Berechne die Nullstellen der folgenden Funktion.

%%f(x)=x^3+3x^2-4x%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f(x)=x^3+3x^2-4x%%

Setze die Funktion gleich 0.

%%0=x^3+3x^2-4x%%

%%=x\cdot\left(x^2+3x-4\right)%%

 

%%x_1=0%%

%%(x^2+3x-4)=0%%

Klammer %%0%% setzen.

%%x^2+3x-4=0%%

$$x_{2,3}=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot1\cdot(-4)}}{2\cdot 1}$$

Unter der Wurzel zusammenfassen.

$$=\frac{-3\pm\sqrt{9+16}}{2}=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{2}$$

$$=\frac{-3\pm5}{2}$$

 

%%x_2=\frac{-3+5}2=1%%

1) Fall: %%+%%

%%x_3=\frac{-3-5}2=-4%%

2) Fall: %%-%%

Die Funktion hat 3 Nullstellen und zwar bei %%x_1=0, x_2=1%% und %%x_3=-4%%.

%%f(x)=x^4+2x^3+x^2%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f(x)=x^4+2x^3+x^2%%

Kleinste Potenz von %%x%% ausklammern.

%%=x^2\cdot\left(x^2+2x+1\right)%%

%%x_1=0%%

Doppelte Nullstelle, da %%x^2%% in der Faktordarstellung vorkommt.

%%\left(x^2+2x+1\right)=0%%

Klammer gleich %%0%% setzen.

%%\left(x+1\right)^2=0%%

%%x_2=-1%%

Doppelte Nullstelle.

Die Funktion hat 2 doppelte Nullstellen und zwar bei %%x_1=0%% und %%x_2=-1%%.

%%f(x)=(x^2-25)\cdot(\frac12x+4)%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f(x)=\left(x^2-25\right)\cdot\left(\frac12x+4\right)%%

Funktion gleich %%0%% setzen.

%%0=\left(x^2-25\right)\cdot\left(\frac12x+4\right)%%

Die erste Klammer %%0%% setzen.

%%0=\left(x^2-25\right)%%

%%0=(x-5)\cdot(x+5)%%

%%x_{1,2}=\pm5%%

%%0=\left(\frac12x+4\right)%%

Die zweite Klammer %%0%% setzen.

%%0=\frac12x+4%%

%%\mid-4%%

%%-4=\frac12x%%

%%\mid:\frac12%% oder %%\mid \cdot 2%%

%%-8=x%%

%%x_3=-8%%

Die Funktion hat 3 Nullstellen und zwar bei %%x_1=5, x_2=-5%% und %%x_3=-8%%.

%%f(x)=x^6-x^4%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f(x)=x^6-x^4%%

Funktion gleich %%0%% setzen.

%%0=x^6-x^4%%

Kleinste Potenz von %%x%% ausklammern.

%%0=x^4\cdot\left(x^2-1\right)%%

%%\left(x^2-1\right)=0%%

Klammer %%0%% setzen.

%%(x-1)\cdot(x+1)=0%%

%%x_{2,3}=\pm1%%

Die Funktion hat eine vierfache Nullstelle bei %%x_1=0%% und jeweils eine einfache Nullstelle bei %%x_2=1%% und %%x_3=-1%%.

%%f(x)=x^4-6x^2+5%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f(x)=x^4-6x^2+5%%

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. %%x^2%%) durch einen neuen Term (z.B. %%u%%) ersetzt.

%%u=x^2%%

%%f(u)=u^2-6u+5%%

Funktion gleich %%0%% setzen.

%%0=u^2-6u+5%%

$$u_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot1\cdot5}}{2\cdot1}$$

Unter der Wurzel zusammenfassen.

$$=\frac{6\pm\sqrt{36-20}}{2}=\frac{6\pm\sqrt{16}}{2}$$

$$=\frac{6\pm4}{2}$$

%%u_1=\frac{6+4}{2}=5%%

1) Fall: %%+%%

%%u_2=\frac{6-4}{2}=1%%

2) Fall: %%-%%

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

%%x_{1,2}^2=5%%

%%x_{1,2}=\pm\sqrt5%%

%%x_{3,4}^2=1%%

%%x_{3,4}=\pm\sqrt1=\pm1%%

Die Funktion hat 4 Nullstellen und zwar bei %%x_1=\sqrt5,\;x_2=-\sqrt5,\;x_3=1%% und %%x_4=-1%%.

%%f(x) = (2x-4)(4x^2-\frac{1}{3}x+2)-4x+8%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f(x) = (2x-4)(4x^2-\frac{1}{3}x+2)-4x+8%%

Ersetze den "schlimmen Teil"

Den Term %%(4x^2-\frac{1}{3}x+2)%% bezeichnen wir als "schlimmen Teil". Ersetzen wir ihn also auch in der Vorschrift von %%f%%:

%%f(x) = (2x-4)\cdot%% schlimmer Teil %%-4x+8%%

Was haben die Terme %%(2x-4)%% und%%\ -4x+8%% gemeinsam?

