Aufgaben
Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Jordan-Verfahren.
3x+4y=12x+5y=3\begin{array}{ccccc}3x&+&4y&=&-1\\2x&+&5y&=&-3\end{array}
3x+4y=12x+5y=3\begin{array}{ccccc}3x&+&4y&=&-1\\2x&+&5y&=&-3\end{array}
Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.
(341253)\left(\begin{array}{cc|c}3&4&-1\\2&5&-3\end{array}\right)
Dann dividiert man die erste Zeile durch 3, die zweite durch 2.
I:3,  II:2(1431315232)\xrightarrow{\mathrm{I:3,\; II:2}}\left(\begin{array}{cc|c}1&\frac43&-\frac13\\1&\frac52&-\frac32\end{array}\right)
Man subtrahiert nun die erste von der zweiten Zeile.
III(1431307676)\xrightarrow{\mathrm{II-I}}\left(\begin{array}{cc|c}1&\frac43&-\frac13\\0&\frac76&-\frac76\end{array}\right)
Anschließend teilt man die zweite Zeile durch 76\frac76.
II:76(14313011)\xrightarrow{\mathrm{II:\frac76}}\left(\begin{array}{cc|c}1&\frac43&-\frac13\\0&1&-1\end{array}\right)
Danach subtrahiert man von der ersten Zeile das 43\frac43-fache der zweiten Zeile.
I43II(101011)\xrightarrow{\mathrm{I-\frac43\cdot II}}\left(\begin{array}{cc|c}1&0&1\\0&1&-1\end{array}\right)
Nun kann man die Lösung in der rechten Spalte ablesen:
    x=1  ;  y=1\displaystyle \Rightarrow\;\;x=1 \;;\;y=-1
3x4y=262x+3y=28\begin{array}{ccrcc}3x&-&4y&=&-26\\2x&+&3y&=&28\end{array}
3x4y=262x+3y=28\begin{array}{ccrcc}3x&-&4y&=&-26\\2x&+&3y&=&28\end{array}
Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.
(34262328)\left(\begin{array}{cc|c}3&-4&-26\\2&3&28\end{array}\right)
Dann dividiert man die erste Zeile durch 3 und die zweite durch 2.
I:3,  II:2(14326313214)\xrightarrow{\mathrm{I:3,\;II:2}}\left(\begin{array}{cc|c}1&-\frac43&-\frac{26}3\\1&\frac32&14\end{array}\right)
Man subtrahiert nun die erste von der zweiten Zeile.
III(1432630176683)\xrightarrow{\mathrm{II-I}}\left(\begin{array}{cc|c}1&-\frac43&-\frac{26}3\\0&\frac{17}6&\frac{68}3\end{array}\right)
Anschließend teilt man die zweite Zeile durch 176\frac{17}6.
II:176(143263018)\xrightarrow{\mathrm{II:\frac{17}6}}\left(\begin{array}{cc|c}1&-\frac43&-\frac{26}3\\0&1&8\end{array}\right)
Danach subtrahiert man von der ersten Zeile das 43-\frac43-fache der zweiten Zeile.
I(43)II(102018)\xrightarrow{\mathrm{I-(-\frac43)\cdot II}}\left(\begin{array}{cc|c}1&0&2\\0&1&8\end{array}\right)
Nun kann man in der rechten Spalte die Lösung ablesen:
  x=2  ;  y=8\displaystyle \Rightarrow\;x=2\;;\; y=8
    x+2yz=2x+y+2z=92x+3y3z=1\begin{array}{rcrcrcr}\;\;x&+&2y&-&z&=&2\\x&+&y&+&2z&=&9\\2x&+&3y&-&3z&=&-1\end{array}
    x+2yz=2x+y+2z=92x+3y3z=1\begin{array}{rcrcrcr}\;\;x&+&2y&-&z&=&2\\x&+&y&+&2z&=&9\\2x&+&3y&-&3z&=&-1\end{array}
Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
(121112233291)III2IIII(121013011275)IIIII(1210130042712)\left(\begin{array}{ccr}1&2&-1\\1&1&2\\2&3&-3\end{array}\left|\begin{array}{r}2\\9\\-1\end{array}\right.\right)\overset{\mathrm{II - I}}{\underset{\mathrm{III-2 \cdot I}}\longrightarrow}\left(\begin{array}{crr}1&2&-1\\0&-1&3\\0&-1&-1\end{array}\left|\begin{array}{r}2\\7\\-5\end{array}\right.\right)\overset{\mathrm{III - II}}\longrightarrow\left(\begin{array}{crr}1&2&-1\\0&-1&3\\0&0&-4\end{array}\left|\begin{array}{r}2\\7\\-12\end{array}\right.\right)
III  :  (4)II  :  (1)(121013001273)\overset{\mathrm{II\;:\;(-1)}}{\underset{\mathrm{III\;:\;(-4)}}\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccc}1&2&-1\\0&1&-3\\0&0&1\end{array}\left|\begin{array}{c}2\\-7\\3\end{array}\right.\right)
Aus der dritten Zeile ist ersichtlich:
z=3z=3
Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
y9=7y-9=-7
y=2\Rightarrow y=2
Setze den y- und z-Wert in die erste Zeile ein.
x+43=2x+4-3=2
x=1x=1
x=1;  y=2;  z=3\Rightarrow x=1;\; y=2;\;z=3
Löse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren.
  x3y=42x+y=14x+5y=9\begin{array}{rcrcc}\;x&-&3y&=&4\\2x&+&y&=&1\\4x&+&5y&=&9\end{array}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren



