Aufgaben

Bestimme bei folgenden Funktionen die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

%%f(x)=(x-2)^2-1%%

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Um die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen zu berechnen, wird eine der Variablen in der Funktion (%%x%%, %%y%%) gleich %%0%% gesetzt.

Schnittpunkte mit der x-Achse

Die Schnittpunkte mit der %%x%%-Achse sind die Nullstellen der Funktion. Man erhält sie, indem man die Funktion bzw. den %%y%%-Wert gleich Null setzt.

%%\begin{array}{rcl} f(x)=(x-2)^2-1&=&0&|+1\\ (x-2)^2&=&1&|\sqrt{}\\ x_{1,2}-2&=&\pm1&|+2\\ x_{1,2}&=&\pm1+2\\ x_{1}&=&1\\ x_{2}&=&3 \end{array}%%

Die Schnittpunkte mit der %%x%%-Achse liegen bei %%A(1\vert0)%% und %%B(3\vert0)%%.

Schnittpunkt mit der y-Achse

Um den Schnittpunkt mit der %%y%%-Achse zu ermitteln, muss für den %%x%%-Wert %%0%% eingesetzt werden.

%%f(0)=(0-2)^2-1%%

%%\phantom{f(0)}=(-2)^2-1%%

%%\phantom{f(0)}=4-1=3%%

Der Schnittpunkt mit der %%y%%-Achse liegt bei %%C(0\vert3)%%.

%%\;%%

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

%%g(x)=x^3+2x^2-3x%%

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Um die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen zu berechnen, wird eine der Variablen in der Funktion (%%x%%, %%y%%) gleich %%0%% gesetzt.

Schnittpunkte mit der x-Achse

Die Schnittpunkte mit der %%x%%-Achse sind die Nullstellen der Funktion. Man erhält sie, indem man die Funktion bzw. den %%y%%-Wert gleich Null setzt.

%%g(x)=x^3+2x^2-3x=0%%

Kleinste Potenz von %%x%% ausklammern.

%%0=x\cdot(x^2+2x-3)%%

Ein Produkt wir dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.

%%\Rightarrow x_1=0%%

Setze die Klammer gleich Null.

%%x^2+2x-3=0%%

%%\displaystyle x_{2,3}=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot 1}%%

%%\displaystyle \phantom{x_{2,3}}=\frac{-2\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{-2\pm4}{2}%%

%%x_2=\dfrac{2}{2}=1%%

%%x_3=\dfrac{-6}{2}=-3%%

Die Schnittpunkte mit der %%x%%-Achse liegen bei %%A(-3\vert0)%% und %%B(0\vert0)%% und %%C(1\vert0)%%.

Schnittpunkt mit der y-Achse

Um den Schnittpunkt mit der %%y%%-Achse zu ermitteln, muss für den %%x%%-Wert %%0%% eingesetzt werden.

%%g(0)=0^3+2\cdot0^2-3\cdot0%%

%%\phantom{g(0)}=0+0-0=0%%

Der Schnittpunkt mit der %%y%%-Achse liegt bei %%B(0\vert0)%%.

%%\;%%

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

%%h(x)=0{,}5x^4-8%%

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Um die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen zu berechnen, wird eine der Variablen in der Funktion (%%x%%, %%y%%) gleich %%0%% gesetzt.

Schnittpunkte mit der x-Achse

Die Schnittpunkte mit der %%x%%-Achse sind die Nullstellen der Funktion. Man erhält sie, indem man die Funktion bzw. den %%y%%-Wert gleich Null setzt.

%%\begin{array}{rcl} h(x)=0{,}5x^4-8&=&0&|+8\\ 0{,}5x^4&=&8&|\cdot2\\ x^4&=&16&|\sqrt[4]{}\\ x_{1,2}&=&\pm2\\ x_{1}&=&-2\\ x_{2}&=&2 \end{array}%%

Die Schnittpunkte mit der %%x%%-Achse liegen bei %%A(-2\vert0)%% und %%B(2\vert0)%%.

