Gemischte Aufgaben zur Addition und skalaren Multiplikation

1
Gegeben sind die Vektoren $\vec{a} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \end{array})$ , $\vec{b} = (\begin{array}{c} - 5 \\ - 3 \end{array})$ und $\vec{c} = (\begin{array}{c} 3 \\ 9 \end{array})$ . Berechne jeweils den angegebenen Vektor und veranschauliche in den Teilaufgaben a) bis c) durch eine Zeichnung!
1. $\vec{d} = \vec{a} + \vec{b}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Addition von Vektoren
  geg.: $\vec{a} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \end{array})$ , $\vec{b} = (\begin{array}{c} - 5 \\ - 3 \end{array})$
  ges.: $\vec{d} = \vec{a} + \vec{b}$
  Addiere die beiden Vektoren, indem du ihre Koordinaten addierst!
  $\vec{d} = \vec{a} + \vec{b} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} - 5 \\ - 3 \end{array}) =$
  $= (\begin{array}{c} 2 + (- 5) \\ - 2 + (- 3) \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \end{array})$
  Grafische Veranschaulichung
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2. $\vec{e} = \vec{a} - \vec{b}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Subtraktion von Vektoren
  geg.: $\vec{a} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \end{array})$ , $\vec{b} = (\begin{array}{c} - 5 \\ - 3 \end{array})$
  ges.: $\vec{e} = \vec{a} - \vec{b}$
  Subtrahiere die beiden Vektoren, indem du ihre Koordinaten subtrahierst!
  $\vec{e} = \vec{a} - \vec{b} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 5 \\ - 3 \end{array}) =$
  $= (\begin{array}{c} 2 - (- 5) \\ - 2 - (- 3) \end{array}) = (\begin{array}{c} 7 \\ 1 \end{array})$
  Grafische Veranschaulichung
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3. $\vec{f} = - 2 \cdot \vec{a}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarmultiplikation von Vektoren
  geg.: $\vec{a} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \end{array})$
  ges.: $\vec{f} = - 2 \cdot \vec{a}$
  Multipliziere den Vektor mit $- 2$ , indem du seine Koordinaten mit $- 2$ multiplizierst!
  $\vec{f} = - 2 \cdot \vec{a} = - 2 \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \end{array}) =$
  $= (\begin{array}{c} - 2 \cdot 2 \\ - 2 \cdot (- 2) \end{array}) = (\begin{array}{c} - 4 \\ 4 \end{array})$
  Grafische Veranschaulichung
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4. $\vec{g} = \vec{a} - 4 \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektorkette
  geg.: $\vec{a} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \end{array})$ , $\vec{b} = (\begin{array}{c} - 5 \\ - 3 \end{array})$ , $\vec{c} = (\begin{array}{c} 3 \\ 9 \end{array})$
  ges.: $\vec{g} = \vec{a} - 4 \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$
  Um die Vektorkette zu berechnen, setze zunächst die Koordinaten der Vektoren ein!
  $\vec{g} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \end{array}) - 4 \cdot (\begin{array}{c} - 5 \\ - 3 \end{array}) + \frac{2}{3} \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 9 \end{array})$
  Führe nun die Rechenoperationen komponentenweise durch und vereinfache anschließend!
  $\vec{g} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \cdot (- 5) \\ 4 \cdot (- 3) \end{array}) + (\begin{array}{c} \frac{2}{3} \cdot 3 \\ \frac{2}{3} \cdot 9 \end{array}) =$
  $= (\begin{array}{c} 2 - (- 20) + 2 \\ - 2 - (- 12) + 6 \end{array}) = (\begin{array}{c} 24 \\ 16 \end{array})$
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2
Berechne den Lösungsvektor.
1. $(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren, Skalare Multiplikation
  $(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \end{array})$
  Multipliziere zuerst den Vektor komponentenweise mit dem Skalar.
  $= (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot (- 2) \end{array}) + (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \end{array})$
  Addiere die Vektoren komponentenweise.
  $= (\begin{array}{c} 1 + 2 \cdot 1 + 0 \\ 1 + 2 \cdot (- 2) + 6 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array})$
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2. $4 \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren, Skalare Multiplikation
  $\begin{array}{l} 4 \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \end{array}) \end{array}$
  Multipliziere zuerst den ersten Vektor mit dem Skalar.
  $\begin{array}{l} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 8 \end{array}) + (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \end{array}) \end{array}$
  Addiere und subtrahiere die Vektoren komponentenweise.
