Aufgaben
Bestimmen Sie die Lösungsmengen folgender Gleichungssysteme.
I5y3x=1II x=y+1\begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&5y& -& 3x& =& 1\\\mathrm{II}&  x &=& y& +& 1\end{array}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme

In diesem Fall ist das Einsetzungsverfahren sinnvoll, da die zweite Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist.
%%\begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&5y& -& 3x& =& 1\\\mathrm{II}& x &=& y& +& 1\end{array}%%
Man setzt die Gleichung II\mathrm{II} in I\mathrm{I} ein.
I5y3(y+1)=1\mathrm{I}'\quad5y-3\left(y+1\right)=1
Dann löst man nach yy auf.
%%\begin{array}{rcccc}5y-3y-3&=&1&\\2y-3&=&1&|+3\\2y&=&4&|:2\\y&=&2\end{array}%%
Nun setzt man y=2y=2 in II\mathrm{II} ein und löst nach xx auf.
%%\begin{array}{rcccc}5\cdot2-3x&=&1&|-10\\-3x&=&-9&|:(-3)\\x&=&3\end{array}%%
Man kann nun die Lösungsmenge angeben:
L={(3    2)}L=\left\{\left(3\;\left|\;2\right.\right)\right\}
I4x+5y=32IIy=5x11\begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&4x&+&5y&=&32\\\mathrm{II}&y&=&5x&-&11\end{array}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineares Gleichungssystem


In diesem Fall ist das Einsetzungsverfahren sinnvoll, da die zweite Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist.
%%\begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&4x&+&5y&=&32\\\mathrm{II}&y&=&5x&-&11\end{array}%%
Man setzt die Gleichung II\mathrm{II} in I\mathrm{I} ein.
I4x+5(5x11)=32\mathrm{I}'\quad 4x+5\cdot \left(5x-11\right)=32
Dann löst man nach xx auf.
%%\begin{array}{rccc}4x+25x-55&=&32&\\29x-55&=&32&|+55\\29x&=&87&&|:29\\x&=&3\end{array}%%
Nun setzt man x=3x=3 in II\mathrm{II} ein und löst nach yy auf.
%%\begin{array}{rcl}y&=&5\cdot3-11\\y&=&4\end{array}%%
Man kann nun die Lösungsmenge angeben:
L={(3    4)}L=\left\{\left(3\;\left|\;4\right.\right)\right\}
I15y4x=50IIx=y+7\begin{array}{cccc}\mathrm{I}&15y&-&4x&=&-50\\\mathrm{II}&x&=&y&+&7\end{array}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineares Gleichungssystem

In diesem Fall ist das Einsetzungsverfahren sinnvoll, da die zweite Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist.
%%\begin{array}{cccc}\mathrm{I}&15y&-&4x&=&-50\\\mathrm{II}&x&=&y&+&7\end{array}%%
Man setzt die Gleichung II\mathrm{II} in I\mathrm{I} ein.
I15y4(y+7)=50\mathrm{I}'\quad15y-4\left(y+7\right)=-50
Nun löst man nach xx auf.
%%\begin{array}{rcll}15y-4y-28&=&-50&\\11y-28&=&-50&|+28\\11y&=&-22&|:11\\y&=&-2\end{array}%%
Dann setzt man y=2y=-2 in II\mathrm{II} ein und löst nach xx auf.
x=2+7x=-2+7
x=5x=5
Jetzt kann man die Lösungsmenge angeben:
L={(5    2)}L=\left\{\left(5\;\left|\;-2\right.\right)\right\}
I3x=y+15II2y10=2x\begin{array}{cccc}\mathrm{I}&3x&=&y&+&15\\\mathrm{II}&2y&-&10&=&2x\end{array}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineares Gleichungssystem

Lösung mit Einsetzungsverfahren

In diesem Fall ist das Einsetzungsverfahren sinnvoll, da die zweite Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist.
%%\begin{array}{cccc}\mathrm{I}&3x&=&y&+&15\\\mathrm{II}&2y&-&10&=&2x\end{array}%%
Teile II\mathrm{II} durch 2, um nach der Variablen xx aufzulösen.
II:2IIy5=x\mathrm{II}:2\to\mathrm{II}'\quad y-5= x
Setze II\mathrm{II}' in I\mathrm{I} ein.
II\mathrm{II}' in I\mathrm{I} eingesetzt:
I3(y5)=y+15\mathrm{I}'\quad3\left(y-5\right)=y+15
Löse dann I\mathrm{I}' nach yy auf.
%%\begin{array}{rcll}3y-15&=&y+15&|-y; +15\\2y&=&30&|:2\\y&=&15\end{array}%%
Setze anschließend y=15y=15 in II\mathrm{II}' ein und löse nach xx auf.
y=15y=15 in II\mathrm{II}' eingesetzt:

