
$f (x)$	$=$	$x^{3} \cdot (3 x - 9)$
	↓	Die Nullstellen bestimmst du, indem du den Funktionsterm null setzt.
$0$	$=$	$x^{3} \cdot (3 x - 9)$
	↓	Merke: Ein Produkt ist immer dann null, wenn einer seiner Faktoren null ist! Setze jeden Faktor gleich null!
$x^{3}$	$=$	$0$
	↓	Ziehe die 3. Wurzel.
$x$	$=$	$0$

$\Rightarrow x_{1} = 0$

$3 x - 9$	$=$	$0$	$+ 9$
	↓	Forme um.
$3 x$	$=$	$9$	$: 3$
$x$	$=$	$3$

$\Rightarrow x_{2} = 3$

Die Funktion hat die beiden Nullstellen $x_{1} = 0$ und $x_{2} = 3$ .

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$f (x) = 2 x^{3} - x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

Ausklammern

Um diese Aufgabe lösen zu können, brauchst du Wissen über das Ausklammern.

$f (x)$	$=$	$2 x^{3} - x$
	↓	Klammere $x$ aus (kleinster vorkommender Exponent von $x$ ).
$f (x)$	$=$	$x \cdot (2 x^{2} - 1)$
	↓	Die Nullstellen bestimmst du, indem du den Funktionsterm null setzt.
$0$	$=$	$x \cdot (2 x^{2} - 1)$
	↓	Merke: Ein Produkt ist immer dann null, wenn einer seiner Faktoren null ist!

Setze jeden Faktor gleich null!

$x = 0$ $\Rightarrow x_{1} = 0$

$2 x^{2} - 1$	$=$	$0$	$+ 1$
	↓	Forme um und ziehe die Wurzel.
$2 x^{2}$	$=$	$1$	$: 2$
$x^{2}$	$=$	$0,5$	$\pm \sqrt{}$
$x_{2}$	$=$	$\sqrt{0,5}$
$x_{3}$	$=$	$- \sqrt{0,5}$

Die Funktion hat 3 Nullstellen und zwar $x_{1} = 0, x_{2} = \sqrt{5}$ und $x_{3} = - \sqrt{5}$ .

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$f (x) = 3 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

Ausklammern & Mitternachtsformel

Um diese Aufgabe lösen zu können, brauchst du Wissen über das Ausklammern und die Mitternachtsformel.

Löse die Erste Nullstelle:

$f (x)$	$=$	$3 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x$
	↓	Klammere $x$ aus (kleinster vorkommender Exponent von $x$ ).
$f (x)$	$=$	$x \cdot (3 x^{2} - 3 x - 6)$
	↓	Die Nullstellen bestimmst du, indem du den Funktionsterm null setzt.
$0$	$=$	$x \cdot (3 x^{2} - 3 x - 6)$
	↓	Merke: Ein Produkt ist immer dann null, wenn einer seiner Faktoren null ist!

Setze jeden Faktor gleich null!

$x = 0$ $\Rightarrow x_{1} = 0$

Löse die zweite und dritte Nullstelle:

$f (x)$	$=$	$3 x^{2} - 3 x - 6$
	↓	Setze den Term in die Mitternachtsformel ein.
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{- (- 3) \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 3}$
	↓	Löse den Inhalt der Diskriminante.
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{3 \pm \sqrt{81}}{6}$
	↓	Löse die Diskriminante auf!

Löse den Term auf um $x_{2}$ zu berechnen.

$x_{2} = \frac{3 + 9}{6}$ $x_{2} = \frac{12}{6}$

$x_{2} = 2$

Löse den Term auf um $x_{3}$ zu berechnen.

$x_{3} = \frac{3 - 9}{6}$ $x_{3} = \frac{- 6}{6}$ $x_{3} = - 1$

Ergebnis:

Die Funktion hat die folgenden Nullstellen: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 2$ und $x_{3} = - 1$ .