Schnittpunkt mit der y-Achse

Um den Schnittpunkt mit der %%y%%-Achse zu ermitteln, muss für den %%x%%-Wert %%0%% eingesetzt werden.

%%h(0)=0{,}5\cdot0^4-8%%

%%\phantom{h(0)}=0-8=-8%%

Der Schnittpunkt mit der %%y%%-Achse liegt bei %%C(0\vert-8)%%.

%%\;%%

Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen

Gegeben ist die Gleichung der Geraden   g:  y=x+3g:\;y=-x+3   
und die Gleichung der ganzrationalen Funktion   f:  y=0,5x33x2+4,5xf:\;y=0,5x^3-3x^2+4,5x.

Berechne die Schnittpunkte von GfG_f und GgG_g .

Errate dazu eine Lösung der Schnittgleichung und berechne die weiteren Lösungen mit Hilfe der Polynomdivision.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision

Schnittpunkte berechnen

Die beiden Funktionen haben einen Schnittpunkt, wenn sie für einen gleichen x-Wert denselben y-Wert haben. Setze also die Funktionen ff und gg gleich. Die Funktionen lauten:
f(x)=g(x)0,5x33x2+4,5x=x+33+x0,5x33x2+5,5x3=0\begin{array}{rcl} &&&f(x)&=&g(x)&\\0,5x^3&-3x^2&+4,5x& &=&-x+3&|-3+x\\ 0,5x^3&-3x^2&+5,5x&-3&=&0\end{array}
Für Polynome vom Grad 3 musst du eine Nullstelle erraten. Alle weiteren Nullstellen lassen sich dann mit einer Polynomdivision ermitteln.
Eine Nullstelle von 0,5x33x2+5,5x30,5x^3-3x^2+5,5x-3 ist x1=1x_1=1, denn
0,513312+5,513=0,53+5,53=0\displaystyle 0,5 \cdot 1^3-3 \cdot 1^2+5,5 \cdot 1-3 = 0,5 - 3 + 5,5 -3 =0
Um den ersten Schnittpunkt von ff und gg zu bestimmen, kannst du nun x1=1x_1=1 entweder in ff oder gg einsetzen.
Einsetzen in ff ergibt:
f(1)=1+3=2f\left(1\right)=-1+3=2
Der Schnittpunkt ist dann: S1=(12)S_1=\left(1\vert2\right)

Polynomdivision

Wende nun die Polynomdivision auf folgende Gleichung an:
0,5x33x2+5,5x3=00,5x^3-3x^2+5,5x-3=0
      (0,5x33x2  +5,5x3):(x1)=0,5x22,5x+3(0,5x30,5x2)                                              2,5x2+5,5x                    (2,5x2+2,5x    )                                                                3x3                                                      (3x3)                                                                                0\begin{array}{l}\;\;\;(0,5x^3-3x^2\;+5,5x-3):(x-1)=0,5x^2-2,5x+3\\\underline{-(0,5x^3-0,5x^2)\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-2,5x^2+5,5x\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-2,5x^2+2,5x\;\;)\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3x-3\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(3x-3)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}

Verbleibende Nullstellen berechnen

Von 0,5x22,5x+30,5x^2-2,5x+3 kannst du nun noch die beiden Nullstellen bestimmen. Nutze hierfür beispielsweise die Mitternachtsformel.
0,5x22,5x+3=00,5x^2-2,5x+3=0
x2,3=2,5±(2,5)240,53(20,5)=2,5±0,251=2,5±0,51\begin{array}{rcl}\Rightarrow x_{2,3}&=&\frac{2,5\pm\sqrt{(-2,5)^2-4\cdot0,5\cdot3}}{(2\cdot0,5)}\\&=&\frac{2,5\pm\sqrt{0,25}}1\\&=&\frac{2,5\pm0,5}1\end{array}
x2=2,5+0,51=31=3x_2=\frac{2,5+0,5}1=\frac31=3
x3=2,50,51=21=2x_3=\frac{2,5-0,5}1=\frac21=2
Die Nullstellen von 0,5x33x2+5,5x30,5x^3-3x^2+5,5x-3 sind also:
x1=1;      x2=3;      x3=2;\displaystyle x_1=1;\;\;\; x_2=3;\;\;\; x_3=2;