  x3y=42x+y=14x+5y=9\begin{array}{rcrcc}\;x&-&3y&=&4\\2x&+&y&=&1\\4x&+&5y&=&9\end{array}
Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.
(134211459)\left(\begin{array}{cc|c}1&-3&4\\2&1&1\\4&5&9\end{array}\right)
Dann dividiert man die zweite Zeile durch 2 und die dritte durch 4.
II:2,  III:4(1341121215494)\xrightarrow{\mathrm{II:2,\;III:4}}\left(\begin{array}{cc|c}1&-3&4\\1&\frac12&\frac12\\1&\frac54&\frac94\end{array}\right)
Man subtrahiert nun die erste von der zweiten Zeile und von der dritten.
III,  IIII(13407272017474)\xrightarrow{\mathrm{II-I,\;III-I}}\left(\begin{array}{cc|c}1&-3&4\\0&\frac72&-\frac72\\0&\frac{17}4&-\frac74\end{array}\right)
Dividiere anschließen die zweite Zeile durch 72\frac72 und die dritte durch 174\frac{17}4.
II:72,  III:174(13401101717)\xrightarrow{\mathrm{II:\frac72,\;III:\frac{17}4}}\left(\begin{array}{cc|c}1&-3&4\\0&1&-1\\0&1&-\frac7{17}\end{array}\right)
Nun subtrahiert man von der dritten Zeile die zweite.
IIIII(134011001017)\xrightarrow{\mathrm{III-II}}\left(\begin{array}{cc|c}1&-3&4\\0&1&-1\\0&0&\frac{10}{17}\end{array}\right)
Nach dem Kriterium zur Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen folgt schon, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat, denn:
rg(130100)=2<3=rg(134011001017)rg\begin{pmatrix}1&-3\\0&1\\0&0\end{pmatrix}=2<3=rg\left(\begin{array}{cc|c}1&-3&4\\0&1&-1\\0&0&\frac{10}{17}\end{array}\right)
x2y=32x+4y=6  x+2y=3\begin{array}{rcrcr}x&-&2y&=&3\\-2x&+&4y&=&-6\\\;-x&+&2y&=&-3\end{array}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren



        x2y=32x+4y=6  x+2y=3\begin{array}{rcrcr}\;\;\;\;x&-&2y&=&3\\-2x&+&4y&=&-6\\\;-x&+&2y&=&-3\end{array}
Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.
(123246123)\left(\begin{array}{rr|r}1&-2&3\\-2&4&-6\\-1&2&-3\end{array}\right)
Dann dividiert man die zweite Zeile durch -2 und die dritte durch -1.
II:(2),  III:(1)(123123123)\xrightarrow{\mathrm{II:(-2),\;III:(-1)}}\left(\begin{array}{rr|r}1&-2&3\\1&-2&3\\1&-2&3\end{array}\right)
Nun subtrahiert man die erste von der zweiten Zeile und von der dritten.
III,  IIII(123000000)\xrightarrow{\mathrm{II-I,\;III-I}}\left(\begin{array}{rr|r}1&-2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right)
Nach dem Kriterium zur Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen folgt schon, dass das Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar ist, denn:
rg(123000000)=1<3rg\left(\begin{array}{rr|r}1&-2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right)=1<3
Dennoch kann man eine Lösungsmenge angeben:
L={(x,y)R2x2y=3}L=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x-2y=3\}
Bemerkung: Die (unendlich vielen) Lösungen befinden sich auf einer Geraden mit der Gleichung x2y=3y=12x32x-2y=3\Leftrightarrow y=\frac12x-\frac32.
34x76y=189x+14y=3213x+19y=0\begin{array}{cccc}\frac34x&-&\frac76y&=&\frac18\\-9x&+&14y&=&-\frac32\\\frac13x&+&\frac19y&=&0\end{array}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren



34x76y=189x+14y=3213x+19y=0\begin{array}{cccc}\frac34x&-&\frac76y&=&\frac18\\-9x&+&14y&=&-\frac32\\\frac13x&+&\frac19y&=&0\end{array}
Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.
(3476189143213190)\left(\begin{array}{cc|c}\frac34&-\frac76&\frac18\\-9&14&-\frac32\\\frac13&\frac19&0\end{array}\right)
Dann dividiert man die erste Zeile durch 34\frac34, die zweite durch 9-9 und die dritte durch 13\frac13.
I:34,  II:(9)III:13(1149161149161130)\underset{\mathrm{III}:\frac13}{\xrightarrow{\mathrm{I:\frac34,\;II:(-9)}}}\left(\begin{array}{cc|c}1&-\frac{14}{9}&\frac16\\1&-\frac{14}9&\frac16\\1&\frac13&0\end{array}\right)
Nun subtrahiert man von der zweiten und dritten Zeile die erste.
IIIIIII(114916000017916)\underset{\mathrm{III-I}}{\xrightarrow{\mathrm{II-I}}}\left(\begin{array}{cc|c}1&-\frac{14}{9}&\frac16\\0&0&0\\0&\frac{17}9&-\frac16\end{array}\right)
Wegen rg(A)=2=rg(Ab)rg(A)=2=rg(A|b) und zwei ist die Anzahl der Unbekannten, ist das Gleichungssystem nach dem Rangkriterium für die Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen eindeutig lösbar.
Man dividiert nun die dritte Zeile durch 179\frac{17}9.
III:179(11491600001334)\xrightarrow{\mathrm{III:\frac{17}9}}\left(\begin{array}{cc|c}1&-\frac{14}{9}&\frac16\\0&0&0\\0&1&-\frac3{34}\end{array}\right)
Anschließend subtrahiert man von der ersten das 149-\frac{14}9-fache der dritten Zeile.
I(149)III(1013400001334)\xrightarrow{\mathrm{I-(-\frac{14}9)\cdot III}}\left(\begin{array}{cc|c}1&0&\frac{1}{34}\\0&0&0\\0&1&-\frac3{34}\end{array}\right)
Nun kann man die Lösung in der rechten Spalte ablesen:
L={(134;334)}L=\left\{\left(\frac1{34};-\frac3{34}\right)\right\}
6xz+2y=485y3x+3z=493z2x+y=24\begin{array}{rcrcrcr}6x &- & z &+ &2y &=&48\\5y &- &3x &+ &3z &=&49\\3z &- &2x &+ & y &=&24\end{array}
    x2y    =4  yz=1x+y+3z=1\begin{array}{rcrcrcr}\;\;x&-&2y&\;&\;&=&4\\\;&-&y&-&z&=&-1\\-x&+&y&+&3z&=&-1\end{array}
2x+3yz=3x    +2z=9xy    =2\begin{array}{rcrcrcr}2x&+&3y&-&z&=&3\\x&\;&\;&+&2z&=&9\\x&-&y&\;&\;&=&2\end{array}
Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
%%\left(\begin{array}{ccr}2&3&-1\\1&0&2\\1&-1&0\end{array}\left|\begin{array}{c}3\\9\\2\end{array}\right.\right)\overset{\mathrm{1 \cdot I - 2 \cdot II}}{\underset{\mathrm{1 \cdot I -2 \cdot III}}\longrightarrow}\left(\begin{array}{crr}2&3&-1\\0&3&-5\\0&5&-1\end{array}\left|\begin{array}{r}3\\-15\\-1\end{array}\right.\right)\overset{\mathrm{5 \cdot II - 3 \cdot III}}\longrightarrow\left(\begin{array}{crr}2&3&-1\\0&3&-5\\0&0&-22\end{array}\left|\begin{array}{r}3\\-15\\-72\end{array}\right.\right)%%
Aus der letzten Zeile folgt:
22z=72-22z=-72
:(22)\left|{:\left(-22\right)}\right.