  $= (\begin{array}{c} 0 + 6 - 0 \\ - 8 + 0 - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 \\ - 11 \end{array})$
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3. $5 \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 3 \end{array}) - 3 \cdot (\begin{array}{c} - 9 \\ 2 \end{array}) + 4 \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ - 2,25 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren, Skalare Multiplikation
  $5 \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 3 \end{array}) - 3 \cdot (\begin{array}{c} - 9 \\ 2 \end{array}) + 4 \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ - 2,25 \end{array})$
  Multipliziere die Vektoren komponentenweise mit den Skalaren.
  $= (\begin{array}{c} 5 \cdot (- 3) \\ 5 \cdot 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \cdot (- 9) \\ 3 \cdot 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} 4 \cdot (- 3) \\ 4 \cdot (- 2,25) \end{array})$
  Addiere bzw. subtrahiere komponentenweise.
  $= (\begin{array}{c} 5 \cdot (- 3) - 3 \cdot (- 9) + 4 \cdot (- 3) \\ 5 \cdot 3 - 3 \cdot 2 + 4 \cdot (- 2,25) \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array})$
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3
Gegeben seien die Punkte $A (- 4 | 0)$ , $B (2 | - 1)$ und $C (5 | 2)$ . Vervollständige zu einem Parallelogramm ABCD und berechne neben den Koordinaten von D auch die Lage des Schnittpunktes M seiner Diagonalen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektorkette
Zeichnerische Bestimmung von D
Trage A, B und C ein. Übertrage den Vektor $\vec{B C}$ an A.
D liegt also bei $D (- 1 | 3)$
Da es sich nicht immer um so schöne Zahlwerte handelt, ist es gut, auch die rechnerische Bestimmung zu können.
Rechnerische Bestimmung
Bestimme zuerst $\vec{a} = \vec{A B}$ oder $\vec{b} = \vec{B C}$ .
$\vec{a} = (\begin{array}{cc} 2 - & (- 4) \\ - 1 & - 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 \\ - 1 \end{array})$
$\vec{b} = (\begin{array}{cc} 5 & - 2 \\ 2 - & (- 1) \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array})$
Da $A B C D$ ein Parallelogramm ist, gilt außerdem $\vec{A B} = \vec{D C}$ und $\vec{B C} = \vec{A D}$ .
Die Koordinaten von D berechnest du, indem du eine Vektorkette bildest. Beginne diese mit dem Ortsvektor $\vec{A}$ von A.
$\vec{D} = \vec{A} + \vec{B C} = (\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \end{array})$
Somit ist $D (- 1 | 3)$ .
Lage des Diagonalenschnittpuntkts
In einem Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen. Du suchst also den Mittelpunkt M der Strecke $A C$ oder $B D$ .
Bilde wieder eine Vektorkette:
$\vec{M} = \vec{A} + \frac{1}{2} \cdot \vec{A C} = (\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \end{array}) + \frac{1}{2} \cdot (\begin{array}{c} 5 - (- 4) \\ 2 - 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \end{array}) + \frac{1}{2} \cdot (\begin{array}{c} 9 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0,5 \\ 1 \end{array})$
Die Diagonalen schneiden sich also in $M (0,5 | 1)$
Löse durch Zeichnen oder mithilfe einer Vektorkette.
Nutze dabei, dass die Seiten $B C$ und $A D$ parallel und gleich lang sind.
Außerdem halbieren sich die Diagonalen im Parallelogramm.
4
Gegeben sind die Vektoren $\vec{a} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \end{array})$ , $\vec{b} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4,5 \end{array})$ und $\vec{c} = (\begin{array}{c} 5 \\ 0 \end{array})$ . Berechne jeweils den Vektor, der sich durch die angegebene Vektorkette ergibt!
1. $\vec{d} = 7 \vec{a} + 2 \vec{b} - \frac{2}{5} \vec{c}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren
  $\vec{d} = 7 \vec{a} + 2 \vec{b} - \frac{2}{5} \vec{c} = 7 \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 4,5 \end{array}) - \frac{2}{5} \cdot (\begin{array}{c} 5 \\ 0 \end{array}) =$
  $= (\begin{array}{c} 7 \cdot (- 1) \\ 7 \cdot 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot 4,5 \end{array}) - (\begin{array}{c} \frac{2}{5} \cdot 5 \\ \frac{2}{5} \cdot 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 7 + 6 - 2 \\ 14 + 9 - 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ 23 \end{array})$
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2. $\vec{e} = \frac{2}{3} \vec{b} - 4 \vec{a}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren
  $\vec{e} = \frac{2}{3} \vec{b} - 4 \vec{a} = \frac{2}{3} \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 4,5 \end{array}) - 4 \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \end{array}) =$
  $= (\begin{array}{c} \frac{2}{3} \cdot 3 \\ \frac{2}{3} \cdot 4,5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \cdot (- 1) \\ 4 \cdot 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 - (- 4) \\ 3 - 8 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 \\ - 5 \end{array})$
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