weitere Schnittpunkte berechnen

Den zweiten und dritten Schnittpunkt von ff und gg, kannst du nun bestimmen, indem du x2=3x_2=3 und x3=2x_3=2 in ff oder gg einsetzt.
Einsetzen in ff ergibt:
  • f(3)=3+3=0S2(30)f(3)=-3 +3 = 0 \Rightarrow S_2(3|0)
  • f(2)=2+3=1S3(21)f(2)=-2+3=1 \Rightarrow S_3(2|1)

Schnittpunkte

Die Schnittpunkte der beiden Funktionen liegen bei S1(12)S_1(1\vert2), S2(30)S_2(3\vert0) und S3(21)S_3(2\vert1).
Die beiden Funktionen f(x)=3x32x2xf(x)=3x^3-2x^2-x und g(x)=4x35x2+3x12g(x)=4x^3-5x^2+3x-12 sind gegeben. Es gilt xRx \in \mathbb {R}. Berechne die Schnittpunkte von f(x)f(x) und g(x)g(x).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte von Funktionen

Tipp: Schneiden sich zwei Funktionen haben ihre xx- und yy-Koordinaten an diesem Punkt denselben Wert. Folglich muss man beide Funktionen gleichsetzen und auf eine Seite bringen, um nach xx aufzulösen.
Zuerst wird ein Schnittpunkt berechnet. Mit diesem werden anschließend die weiteren Schnittpunkte mithilfe der Polynomdivision berechnet.
f(x)=3x32x2xf(x)=3x^3-2x^2-x
g(x)=4x35x2+3x12g(x)=4x^3-5x^2+3x-12

%%\begin{array}{rcl}4x^3-5x^2+3x-12&=&3x^3-2x^2-x&|-3x^3\\x^3-5x^2+3x-12&=&-2x^2-x&|+2x^2\\x^3-3x^2+3x-12&=&-x&|+x\end{array}%%
x33x2+4x12=0x^3-3x^2+4x-12 = 0
x1=3x_1=3                         \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; durch Taschenrechner
Funktionen gleichsetzten und nach 00 auflösen.
Die so enstandene Funktion mit table im Taschenrechner berechnen und eine passende Nullstelle heraussuchen.
%%\begin{array}{l}\;\;\;(x^3-3x^2+4x-12):(x-3)=x^2+4\\\underline{-(x^3-3x^2)}\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\;\;+4x-12\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(4x-12)}\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\\\end{array}%%
Neue Funktion: x2+4x^2+4
Mit dieser Nullstelle wird die Polynomdivision gemacht.
%%\begin{array}{rcl}x^2+4&=&0&|-4\\x^2&=&-4&|\sqrt{}\\x&=&\sqrt{-4}\end{array}%%
Die neue Funktion nach xx auflösen.
Da nun unter der Wurzel eine negative Zahl steht, gibt es keine weiteren Lösungen und damit auch keine weiteren xx-Koordinaten der Schnittpunkte.
Die vorher ausgerechnete xx-Koordinate 33 ist somit die einzige Koordinate.
\Rightarrow Es gibt nur einen Schnittpunkt

Setze den xx-Wert in eine der beiden Funktionen f(x)f(x) oder g(x)g(x) ein.
y=f(3)=3332323y=f(3)=3\cdot3^3-2\cdot3^2-3
y=f(3)=81183\phantom{y=f(3)}=81-18-3
y=f(3)=60\phantom{y=f(3)}=60

Der Schnittpunkt der beiden Funktionen liegt bei A(360)A(3\vert60) .
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