%%\begin{array}{rcll}15-5&=&x\\10&=&x\end{array}%%
Gib zum Schluss noch die Lösungsmenge an.
L={(10    15)}L=\left\{\left(10\;\left|\;15\right.\right)\right\}


Alternative Lösung: Gleichsetzungsverfahren

Eine weitere Möglichkeit ist, hier das Gleichsetzungsverfahren anzuwenden, da auf der linken Seite von I\mathrm{I} und auf der rechten Seite von II\mathrm{II} fast der gleiche Term steht.
%%\begin{array}{cccc}\mathrm{I}&3x&=&y&+&15\\\mathrm{II}&2y&-&10&=&2x\end{array}%%
Multipliziere II\mathrm{II} mit 32\frac32, um auf der rechten Seite 3x3x zu erzeugen.
%%\begin{array}{cccc}\mathrm{I}&3x&=&y&+&15\\\mathrm{II}'&3y&-&15&=&3x\end{array}%%
Setze die rechte Seite von I\mathrm{I} mit der linken von II\mathrm{II}' gleich und löse nach xx auf.
%%\begin{array}{rcll}3x-15&=&x+5&|-x;\;+15\\2x&=&20&|:2\\x&=&10\end{array}%%
Setze x=10x=10 in I\mathrm{I} (oder auch II\mathrm{II}) ein und löse nach yy auf.
%%\begin{array}{rcll}3\cdot 10&=&y+15&\\30&=&y+15&|-15\\15&=&y\end{array}%%
Gib zum Schluss noch die Lösungsmenge an.
L={(10    15)}L=\left\{\left(10\;\left|\;15\right.\right)\right\}


Alternative Lösung: Kombination Additionsverfahren und Einsetzverfahren

Auch das Additionsverfahren kann hier sinnvoll eingesetzt werden. Dazu stellt man die Gleichungen zunächst so um, dass die passenden Terme untereinander stehen:
%%\begin{array}{cccc}\mathrm{I}&3x&=&y&+&15\\\mathrm{II}&2x&=&2y&-&10\end{array}%%
Subtrahiere die zweite von der ersten Gleichung.
%%\begin{array}{cccc}\mathrm{I}'&x&=&-y&+&25\\\mathrm{II}&2x&=&2y&-&10\end{array}%%
Da die erste Gleichung nun nach xx aufgelöst ist, kann man wieder das Einsetzungsverfahren anwenden.
Setze dazu I\mathrm{I}' in II\mathrm{II} ein und löse nach yy auf.
%%\begin{array}{crcll}\mathrm{II}'&2\cdot(-y+25)&=&2y-10&\\&-2y+50&=&2y-10&|-2y \;\;|-50\\&-4y&=&-60&|:(-4)\\&y&=&15\end{array}%%
Setze y=15y=15 in I\mathrm{I}' ein und löse nach xx auf.
x=15+25x=-15+25
x=10x=10
Gib zum Schluss noch die Lösungsmenge an.
L={(1015)}L=\{(10|15)\}

Bestimme die Lösungsmengen folgender Gleichungssysteme.

%%\begin{array}{l}(I)\;2y=2x-40\\(II)\;3x=10-2y\end{array}%%

Gegeben:   %%\begin{array}{l}(I)\;2y=2x-40\\(II)\;3x=10-2y\end{array}%%

Setze die Gleichung %%(I)%% in %%(II)%% ein.

%%3x=10-\left(2x-40\right)%%

Löse die Klammer auf und löse nach %%y%% auf.

%%3x=10-2x+40%%

%%\left|+2x\right.%%

%%5x=50%%

%%\left|:5\right.%%

%%x=10%%

Um %%y%% zu finden, setze den Wert von %%x%% in %%(I)%% ein.

%%2y=2\cdot10-40%%

%%2y=-20%%

%%\left|:2\right.%%

%%y=-10%%

Gib die Lösungsmenge an, dabei zuerst die Lösung für %%x%%, dann für %%y%%.

