Aufgaben zum Skalarprodukt

Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch

Hier also:

Das heißt: Das Skalarprodukt von $\vec v_1$ und $\vec v_2$ ist $11$.

Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch

Hier also:

Hier stehen die Vektoren senkrecht aufeinander, da das Skalarprodukt $0$ ist.

Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch

Hier also:

Das Skalarprodukt von $\vec c_1$ und $\vec c_2$ ist $6$.

Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch

Hier also:

Das Skalarprodukt von $\vec d_1$ und $\vec d_2$ ist $0$. Die Vektoren stehen somit senkrecht aufeinander.

Das Skalarprodukt von $\vec u$ und $\vec v$ ist $0$. (Die Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.)

Das Skalarprodukt von $\vec u$ und $\vec v$ ist $5{,}5$.

Tipp: Wenn du ganz genau hinschaust, musst du eigentlich nicht rechnen. An welcher Stelle kommt eine Null bei $\vec{u}$ vor? Und an welcher Stelle bei $\vec{v}$?

Skalarprodukt berechnen

Das Skalarprodukt zweier Vektoren kannst du anhand der Formel berechnen, wie du hier siehst. Oder du verwendest den Tipp und siehst die Antwort sofort.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \vec{u}\circ \vec{v} &=& \begin{pmatrix} 0\\-3\pi\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix} \sqrt 2\\0\end{pmatrix}\\&=& 0\cdot \sqrt 2 + (-3\pi)\cdot 0 \\&=& 0-0 \\&=& 0 \end{array}$

Das Skalarprodukt von $\vec u$ und $\vec v$ ist $0$. (Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.)

Tipp: Hier hast du es mit Polarkoordinaten zu tun.

Skalarprodukt berechnen

In dieser Aufgabe kannst du nicht sofort das Skalarprodukt berechnen, da du es mit Polarkoordinaten zu tuen hast, wie der Tipp bereits erwähnt. Deshalb musst du zuerst die Polarkoordinaten in kartesiche Koordinaten umrechnen und anschließend das Skalarprodukt berechnen.

Umrechnung in kartesische Koordinaten

Allgemein gilt für die Umrechnung eines Vektors in Polarkoordinaten $(r,\varphi)$:

$x=r\cdot\cos\varphi$ und $y=r\cdot\sin\varphi$

Setze in diese Formel ein.

$\vec a$: $a_1=2\sqrt{2}\cdot\cos45^{\circ}=2\sqrt{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}=2$

und $a_2=2\sqrt2\cdot\sin45^\circ=2\sqrt2\cdot\dfrac{1}{\sqrt2}=2$

$\vec b$: $b_1=\sqrt3\cdot\cos120^\circ=\sqrt3\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{\sqrt3}{2}$ und

$b_2=\sqrt 3\cdot\sin120^\circ=\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{3}{2}$

Damit erhältst du die folgenden Vektoren in kartesischer Form.

$\vec a=\begin{pmatrix} 2 \\2 \end{pmatrix}$ und $\vec b=\begin{pmatrix} -\dfrac{\sqrt3}{2} \\[2ex]\dfrac{3}{2} \end{pmatrix}$

Skalarprodukt berechnen:

Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch

$\,\vec a\circ\vec b = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2$.

Hier also:

$\,\vec a\circ\vec b = \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-\dfrac{\sqrt3}{2}\\[2ex]\dfrac{3}{2}\end{pmatrix} = 2 \cdot \left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)+ 2 \cdot \dfrac 3 2 = -\sqrt3 + 3 = 3-\sqrt3\approx1{,}27$

Das Skalarprodukt von $\vec a$ und $\vec b$ ist somit $3-\sqrt3$.

Du sollst das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen. Du erhältst durch Verwendung der Formel:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \vec{u}\circ \vec{v} &=& \begin{pmatrix} 2\\-1\\5\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix} 6\\7\\2\end{pmatrix}\\&=& 2\cdot 6 + (-1)\cdot 7 + 5 \cdot 2 \\&=& 12+(-7)+10 \\&=& 15 \end{array}$

Das Skalarprodukt von $\vec u$ und $\vec v$ ist also $15$.

