Aufgaben

Gegeben sind die Vektoren %%\vec a = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}%%, %%\vec b = \begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix}%% und %%\vec c = \begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix}%%. Berechne jeweils den angegebenen Vektor und veranschauliche in den Teilaufgaben a) bis c) durch eine Zeichnung!

$$\vec d = \vec a + \vec b$$

Addition von Vektoren

geg.: %%\vec a = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}%%, %%\vec b = \begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix}%%

ges.: %%\vec d = \vec a + \vec b%%

Addiere die beiden Vektoren, indem du ihre Koordinaten addierst!

$$\vec d = \vec a + \vec b = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix} =$$ $$=\begin{pmatrix}2+(-5)\\-2+(-3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\-5\end{pmatrix}$$

Grafische Veranschaulichung

Addition der Vektoren

$$\vec e = \vec a - \vec b$$

Subtraktion von Vektoren

geg.: %%\vec a = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}%%, %%\vec b = \begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix}%%

ges.: %%\vec e = \vec a - \vec b%%

Subtrahiere die beiden Vektoren, indem du ihre Koordinaten subtrahierst!

$$\vec e = \vec a - \vec b = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix} =$$ $$=\begin{pmatrix}2-(-5)\\-2-(-3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7\\1\end{pmatrix}$$

Grafische Veranschaulichung

Subtraktion von Vektoren

$$\vec f = -2\cdot\vec a$$

Skalarmultiplikation von Vektoren

geg.: %%\vec a = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}%%

ges.: %%\vec f = -2\cdot\vec a%%

Multipliziere den Vektor mit %%-2%%, indem du seine Koordinaten mit %%-2%% multiplizierst!

$$\vec f = -2\cdot\vec a = -2\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix} =$$ $$=\begin{pmatrix}-2\cdot2\\-2\cdot(-2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\4\end{pmatrix}$$

Grafische Veranschaulichung

Skalarmultiplikation

$$\vec g = \vec a - 4\vec b + \frac{2}{3}\vec c$$

Vektorkette

geg.: %%\vec a = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}%%, %%\vec b = \begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix}%%, %%\vec c = \begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix}%%

ges.: %%\vec g = \vec a - 4\vec b + \frac{2}{3}\vec c%%

Um die Vektorkette zu berechnen, setze zunächst die Koordinaten der Vektoren ein!

%%\vec g = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix} - 4\cdot\begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix} + \frac{2}{3}\cdot\begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix}%%

Führe nun die Rechenoperationen komponentenweise durch und vereinfache anschließend!

$$\vec g = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4\cdot(-5)\\4\cdot(-3)\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{2}{3}\cdot3\\\frac{2}{3}\cdot9\end{pmatrix} =$$ $$= \begin{pmatrix}2-(-20)+2\\-2-(-12)+6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}24\\16\end{pmatrix}$$