%%L=\left\{\left(10\;\left|\;-10\right.\right)\right\}%%

 

 

 

Gegeben:  %%\begin{array}{l}(I)\;2y=2x-40\\(II)\;3x=10-2y\end{array}%%

Forme %%(II)%% um, sodass %%2y%% auf einer Seite alleine steht.  %%\left|+2y\;\;\;\left|-3x\right.\right.%%

%%(II)`\;2y=10-3x%%

Setze die beiden Gleichungen gleich.

%%2x-40=10-3x%%

Löse nach %%x%% auf.  %%\left|+3x\;\;\;\left|+40\right.\right.%%

%%5x=50%%

%%\left|:5\right.%%

%%x=10%%

Um %%y%% zu finden, setze den Wert von %%x%% in %%(II)'%% ein.

%%2y=10-3\cdot10%%

%%2y=-20%%

%%\left|:2\right.%%

%%y=-10%%

Gib die Lösungsmenge an, dabei zuerst die Lösung für %%x%%, dann für %%y%%.

%%L=\left\{\left(10\;\left|\;-10\right.\right)\right\}%%

 

 

Gegeben:  %%\begin{array}{l}(I)\;2y=2x-40\\(II)\;3x=10-2y\end{array}%%

Forme die Gleichungen so um, dass die Zahlen mit den Variablen auf einer Seite und die ohne, auf der anderen stehen.

%%\begin{array}{l}(I)`\;-40=2y-2x\\(II)`-10=-2y-3x\end{array}%%

Wende das Additionsverfahren an.

%%\frac{\begin{array}{l}(I)`\;-40=\;\;\;\;2y-2x\\(II)`-10=-2y-3x\end{array}}{\;\;\;\;\;\;-50=\;\;\;\;\;\;\;\;-5x}%%

%%\left|:-5\right.%%

%%x=10%%

Um %%y%% zu finden, setze den Wert von %%x%% in %%(II)'%% ein.

%%2y=2\cdot10-40%%

%%2y=-20%%

%%\left|:2\right.%%

%%y=-10%%

Gib die Lösungsmenge an, dabei zuerst die Lösung für %%x%%, dann für %%y%%.

%%L=\left\{\left(10\;\left|\;-10\right.\right)\right\}%%

%%\begin{array}{l}(I)\;\;\frac x2-\frac{3y}5=3\\(II)\;\frac x4+y=8\end{array}%%

Gegeben:   %%\begin{array}{l}(I)\;\;\frac x2-\frac{3y}5=3\\(II)\;\frac x4+y=8\end{array}%%

Forme %%(II)%% so um, dass auf der einen Seite am Ende %%\frac x2%% steht.

%%(II)\;\frac x4+y=8%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%(II)`\;\frac x2+2y=16%%

%%\left|-2y\right.%%

%%(II)`\;\frac x2=16-2y%%

Setze %%(II)'%% in %%(I)%% ein.

%%16-2y-\frac{3y}5=3%%

Löse nach %%y%% auf.  %%\left|-16\right.%%

%%-\frac{13y}5=-13%%

%%\left|\cdot5\right.%%

%%-13y=-65%%

%%\left|:-13\right.%%

%%y=5%%

Um %%x%% zu finden, setze den Wert von %%y%% in %%(II)'%% ein.

%%\frac x2=16-2\cdot5%%

%%\frac x2=6%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%x=12%%

Gib die Lösungsmenge an, dabei zuerst die Lösung für %%x%%, dann für %%y%%.

%%L=\left\{\left(12\;\left|\;5\right.\right)\right\}%%

 

 

Gegeben:   %%\begin{array}{l}(I)\;\;\frac x2-\frac{3y}5=3\\(II)\;\frac x4+y=8\end{array}%%

Forme %%(II)%% und %%(I)%% so um, dass am Ende %%\frac x2%% auf einer Seite der jeweiligen Gleichung steht.

%%(II)\;\frac x4+y=8%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%(II)`\;\frac x2+2y=16%%

%%\left|-2y\right.%%

%%(II)`\;\frac x2=16-2y%%

%%(I)=\frac x2-\frac{3y}5=3%%

%%\left|+\frac{3y}5\right.%%

%%(I)`=\frac x2=3+\frac{3y}5%%

Setze %%(I)'%% und %%(II)'%% gleich.