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$f (x) = x^{2} - 81$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
Es gibt (mindestens) drei Möglichkeiten:
Wurzelziehen
$\begin{aligned} f (x) = 0 & ⟺ x^{2} - 81 = 0 \\ ⟺ x^{2} = 81 \\ ⟺ x = 9 \lor x = - 9 \end{aligned}$
Dritte binomische Formel
$\begin{aligned} f (x) = 0 & ⟺ x^{2} - 81 = 0 \\ ⟺ (x + 9) \cdot (x - 9) = 0 \end{aligned}$
Nach dem Satz vom Nullprodukt folgt
$x + 9 = 0 \lor x - 9 = 0 ⟺ x = - 9 \lor x = 9$ .
Mitternachtsformel
Um diese Gleichung lösen zu können, brauchst du Wissen über die Mitternachtsformel.
Bestimme die Nullstellen:
$f (x)$ $=$ $x^{2} - 81$
↓
Setze die Gleichung in die Mitternachtsformel ein.
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{- 0 \pm \sqrt{0^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 81)}}{2 \cdot 1}$
↓
Löse den Inhalt der Diskriminante.
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{- 0 \pm \sqrt{324}}{2}$
Fall 1:+
$x_{1} = \frac{+ 18}{2} = 9$
Fall 2:-
$x_{2} = \frac{- 18}{2} = - 9$
Ergebnis:
Die Funktion hat die beiden Nullstellen $x_{1} = 9$ und $x_{2} = - 9$ .
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$f (x) = x^{2} - 10 x + 25$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

Mitternachtsformel

Um diese Aufgabe lösen zu können, brauchst du Wissen über die Mitternachtsformel.

$f (x)$	$=$	$x^{2} - 10 x + 25$
	↓	Setze den Term in die Mitternachtsformel ein.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- (- 10) \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$
	↓	Löse den Inhalt der Diskriminante.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{10 \pm \sqrt{0}}{2}$
	↓	Da die Diskriminante null ist, sind $x_{1}$ und $x_{2}$ gleich!
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{10}{2}$
$x_{1,2}$	$=$	$5$

Die Funktion hat eine doppelte Nullstelle bei $x_{1,2} = 5$

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$f (x) = 9 x^{2} + 24 x + 16$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

Mitternachtsformel

Um diese Aufgabe lösen zu können, brauchst du Wissen über die Mitternachtsformel.

$f (x)$	$=$	$9 x^{2} + 24 x + 16$
	↓	Setze den Term in die Mitternachtsformel ein.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 16}}{2 \cdot 9}$
	↓	Löse den Inhalt der Diskriminante.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- 24 \pm \sqrt{0}}{18}$
	↓	Da die Diskriminante null ist, sind $x_{1}$ und $x_{2}$ gleich!
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- 24}{18}$
$x_{1,2}$	$=$	$- 1, 3$

Die Funktion hat eine doppelte Nullstelle bei $x_{1,2} = - 1, \overline{3}$

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$f (x) = 9 x^{4} - 81 x^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

Subsitution & pq-Formel

Um diese Aufgabe lösen zu können, brauchst du Wissen über die Substitution und pq-Formel.

$f (x)$	$=$	$9 x^{4} - 81 x^{2}$
	↓	Wandle die Substitution x² = y in eine Quadratische Gleichung um.
$f (y)$	$=$	$9 y^{2} - 81 y$
	↓	Setzte $f (y) = 0$
$0$	$=$	$9 y^{2} - 81 y$
	↓	Klammere $y$ aus.
$0$	$=$	$y \cdot (9 y - 81)$
	↓	Ein Produkt ist $0$ , wenn mindestens einer der Faktoren $0$ ist.

=> $y_{1} = 0$

Resubstitution $y = x^{2}$

$0 = x^{2}$

$x_{1,2} = 0$

$9 y - 81$	$=$	$0$	$+ 81$
$9 y$	$=$	$81$	$: 9$

=> $y_{2} = 9$

Resubstitution $y = x^{2}$

$x^{2} = 9$

ziehe die Wurzel

$x_{3,4} = \pm 3$

Die Funktion hat eine doppelte Nullstelle bei $x_{1,2} = 0$ und jeweils eine einfache Nullstelle bei $x_{3} = + 3$ und $x_{4} = - 3$ .

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→ Was bedeutet das?

$f (x)$	$=$	$x^{2} - 81$
	↓	Setze die Gleichung in die Mitternachtsformel ein.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- 0 \pm \sqrt{0^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 81)}}{2 \cdot 1}$
	↓	Löse den Inhalt der Diskriminante.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- 0 \pm \sqrt{324}}{2}$

Ausklammern

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Ausklammern

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Ausklammern & Mitternachtsformel

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Wurzelziehen

Dritte binomische Formel

Mitternachtsformel

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Mitternachtsformel

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Mitternachtsformel

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Subsitution & pq-Formel

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