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:

$\vec u\circ\vec v=\begin{pmatrix}12\\3\\4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}6\\0\\-8\end{pmatrix}=12\cdot6+3\cdot0+4\cdot(-8)= 72-32=40$

Das Skalarprodukt von $\vec u$ und $\vec v$ ist also $40$.

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:

$\vec u\circ\vec v=\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}=(-2)\cdot(-1)+3\cdot1+1\cdot(-2)=2+3-2=3$

Das Skalarprodukt von $\vec u$ und $\vec v$ ist also $3$.

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:

$\vec u\circ\vec v=\begin{pmatrix}1\\-2\\-4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-3\\3\\-1\end{pmatrix}=1\cdot\left(-3\right)+\left(-2\right)\cdot3+\left(-4\right)\cdot\left(-1\right)=-3-6+4=-5$

Das Skalarprodukt von $\vec u$ und $\vec v$ ist also $-5$.

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:

$\vec u\circ\vec v=\begin{pmatrix}3\\-4\\0\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}8\\1\\12\end{pmatrix}=3\cdot8+\left(-4\right)\cdot1+0\cdot12=24-4=20$

Das Skalarprodukt von $\vec u$ und $\vec v$ ist also $20$.

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:

$\vec u\circ\vec v=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}0\\0\\-3\end{pmatrix}=1\cdot0+0\cdot0+\left(-1\right)\cdot\left(-3\right)=3$

Das Skalarprodukt von $\vec u$ und $\vec v$ ist also $3$.

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel erhältst du:

$\vec u\circ\vec v=\begin{pmatrix}5\\1\\9\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}2\\8\\-2\end{pmatrix}=5\cdot2+1\cdot8+9\cdot\left(-2\right)=10+8-18=0$

Das Skalarprodukt von $\vec u$ und $\vec v$ ist also $0$. Die Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel, erhältst du:

$\vec u\circ\vec v=\begin{pmatrix}-5\\3\\9\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}2\\8\\-1\end{pmatrix}=\left(-5\right)\cdot2+3\cdot8+9\cdot\left(-1\right)=-10+24-9=5$

Das Skalarprodukt von $\vec u$ und $\vec v$ ist also $5$.

Du sollst das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen. Verwendest du die Formel, erhältst du:

$\vec u\circ\vec v =\begin{pmatrix}0{,}25\\3\\5\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}4\\-\dfrac23\\0{,}2\end{pmatrix} = 0{,}25\cdot4+3\cdot\left(-\dfrac23\right)+5\cdot0{,}2 =1-2+1 =0$

Das Skalarprodukt von $\vec u$ und $\vec v$ ist also $0$. Die Vektoren stehen somit senkrecht aufeinander.

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ergibt.

$\vec a\circ\vec b =\begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix} =(-2)\cdot\left(-1\right)+2\cdot\left(-1\right)=2-2=0$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow a$ und $\overrightarrow b$ ist $0$. Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ergibt.

$\overrightarrow a\odot\overrightarrow b =\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}0{,}5\\-1\end{pmatrix} =6\cdot0{,}5+4\cdot\left(-1\right)=3-4=-1$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow a$ und $\overrightarrow b$ ist $-1$.Die beiden Vektoren stehen also nicht senkrecht aufeinander.

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ergibt.

$\overrightarrow a\odot\overrightarrow b$ $=\begin{pmatrix}2\pi\\7\end{pmatrix} \odot$ $\begin{pmatrix}-3.5\\\pi\end{pmatrix}$ =$2\pi\cdot\left(-3.5\right)+7\cdot \pi$$=7\pi-7\pi=0$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow a$ und $\overrightarrow b$ ist $0$.Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

Orthogonalität von Vektoren

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ergibt.