%%16-2y=3+\frac{3y}5%%

Löse nach %%y%% auf. %%\left|-3\;\;\left|+2y\right.\right.%%

%%13=\frac{13y}5%%

%%\left|\cdot5\right.%%

%%13y=65%%

%%\left|:13\right.%%

%%y=5%%

Um %%x%% zu finden, setze den Wert von %%y%% in %%(II)'%% ein.

%%\frac x2=16-2\cdot5%%

%%\frac x2=6%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%x=12%%

Gib die Lösungsmenge an, dabei zuerst die Lösung für %%x%%, dann für %%y%%.

%%L=\left\{\left(12\;\left|\;5\right.\right)\right\}%%

 

 

%%\Rightarrow\;\;%% Das Verfahren ist hier nicht sinnvoll.

%%\begin{array}{l}(I)\;\;\frac{4}{3x+1}=\frac{2}{3y-13}\\(II)\;\frac 2{5x-10}=\frac{4}{7y-6}\end{array}%%

Gegeben:  %%\begin{array}{l}(I)\;\;\frac{4}{3x+1}=\frac{2}{3y-13}\\(II)\;\frac 2{5x-10}=\frac{4}{7y-6}\end{array}%%

Forme %%(I)%% und %%(II)%% so um, dass beide Gleichungen keinen Bruch mehr beinhalten.

%%\begin{array}{l}(I)\;\;\frac{4}{3x+1}=\frac{2}{3y-13}\\(II)\;\frac 2{5x-10}=\frac{4}{7y-6}\end{array}%%

%%\left|\frac{(I)\;\left|\cdot\left(3x+1\right)\;\;\left|\cdot\left(3y-13\right)\right.\right.}{(II)\;\left|\cdot\left(5x-10\right)\;\left|\cdot\left(7y-6\right)\right.\right.}\right.%%

 

%%\begin{array}{l}(I)\;\;4\cdot(3y-13)=2(3x+1)\\(II)\;2\cdot(7y-6)=4(5x-10)\end{array}%%

 

%%\begin{array}{l}(I)\;\;12y-52=6x+2\\(II)\;14y-12=20x-40\end{array}%%

Forme %%(I)%% so um,dass nur noch %%y%% auf einer Seite steht.    %%\left|+52\right.%%

 

%%(\textstyle I\textstyle)\textstyle\;\textstyle\;\textstyle12\textstyle y\textstyle=\textstyle6\textstyle x\textstyle+\textstyle54%%

%%\left|\div12\right.%%

%%(\textstyle I\textstyle)\textstyle\;\textstyle\;\textstyle y\textstyle=\textstyle0\textstyle,\textstyle5\textstyle x\textstyle+\textstyle4\textstyle,\textstyle5%%

Setze %%y%% in %%(II)%% ein.

 

%%(\textstyle I\textstyle I\textstyle)\textstyle\;\textstyle\;\textstyle14\textstyle\left(0,5x+4,5\right)\textstyle-\textstyle12\textstyle=\textstyle20\textstyle x\textstyle-\textstyle40%%

Löse nach %%x%% auf.

%%(\textstyle I\textstyle I\textstyle)\textstyle\;\textstyle\;\textstyle7\textstyle x\textstyle+\textstyle51\textstyle=\textstyle20\textstyle x\textstyle-\textstyle40%%

%%\left|+40\;\left|-7x\right.\right.%%

%%(\textstyle I\textstyle I\textstyle)\textstyle\;\textstyle\;\textstyle91\textstyle=\textstyle13\textstyle x%%

%%\left|\div13\right.%%

%%(\textstyle I\textstyle I\textstyle)\textstyle\;\textstyle\;\textstyle7\textstyle=\textstyle x%%

Setze %%x%% in %%(I)%% ein, um %%y%% zu finden.

 

%%(\textstyle I\textstyle)\textstyle\;\textstyle y\textstyle=\textstyle0\textstyle,\textstyle5\textstyle\cdot\left(7\right)\textstyle+\textstyle4\textstyle,\textstyle5%%

%%(\textstyle I\textstyle)\textstyle\;\textstyle\;\textstyle y\textstyle=\textstyle8%%

Mache die Probe mit der Grundgleichung %%(II)%%.

