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Geometrie, Teil B, Aufgabengruppe 1

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte A(4|0|0), B(0|4|0) und C(0|0|4) das Dreieck ABC fest, das in der Ebene E:x1+x2+x3=4 liegt.

    1. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC. (3 BE)

      Das Dreieck ABC stellt modellhaft einen Spiegel dar. Der Punkt P(2|2|3) gibt im Modell die Position einer Lichtquelle an, von der ein Lichtstrahl ausgeht.

      Die Richtung dieses Lichtstrahls wird im Modell durch den Vektor v=(114) beschrieben.

    2. Geben Sie eine Gleichung der Geraden g an, entlang derer der Lichtstrahl im Modell verläuft. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts R, in dem g die Ebene E schneidet, und begründen Sie, dass der Lichtstrahl auf dem dreieckigen Spiegel auftrifft. (5 BE)

      (zur Kontrolle: R(1,5|1,5|1))

      Der einfallende Lichtstrahl wird in demjenigen Punkt des Spiegels reflektiert, der im Modell durch den Punkt R dargestellt wird. Der reflektierte Lichtstrahl geht für einen Beobachter scheinbar von einer Lichtquelle aus, deren Position im Modell durch den Punkt Q(0|0|1) beschrieben wird (vgl. Abbildung).

      Modell Lichtstrahl mit Reflexion
    3. Zeigen Sie, dass die Punkte P und Q bezüglich der Ebene E symmetrisch sind. (3 BE)

      Das Lot zur Ebene E im Punkt R wird als Einfallslot bezeichnet.

    4. Die beiden Geraden, entlang derer der einfallende und der reflektierte Lichtstrahl im Modell verlaufen, liegen in einer Ebene F. Ermitteln Sie eine Gleichung von F in Normalenform. Weisen Sie nach, dass das Einfallslot ebenfalls in der Ebene F liegt. (5 BE)

      (mögliches Teilergebnis: F:x1x2=0)

    5. Zeigen Sie, dass die Größe des Winkels β zwischen reflektiertem Licht-strahl und Einfallslot mit der Größe des Winkels α zwischen einfallendem Lichtstrahl und Einfallslot übereinstimmt. (4 BE)


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