z=3611z=\frac{36}{11}
  \;
Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
3y53611=153\cdot y-5\cdot\frac{36}{11}=-15
  \;
3y18011=153\cdot y-\frac{180}{11}=-15
+18011\left|{+\frac{180}{11}}\right.

3y=15113\cdot y=\frac{15}{11}
:3\left|{:3}\right.

y=511y=\frac5{11}
  \;
Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.
2x+35113611=32\cdot x+3\cdot\frac5{11}-\frac{36}{11}=3
  \;
2x+15113611=32\cdot x+\frac{15}{11}-\frac{36}{11}=3
  \;
2x+2111=32\cdot x+-\frac{21}{11}=3
+2111\left|{+\frac{21}{11}}\right.

2x=54112\cdot x=\frac{54}{11}
:2\left|{:2}\right.

x=2711x=\frac{27}{11}


        x=2711;  y=511;  z=3611\displaystyle \;\;\Rightarrow\;\;x=\frac{27}{11};\;y=\frac5{11};\;z=\frac{36}{11}
4x+3y+z=132x5y+3z=17xy2z=1\begin{array}{ccrcrcr}4x&+&3y&+&z&=&13\\2x&-&5y&+&3z&=&1\\7x&-&y&-&2z&=&-1\end{array}
4x+3y+z=132x5y+3z=17xy2z=1\begin{array}{ccrcrcr}4x&+&3y&+&z&=&13\\2x&-&5y&+&3z&=&1\\7x&-&y&-&2z&=&-1\end{array}
Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
%%\left(\begin{array}{crr|r}4&3&1&13\\2&-5&3&1\\7&-1&-2&-1\end{array}\right)\overset{\mathrm{1 \cdot I - 2 \cdot II}}{\underset{\mathrm{7 \cdot I - 4 \cdot III}}\longrightarrow}\left(\begin{array}{crr|r}4&3&1&13\\0&13&-5&11\\0&25&15&95\end{array}\right)\overset{\mathrm{25 \cdot II - 13 \cdot III}}\longrightarrow\left(\begin{array}{crr|r}4&3&1&13\\0&13&-5&11\\0&0&-320&-960\end{array}\right)%%
Aus der dritten Zeile folgt:
320z=960-320z=-960
:(320)\left|:\left(-320\right)\right.

z=3z=3
  \;
Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
13y53=1113y-5\cdot3=11
13y15=1113y-15=11
+15\left|+15\right.

13y=2613y=26
:13\left|{:13}\right.

y=2y=2
  \;
Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Gleichung ein.
4x+32+3=134x+3\cdot2+3=13
  \;
Fasse zusammen.
4x+9=134x+9=13
9\left|-9\right.