 

%%(\textstyle I\textstyle I\textstyle)\textstyle\;\textstyle\;\textstyle14\textstyle\cdot\left(8\right)\textstyle-\textstyle12\textstyle=\textstyle100%%

%%(\textstyle I\textstyle I\textstyle)\textstyle\;\textstyle20\textstyle\cdot\left(7\right)\textstyle-\textstyle40\textstyle=\textstyle100%%

Gib die Lösungmenge an. %%L=\left\{\left(x\left|y\right.\right)\right\}%%

%%L=\left\{\left(7\left|8\right.\right)\right\}%%

%%\left(I\right)\frac7x-\frac{12}y=\frac56%%

%%\left(II\right)\frac4y+\frac52=\frac9x%%

Gegeben:

%%\left(I\right)\frac7x-\frac{12}y=\frac56%%

%%\left(II\right)\frac4y+\frac52=\frac9x%%

Forme %%(II)%% so um, dass auf einer Seite alle Variablen und auf der anderen nur Zahlen sind.

%%\left(I\right)\frac7x-\frac{12}y=\frac56%%

%%\left(II\right)\frac4y+\frac52=\frac9x%%

%%\left|(II)\;-\frac9x\;\;\;\;\left|-\frac52\right.\right.%%

%%\left(I\right)\frac7x-\frac{12}y=\frac56%%

%%\left(II\right)\frac4y-\frac9x=-\frac52%%

Jetzt ordne alle Variablen so an, dass diese untereinander stehen.

%%\left(I\right)\frac7x-\frac{12}y=\frac56%%

%%\left(II\right)-\frac9x+\frac4y=-\frac52%%

Nimm die Gleichung %%(II)%% mal %%3%%, um das Additionsverfahren anwenden zu können.

%%\left(I\right)\frac7x-\frac{12}y=\frac56%%

%%\left(II\right)-\frac{27}x+\frac{12}y=-\frac{15}2%%

Wende jetzt das Additionsverfahren an.

%%\left(I\right)\frac7x-\frac{12}y=\frac56%%

%%\left(II\right)-\frac{27}x+\frac{12}y=-\frac{15}2%%

%%\overline{\;\;\;\;\;\;\;\;-\frac{20}x=-\frac{40}6}%%

Bilde die Kehrbrüche.

%%-\frac x{20}=-\frac6{40}%%

%%\left|\cdot\left(-20\right)\right.%%

%%x=3%%

Setze %%x%% in %%(II)%% ein.

%%\left(II\right)\frac4y+\frac52=\frac93%%

%%\left|-\frac52\right.%%

%%\frac4y=\frac12%%

Bilde die Kehrbrüche.

%%\frac y4=2%%

%%\left|\cdot4\right.%%

%%y=8%%

Gib die Lösungsmenge an. %%L=\left\{\left(x\;\left|\;y\right.\right)\right\}%%

%%L=\left\{\left(3\;\left|\;8\right.\right)\right\}%%

%%\Rightarrow\;\;%% Das Verfahren ist hier nicht sinnvoll.

%%\Rightarrow\;\;%% Das Verfahren ist hier nicht sinnvoll.

%%(I)\frac4x+\frac8y=\frac53%%

%%(II)\;\frac2x-\frac4y=-\frac16%%

%%(I)\frac4x+\frac8y=\frac53%%

%%(II)\;\frac2x-\frac4y=-\frac16%%

Nimm %%(II)%% mal %%2%%, um das Additionsverfahren anwenden zu können.

%%(I)\frac4x+\frac8y=\frac53%%

%%(II)\;\frac4x-\frac8y=-\frac13%%

Wende nun das Additionsverfahren an.

%%(I)\frac4x+\frac8y=\frac53%%

%%(II)\;\frac4x-\frac8y=-\frac13%%

%%\overline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac8x=\frac43}%%

%%\frac x8=\frac34%%

%%\left|\cdot8\right.%%

Bilde die Kehrbrüche.

%%x=6%%

Setze %%x%% in %%(I)%% ein.

%%(I)\frac46+\frac8y=\frac53%%

%%\left|-\frac46\right.%%

%%\frac8y=\frac53-\frac46%%

 

%%\frac8y=\frac33%%

%%\frac y8=1%%

%%\left|\cdot8\right.%%

Bilde die Kehrbrüche.

%%y=8%%

Gib die Lösungsmenge an. %%L=\left\{\left(x\;\left|\;y\right.\right)\right\}%%

%%L=\left\{\left(6\;\left|\;8\right.\right)\right\}%%

%%\Rightarrow\;\;%% Das Verfahren ist hier nicht sinnvoll.

%%\Rightarrow\;\;%% Das Verfahren ist hier nicht sinnvoll.