Berechne den Lösungsvektor.
(11)+2(12)+(06)\displaystyle \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix}
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren, Skalare Multiplikation
(11)+2(12)+(06)\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix}
Multipliziere zuerst den Vektor komponentenweise mit dem Skalar.
=(11)+(212(2))+(06)=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\cdot1\\2\cdot(-2)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix}
Addiere die Vektoren komponentenweise.
=(1+21+01+2(2)+6)=(33)=\begin{pmatrix}1+2\cdot1+0\\1+2\cdot(-2)+6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}
  • Schritt 0: Vektor (11)\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} einzeichnen.
  • Schritt 1: Vektor (12)\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix} einzeichnen.
  • Schritt 2: Vektor (12)\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix} um den Faktor 2 strecken.
  • Schritt 3: Vektoren (11)\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} und 2(12)2\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix} addieren
  • Schritt 4: Vektor (06)\begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix} addieren.
  • Schritt 5: Lösungsvektor (33)\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix} einzeichnen.
Bewege den Schieberegler im Applet um die Schritte anzeigen zu lassen.
GeoGebra
4(02)+(60)(03)4\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren, Skalare Multiplikation
4(02)+(60)(03)4\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}\\
Multipliziere zuerst den ersten Vektor mit dem Skalar.
=(08)+(60)(03)=\begin{pmatrix}0\\-8\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}\\
Addiere und subtrahiere die Vektoren komponentenweise.
=(0+608+03)=(611)=\begin{pmatrix}0+6-0\\-8+0-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\-11\end{pmatrix}
  • Schritt 1: Strecke den ersten Vektor (rot) mit einem Skalar.
  • Schritt 2: Addiere den zweiten Vektor(orange).
  • Schritt 3: Subtrahiere den dritten Vektor(grün) und erhalte den Lösungsvektor (türkis).
Bewege den Schieberegler im Applet um die Schritte anzeigen zu lassen.
GeoGebra
5(33)3(92)+4(32,25)5\cdot\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix}-3\cdot\begin{pmatrix}-9\\2\end{pmatrix}+4\cdot\begin{pmatrix}-3\\-2,25\end{pmatrix}
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren, Skalare Multiplikation
5(33)3(92)+4(32,25)5\cdot\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix}-3\cdot\begin{pmatrix}-9\\2\end{pmatrix}+4\cdot\begin{pmatrix}-3\\-2,25\end{pmatrix}
Multipliziere die Vektoren komponentenweise mit den Skalaren.
=(5(3)53)(3(9)32)+(4(3)4(2,25))=\begin{pmatrix}5\cdot(-3)\\5\cdot3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\cdot(-9)\\3\cdot2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\cdot(-3)\\4\cdot(-2,25)\end{pmatrix}
Addiere bzw. subtrahiere komponentenweise.
=(5(3)3(9)+4(3)5332+4(2,25))=(00)=\begin{pmatrix}5\cdot(-3)-3\cdot(-9)+4\cdot(-3)\\5\cdot3-3\cdot2+4\cdot(-2,25)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}
  • Schritt 0: Vektor (33)\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix} einzeichnen.
  • Schritt 1: Vektor (33)\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix} um den Faktor 5 strecken.
  • Schritt 2: Vektor (92)\begin{pmatrix}-9\\2\end{pmatrix} einzeichnen.
  • Schritt 3: Vektor (92)\begin{pmatrix}-9\\2\end{pmatrix} u den Faktor 3 strecken.
  • Schritt 4: Vektor 3(92)3\cdot\begin{pmatrix}-9\\2\end{pmatrix} von 5(33)5\cdot\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix} subtrahieren.
  • Schritt 5: Vektor (32,25)\begin{pmatrix}-3\\-2,25\end{pmatrix} einzeichnen.
  • Schritt 6: Vektor (32,25)\begin{pmatrix}-3\\-2,25\end{pmatrix} um den Faktor 4 strecken.
  • Schritt 7: Die beiden übrigen Vektoren werden addiert.
  • Schritt 8: Übrig bleibt der 0-Vektor.
Bewege den Schieberegler im Applet um die Schritte anzeigen zu lassen.
GeoGebra

Gegeben seien die Punkte %%A(-4|0)%%, %%B(2|-1)%% und %%C(5|2)%%. Vervollständige zu einem Parallelogramm und berechne die Lage des Schnittpunktes seiner Diagonalen.

Bestimme zuerst %%\vec a = \overrightarrow{AB}%% und %%\vec b = \overrightarrow{BC}%%.

%%\vec a = \pmatrix{2-(-4)\\-1-0} = \pmatrix{6\\-1}%%

%%\vec b = \pmatrix{5-2\\2-(-1)} = \pmatrix{3\\3}%%

Da %%ABCD%% ein Parallelogramm ist, gilt außerdem %%\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}%% und %%\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}%%.

Gegeben sind die Vektoren a=(12)\vec a=\begin{pmatrix} -1\\2\end{pmatrix} , b=(34,5)\vec b=\begin{pmatrix}3\\4{,}5 \end{pmatrix} und c=(50)\vec c=\begin{pmatrix}5\\0 \end{pmatrix}. Berechne jeweils den Vektor, der sich durch die angegebene Vektorkette ergibt!
d=7a+2b25c\displaystyle \vec d=7\vec a+2\vec b-\frac{2}{5}\vec c

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren

d=7a+2b25c=7(12)+2(34,5)25(50)=\displaystyle \vec d=7\vec a+2\vec b-\frac{2}{5}\vec c=7\cdot\begin{pmatrix} -1\\2\end{pmatrix} +2\cdot\begin{pmatrix} 3\\4{,}5\end{pmatrix} -\frac{2}{5}\cdot\begin{pmatrix} 5\\0\end{pmatrix}=
=(7(1)72)+(2324,5)(255250)=(7+6214+90)=(323)\displaystyle =\begin{pmatrix}7\cdot(-1)\\7\cdot2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}2\cdot3\\2\cdot4{,}5 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} \dfrac{2}{5}\cdot5\\\dfrac{2}{5}\cdot0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -7+6-2\\14+9-0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\23 \end{pmatrix}
e=23b4a\displaystyle \vec e=\frac{2}{3}\vec b-4\vec a

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren

e=23b4a=23(34,5)4(12)=\displaystyle \vec e=\frac{2}{3}\vec b-4\vec a=\frac{2}{3}\cdot\begin{pmatrix} 3\\4,5\end{pmatrix}-4\cdot\begin{pmatrix} -1\\2\end{pmatrix}=
=(233234,5)(4(1)42)=(2(4)38)=(65)\displaystyle =\begin{pmatrix}\dfrac{2}{3}\cdot3\\\dfrac{2}{3}\cdot4,5 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4\cdot(-1)\\4\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2-(-4)\\3-8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\-5 \end{pmatrix}
Kommentieren Kommentare