4x=44x=4
:4\left|{:4}\right.

x=1x=1
  x=1;  y=2;  z=3\displaystyle \Rightarrow\;x=1;\;y=2;\;z=3
2x+9y14z=393x+6y+2z=36x2+y3+7z=2\begin{array}{rcrcrcr}2x&+&9y&-&14z&=&39\\3x&+&6y&+&2z&=&36\\\frac x2&+&\frac y3&+&7z&=&2\end{array}
2x+9y14z=393x+6y+2z=36x2+y3+7z=2\begin{array}{rcrcrcr}2x&+&9y&-&14z&=&39\\3x&+&6y&+&2z&=&36\\\frac x2&+&\frac y3&+&7z&=&2\end{array}
Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
%%\left(\begin{array}{ccr|c}2&9&-14&39\\3&6&2&36\\ \frac12&\frac13& 7&2\end{array}\right)\overset{\mathrm{3 \cdot I - 2 \cdot II}}{\underset{\mathrm{1 \cdot I - 4 \cdot III}}\longrightarrow} \left(\begin{array}{ccr|c}2&9&-14&39\\0&15&-46&45\\ 0&\frac{23}{3}& -42&31\end{array}\right)\overset{\mathrm{\frac{23}{3} \cdot II - 15 \cdot III}}\longrightarrow \left(\begin{array}{ccr|c}2&9&-14&39\\0&15&-46&45\\ 0&0& \frac{832}{3}&-120\end{array}\right)%%
Aus der dritten Zeile folgt:
8323z=120\frac{832}3z=-120
:8323\left|{:\frac{832}3}\right.

z=45104z=-\frac{45}{104}
  \;
Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
15y46(45104)=4515\cdot y-46\cdot\left(-\frac{45}{104}\right)=45
  \;
15y+103552=4515\cdot y+\frac{1035}{52}=45
103552\left|{-\frac{1035}{52}}\right.

15y=13055215\cdot y=\frac{1305}{52}
:15\left|{:15}\right.

y=8752y=\frac{87}{52}
  \;
Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.
2x+9875214(45104)=392\cdot x+9\cdot\frac{87}{52}-14\cdot\left(-\frac{45}{104}\right)=39
  \;
2x+78352+31552=392\cdot x+\frac{783}{52}+\frac{315}{52}=39
2x+109852=392\cdot x+\frac{1098}{52}=39
109852\left|{-\frac{1098}{52}}\right.

2x=465262\cdot x=\frac{465}{26}
:2\left|{:2}\right.

x=46552x=\frac{465}{52}
    x=46552;  y=8752;  z=45104\displaystyle \Rightarrow\;\;x=\frac{465}{52};\;y=\frac{87}{52};\;z=-\frac{45}{104}
x+yz=44x2y2z=35x+4y+2z=0\begin{array}{rcrcrcr}x&+&y&-&z&=&4\\4x&-&2y&-&2z&=&3\\-5x&+&4y&+&2z&=&0\end{array}
Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
%%\left(\begin{array}{rrr|c}1&1&-1&4\\4&-2&-2&3\\-5&4&2&0\end{array}\right)\overset{\mathrm{4 \cdot I - 1 \cdot II}}{\underset{\mathrm{5 \cdot I + 1 \cdot III}}\longrightarrow}\left(\begin{array}{rrr|c}1&1&-1&4\\0&6&-2&13\\0&9&-3&20\end{array}\right)\overset{\mathrm{9 \cdot I - 1 \cdot III}}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{rrr|c}1&1&-1&4\\0&6&-2&13\\0&0&0&-1\end{array}\right)%%
Aus unterer Zeile folgt:
0z=10\cdot z=-1
    \Rightarrow\;\; Dies ist nicht lösbar!

Löse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren, und gib die Lösung in allgemeiner Form an. (Verwende dabei, falls erforderlich, Parameter in der Lösung).

Zu text-exercise-group 4311:
Nish 2019-09-17 16:49:55+0200
Die Lösungen der Aufgaben sollten nochmals nach den aktuellen Qualitätsrichtlinien für Aufgabenlösungen (http://de.serlo.dev/90400) überarbeitet werden. Das wäre super!

