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Aufgaben

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Teilaufgabe a

Die gegebene Situation lässt sich modellieren mit einer Bernoulli-Kette.

Eine Bernoulli-Kette der Länge %%n%% besteht aus dem %%n%%-maligen, voneinander unabhängigen Wiederholen eines Bernoulli-Experimentes.

Einzelnes Bernoulli-Experiment:

Auswahl eines Spenders

Lege nun fest, welches Ergebnis "Treffer" sein soll.

Treffer:

Der Spender hat Blutgruppe A.

Die Trefferwahrscheinlichkeit %%p%% kann man jetzt aus den in der Tabelle in der Aufgabenstellung angegebenen Werten berechnen.

Trefferwahrscheinlichkeit %%p%%:

%%p=37\% + 6\% =43\% =0,43%%

Bernoulli-Kette der Länge %%n=25%%.

%%X=%% Anzahl der Treffer

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, genau 10 Personen mit Blutgruppe A unter den 25 Spendern zu haben.

%%P(X=10)=?%%

Das kannst du mit Hilfe der Formel der Binomialverteilung berechnen:

%%P(X=10)=B(25;0,43;10)=\begin{pmatrix}25\\10\end{pmatrix}\cdot0,43^{10}\cdot\left(1-0,43\right)^{25-10}%%

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Teilaufgabe a)

Das Ereignis %%S\cup T%% beschreibt das Ereignis, dass entweder %%S%%, %%T%% oder beider Ereignisse eintreten. Gesucht ist das Gegenereignis %%\overline{S\cup T}%%: Es dürfen also weder %%S%% noch %%T%% und auch nicht beide Ereignisse eintreten, d.h. es ist identisch mit dem Ereignis %%\overline S \cap \overline T%% welches beschreibt, dass bei einem neugeborenen Kind keine Stoffwechselstörung vorliegt und das Testergebnis dies auch richtig angibt.

Teilaufgabe b)

Die folgenden Werte können der Angabe entnommen werden:

%%P(S)=0,074\%=0,00074%%

%%P_{S}(T)=99,5\%=0,995%%

%%P_{\overline S}(T)=0,78\%=0,0078%%

Damit kannst du die fehlenden Werte berechnen und die Ergebnisse in ein Baumdiagramm eintragen.

%%P(\overline S)=1-P(S)=1-0,00074=0,9926%%

%%P_{S}(\overline T)=1-P_{S}(T)=1-0,995=0,005%%

%%P_{\overline S}(\overline T)=1-P_{\overline S}(T)=1-0,0078=0,9922%%

Baumdiagramm fehlt

Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten %%P(T)%% und %%P_T(S)%%. Berechne die erste über das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit.

%%P(T)=P(S)\cdot P_S(T) + P(\overline S) \cdot P_{\overline S}(T)=%%

Setze die Werte ein.

%%=0,00074 \cdot 0,995 + 0,926 \cdot 0,0078 = 8,48 \cdot 10^{-3} \approx 0,85\% %%

Die zweite Wahrscheinlichkeit kann über den Satz von Bayes berechnet werden.

%%P_T(S)=\dfrac{P_S(T)\cdot P(S)}{P(T)}=%%

Setze die Werte ein.

%%=\dfrac{0,00074\cdot 0,995}{0,0085}\approx 0,087 = 8,7\% %%

%%P_T(S)%% ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein positiv getestetes Kind auch tatsächlich eine Stoffwechselstörung hat. Da diese mit 8,7% äußerst gering ist, ist der Test kein guter Indikator um zu bestimmen, ob bei einem Kind eine Stoffwechselstörung vorliegt.

Teilaufgabe c)

Um die Aufgabe zu lösen, wird die Wahrscheinlichkeit benötigt, dass bei einem Kind eine Stoffwechselstörung vorliegt und das Testergebnis negativ ist (d.h. gesucht ist %%P(S\cap \overline T)%%). Berechne die Wahrscheinlichkeit:

%%P(S \cap \overline T)=P(S) \cdot P_{S}(\overline T)=%%

Setze die Werte ein.

%%=0,00074\cdot 0,005 = 3,7 \cdot 10^{-6}%%

Multipliziere die Wahrscheinlichkeit mit der Anzahl der getesteten Kinder (1 Million = %%10^6%%).

%%3,7 \cdot 10^{-6} \cdot 10^6 = 3,7%%

Es ist also zu erwarten, dass es bei einer Million getesteter Kinder im Mittel 3,7 Kinder gibt, bei denen eine Stoffwechselstörung vorliegt und das Testergebnis negativ ist.

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Teilaufgabe a)

Es handelt sich um ein Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge (da nur die Farbe der Kugeln entscheidend ist). Insgesamt befinden sich in der Urne 9 Kugeln, wobei 3 gezogen werden und der Gewinnfall eintritt, falls alle 3 Kugeln die gleiche Farbe haben. Berechne die Wahrscheinlichkeit durch Teilen der günstigen Fälle durch alle Fälle (Laplace-Wahrscheinlichkeit).

%%\mathrm{P(Gewinn)}=\underbrace{\dfrac{\binom{3}{3}}{\binom{9}{3}}}_{\mathrm{"rot"}}+\underbrace{\dfrac{\binom{3}{3}}{\binom{9}{3}}}_{\mathrm{"grün"}}+\underbrace{\dfrac{\binom{3}{3}}{\binom{9}{3}}}_{\mathrm{"blau"}}=%%

Rechne aus.

%%=\frac{1}{84}+\frac{1}{84}+\frac{1}{84}=\frac{3}{84}=\frac{1}{28}%%

Teilaufgabe b)

Aus Teilaufgabe a) ist bekannt, dass der Spieler mit einer Wahrscheinlichkeit von %%\frac{1}{28}%% gewinnt, d.h. er verliert mit Wahrscheinlichkeit %%\frac{27}{28}%%. Falls er verliert, gewinnt das Krankenhaus 2€ (den Einsatz des Spielers) für die Ausstattung des Spielbereichs. Falls er gewinnt, muss das Krankenhaus einen Betrag (den Gewinn) an den Spieler zahlen, bezeichne diesen Betrag mit %%G%%. Stelle nun die Gleichung für den Erwartungswert (EW) auf.

%%EW= 2\cdot \frac{27}{28} - G \cdot \frac{1}{28}%%

Setze den Erwartungswert gleich 1,25.

%%1,25= 2\cdot \frac{27}{28} - G \cdot \frac{1}{28}%%

%%\mid + G \cdot \frac{1}{28}-1,25%%

Schreibe 1,25 als Bruch (%%\frac54%%).

%%G\cdot \frac{1}{28}=\frac{54}{28}-\frac54%%

Erweitere den Bruch %%\frac54%%.

%%G\cdot \frac{1}{28}=\frac{54}{28}-\frac{35}{28}%%

%%G\cdot \frac{1}{28}=\frac{19}{28}%%

%%\Rightarrow G=19%%

Im Falle eines Gewinns müssen also 19 € ausbezahlt werden um im Mittel 1,25 € für die Ausstattung des Spielbereichs zu erhalten.

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