$\overrightarrow a\odot\overrightarrow b =\begin{pmatrix}\sqrt{6}\\-\sqrt{3}\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}\sqrt2\\2\end{pmatrix} =\sqrt{6}\cdot\sqrt2+(-\sqrt3)\cdot2=\sqrt{12 }-2\sqrt3$

Falls du einen Taschenrechner benutzt, ist die Rechnung natürlich kein Problem. Mit einer kleinen Nebenrechnung kommst du aber auch ohne Nebenrechnung weiter.

Nebenrechnung: $2\sqrt3= \sqrt4 \cdot \sqrt3= \sqrt{4\cdot3}= \sqrt{12}$

Damit ergibt sich insgesamt: $\sqrt{12}-2\sqrt3= \sqrt{12} -\sqrt{12}= 0$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow a$ und $\overrightarrow b$ ist $0$. Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ Null ist.

Es lässt sich (zur Vereinfachung) $v_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \circ \vec v= \begin{pmatrix} 2\\ -1\\5 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= 2\cdot 0+ (-1)\cdot v_2 + 5\cdot v_3=-v_2 + 5v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$v_2= 5v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=5$ und $v_3=1$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec{v}\circ\vec{u}=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot2+5\cdot(-1)+1\cdot5=0+(-5)+5=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 12\\ 3\\4 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= 12\cdot 0+ 3\cdot v_2 + 4\cdot v_3=3v_2 + 4v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$3v_2= -4v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=4$ und $v_3=-3$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 12+ 4\cdot3 + (-3)\cdot 4 =0+12-12=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} -2\\ 3\\1 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= (-2)\cdot 0+ 3\cdot v_2 + 1\cdot v_3=3v_2 + v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$3v_2= -v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=1$ und $v_3=-3$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot (-2)+ 1\cdot3 + 1\cdot (-3) =0+3+(-3)=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 1\\ -2\\-4 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= 1\cdot 0+ (-2)\cdot v_2 + (-4)\cdot v_3=-2v_2 -4v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$2v_2= -4v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=-4$ und $v_3=2$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 1+ (-4)\cdot(-2) + 2\cdot (-4) =0+8+(-8)=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_3=0$ annehmen, wegen $u_3=0$. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 3\\ -4\\0 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} v_1\\ v_2 \\ 0 \end{pmatrix}= 3\cdot v_1+ (-4)\cdot v_2 + 0\cdot 0=3v_1 + (-4)v_2$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$3v_1= 4v_2$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_1=-4$ und $v_2=-3$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=(-4)\cdot 3+ (-3)\cdot(-4) + 0\cdot 0 =(-12)+12+0=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_2=0$ annehmen, wegen $u_2=0$. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 1\\ 0\\-1 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} v_1\\ 0 \\ v_3 \end{pmatrix}= 1\cdot v_1+ 0\cdot 0 + (-1)\cdot v_3=v_1 - v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$3v_1= v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_1=1$ und $v_2=1$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=1\cdot 1+ 0\cdot 0 + 1\cdot (-1) =1-1=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 5\\ 1\\9\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= 5\cdot 0+ 1\cdot v_2 + 9\cdot v_3=v_2 + 9v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$v_2= -9v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=-9$ und $v_3=1$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ -9 \\ 1\end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 5+ (-9)\cdot 1 + 1\cdot 9 =0+(-9)+9=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_2=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} -1\\ 3\\9 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= (-1)\cdot v_1+ 3\cdot 0 + 9\cdot v_3=-v_1 + 9v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$v_1= 9v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_1=9$ und $v_3=1$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} 9 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=9\cdot (-1)+ 3\cdot0 + 1\cdot 9 =(-9)+0+9=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_2=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 4\\ -\frac56\\0{,}4 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} v_1\\ 0 \\ v_3 \end{pmatrix}= 4\cdot v_1+ (-\frac56 )\cdot 0 + 0{,}4\cdot v_3=4v_1 + 0{,}4v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$v_3= -10v_1$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_1=1$ und $v_3=-10$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -10 \end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=1\cdot 4+ (-\frac 56 )\cdot0 + (-10)\cdot 0{,}4 =4+0-4=0$