%%(I)\frac3{2x-1}-\frac8{3y+2}=-\frac15%%

%%(II)\frac5{2x-1}+\frac4{3y+2}=\frac8{15}%%

%%(I)\frac3{2x-1}-\frac8{3y+2}=-\frac15%%

%%(II)\frac5{2x-1}+\frac4{3y+2}=\frac8{15}%%

Nimm %%(II)%% mal %%2%%, um das Additionsverfahren anwenden zu können.

%%(I)\frac3{2x-1}-\frac8{3y+2}=-\frac15%%

%%(II)\frac{10}{2x-1}-\frac8{3y+2}=\frac{16}{15}%%

Addiere beide Gleichungen.

%%(I)+(II)\frac3{2x-1}-\frac8{3y+2}+\frac8{3y+2}+\frac{10}{2x-1}=-\frac15+\frac{16}{15}%%

Fasse auf beiden Seiten zusammen und bilde den Hauptnenner.

%%(I)+(II)\frac{13}{2x-1}=-\frac3{15}+\frac{16}{15}%%

%%(I)+(II)\frac{13}{2x-1}=\frac{13}{15}%%

%%(I)+(II)13=\frac{13\left(2x-1\right)}{15}%%

%%\left|\cdot15\right.%%

%%(I)+(II)195=26x-13%%

%%\left|+13\right.%%

%%(I)+(II)208=26x%%

%%\left|:26\right.%%

%%x=8%%

Setze %%x%% in  %%(I)%% ein.

%%(I)\frac3{2\cdot8-1}-\frac8{3y+2}=-\frac15%%

%%(I)\frac3{15}-\frac8{3y+2}=-\frac15%%

%%\left|-\frac3{15}\right.%%     Bilde den Hauptnenner.

%%(I)-\frac8{3y+2}=-\frac3{15}-\frac3{15}%%

Fasse zusammen.

%%(I)-\frac8{3y+2}=-\frac6{15}%%

%%\left|\cdot\left(-1\right)\right.%%

%%(I)\frac8{3y+2}=\frac6{15}%%

%%\left|\cdot\left(3y+2\right)\right.%%

%%(I)8=\frac{6\left(3y+2\right)}{15}%%

%%\left|\cdot\right.15%%

%%(I)120=6\left(3y+2\right)%%

%%\left|:6\right.%%

%%(I)20=3y+2%%

%%\left|-2\right.%%

%%(I)18=3y%%

%%\left|:3\right.%%

%%y=6%%

Gib die Lösungsmenge an, dabei zuerst die Lösung für %%x%%, dann für %%y%%.

%%L=\left\{\left(8\;\left|\;6\right.\right)\right\}%%

%%\Rightarrow\;\;%% Das Verfahren ist hier nicht sinnvoll.

%%\Rightarrow\;\;%% Das Verfahren ist hier nicht sinnvoll.

Löse die Gleichungssysteme.

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}) \quad 3x + 4 = 2y%%

%%\mathrm{II}) \quad 4y = 2x + 10%%

Lineares Gleichungssystem mit Gleichsetzungsverfahren

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}) \quad 3x + 4 = 2y%%

%%\mathrm{II}) \quad 4y = 2x + 10%%

1. Beide Gleichungen nach y auflösen**

Löse beide Gleichungen nach einer Variablen auf. In diesem Fall ist %%y%% schon einzeln, also ist es einfacher nach %%y%% aufzulösen.

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}) \quad 3x + 4 = 2y%%

%%\mid:2%%

%%\mathrm{II}) \quad 4y = 2x + 10%%

%%\mid : 4%%

%%\mathrm{I})' \quad 1,5x + 2 = y%%

%%\mathrm{II})' \quad y = 0,5x + 2,5%%

2. Gleichsetzen

Setze die beiden Gleichungen %%\mathrm{I'}%% und %%\mathrm{II'}%% gleich.

%%\Rightarrow 1,5x + 2 = 0,5x + 2,5%%

3. Gleichung nach x auflösen

%%1,5x + 2 = 0,5x + 2,5%%

%%\mid - 0,5x%%

%%x + 2 = 2,5%%

%%\mid -2%%

%%x = 0,5%%

4. x einsetzen, um y heraus zu finden

Setze %%x%% in %%\mathrm{I'}%% oder %%\mathrm{II'}%% ein.