LG,
Nish
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Zu text-exercise-group 4311:
Renate 2017-08-19 17:09:47+0200
AUFGABENSTELLUNG BESSER FORMULIEREN?

Die Formulierung "Löse das Gleichungssystem in Abhängigkeit von der Variablen r mit dem Gaußverfahren." ist möglicherweise irritierend. Denn in den Gleichungssystemen kommt überhaupt kein r vor.
Vielmehr soll, wie mir nach einem Blick in die Lösungen klar wurde, die Lösung der (möglicherweise unterbestimmten) Gleichungssysteme gegebenfalls parameterabhängig angegeben werden.

Was haltet ihr von der Formulierung
"Löse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren, und gib die Lösung in allgemeiner Form an. (Verwende dabei, falls erforderlich, Parameter in der Lösung)." ?

Gruß
Renate
Rebi 2017-08-22 22:01:01+0200
Hallo Renate,
ich finde deine Anmerkung richtig und finde deinen Vorschlag gut.
Liebe Grüße,
Rebi
Renate 2017-08-23 14:51:37+0200
Danke, @Rebi, für die Antwort!
Ich habe den Text jetzt entsprechend abgeändert. :)
Viele Grüße
Renate

%%\begin{array}{ccccc}x&+&2y&\;&\;&=&0\\\;x&+&y&+&z&=&0\\2x&+&3y&+&\;z&=&0\end{array}%%

%%\begin{array}{ccccc}x&+&2y&\;&\;&=&0\\\;x&+&y&+&z&=&0\\2x&+&3y&+&\;z&=&0\end{array}%%

Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.

%%\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&0&0\\1&1&1&0\\2&3&1&0\end{array}\right)\overset{\mathrm{1 \cdot I - 1 \cdot II}}{\underset{\mathrm{2 \cdot I - 1 \cdot III}}\longrightarrow} \left(\begin{array}{ccc|c}1&2&0&0\\0&1&-1&0\\0&1&-1&0\end{array}\right)\overset{\mathrm{1 \cdot II - 1 \cdot III}}\longrightarrow \left(\begin{array}{ccc|c}1&2&0&0\\0&1&-1&0\\0&0&0&0\end{array}\right)%%

Aus der dritten Zeile (Nullzeile) folgt:

%%z=r%%, wobei %%r%% beliebig gewählt werden kann

Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.

%%y-r=0%%

%%\left|{+r}\right.%%

%%y=r%%

%%\;%%

Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.

%%x+2r=0%%

%%\left|{-2r}\right.%%

$$\Rightarrow\;\;x=-2r;\;y=r;\;z=r$$

%%\begin{array}{rcrcrcc}\;\;x&-&2y&+&3z&=&0\\-x&+&2y&-&3z&=&0\\2x&-&4y&+&6z&=&0\end{array}%%

%%\begin{array}{rcrcrcc}\;\;x&-&2y&+&3z&=&0\\-x&+&2y&-&3z&=&0\\2x&-&4y&+&6z&=&0\end{array}%%

Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.

%%\left(\begin{array}{rrrc}1&-2&3&0\\-1&2&-3&0\\2&-4&6&0\end{array}\right)\overset{\mathrm{1 \cdot I + 1 \cdot II}}{\underset{\mathrm{2 \cdot I - 1 \cdot III}}\longrightarrow} \left(\begin{array}{rrrc}1&-2&3&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right)%%

Aus den beiden unteren Zeilen (Nullzeilen) folgt:
Man kann zwei der drei Variablen frei wählen bzw. muss in einer allgemeinen Lösung Parameter dafür schreiben.

Setze zum Beispiel

%%y=r;\;z=s%%

%%\;%%

… und setze diese Parameter-Werte für y und z in die erste Zeile ein.

%%x-2r+3s=0%%

%%x-2r+3s=0%%

%%\left|{+2r-3s}\right.%%

Löse nach %%x%% auf.

%%x=2r-3s%%

$$\Rightarrow\;\;x=2r-3s;\;y=r;\;z=s$$