%%-4x+8 = (-2)\cdot(2x-4)%%

Setze dies in die Vorschrift von %%f%% ein

%%f(x) = (2x-4)\cdot%% schlimmer Teil %%\ -2\cdot(2x-4)%%

Klammere %%(2x-4)%% aus

%%f(x) = (2x-4)\cdot%% %%(%%schlimmer Teil %%-\ 2)%%

Setze den "schlimmen Teil" ein

%%f(x) = (2x-4)\cdot (\ (4x^2-\frac{1}{3}x+2)-\ 2)%%

Löse innere Klammer auf

%%f(x) = (2x-4)\cdot (4x^2-\frac{1}{3}x+2-\ 2)%%

%%-2%% und %%+2%% heben sich gegenseitig auf

%%f(x) = (2x-4)\cdot (4x^2-\frac{1}{3}x)%%

%%f%% ist das Produkt von zwei Polynomfunktionen.
Berechne die Nullstellen der Faktoren.

Nullstellen des linken Faktors

Setze %%(2x-4)%% gleich Null

%%2x-4 = 0%%

Bringe die %%4%% auf die andere Seite

%%2x-4 = 0\ \ \ \ \ |+4%%

Teile durch %%2%%

%%2x = 4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:2%%

Erhalte die Nullstelle

%%x_1 = 2%%

Nullstellen des rechten Faktors

Setze %%\ (4x^2-\frac{1}{3}x)%% gleich Null. Da hier kein konstantes Glied auftaucht können wir die kleinste Potenz von %%x%% ausklammern. Wir haben dann: $$\left(4x^2-\frac{1}{3}x\right) = x\cdot\left(4x-\frac{1}{3}\right)$$ Dort lesen wir die Nullstelle %%x_2=0%% ab.
Es fehlen uns nur noch die Nullstellen von %%(4x-\frac{1}{3})%%. Diese berechnen wir indem wir %%4x-\frac{1}{3}%% gleich Null setzen und diese Gleichung nach %%x%% auflösen.

%%4x-\frac{1}{3} = 0%%

Bringe die %%\frac{1}{3}%% auf die andere Seite

%%4x-\frac{1}{3} = 0\ \ \ \ \ \ |+\frac{1}{3}%%

Teile durch 4

%%4x=\frac{1}{3} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:4%%

Erhalte die Nullstelle

%%x_3 = \frac{1}{12}%%

Und die Nullstellen von %%f%% lauten…

Das war etwas mühsam. Doch jetzt haben wir alle Nullstellen von %%f%%. Sie lauten %%x_1=2, x_2=0%% und %%x_3=\frac1{12}%%.

%%f(x)=x^3+2x^2-5x-6%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

%%f(x)=x^3+2x^2-5x-6%%

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. %%1%% in %%f(x)%% ein.

%%f(1)=1^3+2\cdot1^2-5\cdot1-6=-8%%

%%f(1)\neq0%%

Setze z.B. %%-1%% in %%f(x)%% ein.

%%f(-1)=(-1)^3+2\cdot(-1)^2-5\cdot(-1)-6=0%%

Die Funktion %%f(x)%% hat an der Stelle %%x_1=-1%% eine Nullstelle. Da %%f(-1)=0%%, wissen wir, dass %%f(x)%% den dazugehörigen Linearfaktor %%(x+1)%% besitzt.

Führe nun die Polynomdivision %%f(x):(x+1)%% durch.

%%\begin{array}{-}\;\;\;(x^3+2x^2-5x-6):(x+1)=x^2+x-6\\\underline{-(x^3+x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^2-5x\\\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(x^2+x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-6x-6\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-6x-6)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}%%

Die Funktion %%f(x)%% wird dann %%0%%, sobald mindestens einer der Faktoren gleich %%0%% ist. Da die Nullstelle %%x_1=-1%% bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von %%f%% bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich %%0%% setzt.

%%x^2+x-6=0%%

%%\displaystyle x_{2,3}=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-6)}}{2\cdot 1}%%

Unter der Wurzel zusammenfassen.

%%\displaystyle x_{2,3}=\frac{-1\pm{5}}{2}%%

%%x_2=\dfrac{4}{2}=2%%

Fall 1: %%+%%

%%x_3=\dfrac{-6}{2}=-3%%

Fall 2: %%-%%

Die Funktion %%f(x)%% hat drei Nullstellen bei %%x_1=-1%%, %%x_2=2%% und %%x_3=-3%%.