%%y = 0,5 \cdot 0,5 + 2,5 = 0,25 + 2,5 = 2,75%%

Gib die Lösungsmenge an

%%\displaystyle{L = \left\lbrace \left(0,5 \ ; \ 2,75 \right) \right\rbrace}%%

%%\hphantom{\mathrm{I}} \mathrm{I}) \quad y - 1 = 2x + 3%%

%%\mathrm{II}) \quad 2y - 2 = 5x - 1%%

Lineares Gleichungssystem mit Gleichsetzungsverfahren

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}) \quad y-1 = 2x +3%%

%%\mathrm{II}) \quad 2y-2 = 5x - 1%%

1. Beide Gleichungen nach x auflösen

Löse beide Gleichungen nach einer Variablen auf. Zum Beispiel nach der Variablen %%x%%.

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I})\quad y-1 = 2x +3\\ \hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I})'\quad y-4 = 2x \\ \hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I})''\quad 0,5y-2 = x%%

%%| -3%%

%%| :2%%

%%\mathrm{II}) \quad 2y-2 = 5x - 1\\ \mathrm{II})' \quad 2y-1 = 5x\\ \mathrm{II})'' \quad 0,4y-0,2 = x %%

%%| +1%%

%%| :5%%

2. Gleichsetzen

Setze die beiden Gleichungen %%\mathrm{I''}%% und %%\mathrm{II''}%% gleich.

%%\Rightarrow 0,5y-2 = 0,4y-0,2%%

3. Gleichung nach y auflösen

%%0,5y-2 = 0,4y-0,2%%

%%0,5y = 0,4y+1,8%%

%%0,1y = 1,8%%

%%y = 18%%

%%| +2%%

%%|-0,4y%%

%%| : 0,1%%

4. y einsetzen, um x heraus zu finden

%%y%% in %%\mathrm{I''}%% einsetzen

%%0,5\cdot 18 -2 = x = 9-2 = 7%%

%%L = \{(7,18)\}%%

Gib die Lösungsmenge an

%%\hphantom{\mathrm{I}} \mathrm{I}) \quad 2x + 3y = 4x - 5%%

%%\mathrm{II}) \quad 3x - 2y = 2y + 8%%

Lineares Gleichungssystem mit Gleichsetzungsverfahren

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}) \quad 2x+3y = 4x -5%%

%%\mathrm{II}) \quad 3x-2y = 2y+8%%


1. Beide Gleichungen nach einer Variable auflösen

Löse beispielsweise nach %%y%% auf

%%\begin{array}{lrl} \hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}) & 2x+3y &= &4x -5 \\ \hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I})' & 3y &= &2x -5 \\ \hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I})'' & y &= &\frac{2}{3}x - \frac{5}{3} \end{array}%%

%%| -2x%%

%%| :3%%


%%\begin{array}{lrl} \mathrm{II}) & 3x-2y &= &2y+8 \\ \mathrm{II})' & 3x-8 &= &4y \\ \mathrm{II})'' & \frac{3}{4}x-2 &= &y \end{array}%%

%%|+2y \qquad |-8\\ | :4%%

2. Gleichsetzen

Setze %%\mathrm{I'}%% und %%\mathrm{II'}%% gleich.

%%\begin{array}{lrl}\Rightarrow &\frac{3}{4}x-2 &= &\frac{2}{3}x-\frac{5}{3} \end{array}%%

3. Nach der einen Variable auflösen

Löse nach %%x%% auf.

%%\begin{array}{rrl} \frac{3}{4}x-2 &= &\frac{2}{3}x-\frac{5}{3} \\ \frac{3}{4}x-\frac{2}{3}x-2 &= &-\frac{5}{3} \\ \frac{9}{12}x-\frac{8}{12}x &= &-\frac{5}{3} +2 \\ \frac{1}{12}x &= &\frac{1}{3} \\ x &= &4 \\ \end{array}%%

%%| -\frac{2}{3}x \\ | +2 \phantom{\frac{0}{0}}\\ \phantom{\frac{0}{0}} \\ | \cdot12%%

4. In eine Gleichung einsetzten, um die andere Variable heraus zu finden

Setze %%x%% beispielsweise in %%\mathrm{II'}%% ein.

%%\begin{array}{rl} \frac{3}{4}\cdot (4)-2 &= &y \\ 3-2 &= &y \\ y &= &1 \end{array}%%

%%L = \{(4,1)\}%%

%%4%% wird für %%x%% eingesetzt. %%\quad \\ \quad%%

Lösungsmenge angeben!

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