Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Aufgaben

Die Trinkwassertalsperre Frauenau im Bayerischen Wald versorgt Menschen in Niederbayern und in der Oberpfalz mit Wasser. Der Stausee hat eine Oberfläche von %%900.000 \;\mathrm{m}^2%% und fasst %%18%% Millionen Kubikmeter Wasser.

a) Berechnen Sie die durchschnittliche Tiefe des Stausees. (1 BE)

b) In einem Jahr wurden dem Stausee etwa 16 Millionen Kubikmeter Wasser entnommen. Damit konnte der Wasserverbrauch der 200 000 Einwohner des Versorgungsgebiets in diesem Jahr zu 80 % abgedeckt werden. Berechnen Sie, wie viel Kubikmeter Wasser in diesem Jahr pro Einwohner des Versorgungsgebiets im Durchschnitt verbraucht wurden. (2 BE)

c) Schätzen Sie mithilfe der abgebildeten Karte den Flächen- inhalt des schraffiert markierten Versorgungsgebiets in Quadratkilometern ab. (2 BE)

Hinweis: Bei einer Abschätzung muss grundsätzlich der Lösungsweg nachvollziehbar sein.

Teilaufgabe a)

Für diese Aufgabe musst Du die Volumenformel kennen.

%%V=l\cdot b\cdot h%%

%%h=V:(l\cdot b)%%

Das Volumen und die Fläche des Stausees sind bekannt.

%%h=18.000.000m³:900.000m²=20m%%

Die durchschnittliche Tiefe des Stausees beträgt %%20m%%.

Teilaufgabe b)

Für diese Aufgabe musst die Prozentrechnung beherrschen.

Berechne zunächst wieviel Kubikmeter Wasser jeder der 200.000 Einwohner durchnschnittlich erhalten hat, wenn 16 Millionen Kubikmeter Wasser aus dem Stausee entnommen wurden.

%%16.000.000m³:200.000=80m³%%

%%80m³%% Wasser decken %%80\% %% des Jahresverbrauchs pro Einwohner ab.

%%80m³\widehat=80\% %%

|%%:80%%

%%1m³\widehat{=}1\% %%

%%\cdot100%%

%%100m³\widehat=100\% %%

In diesem Jahr wurden durchschnittlich %%100m³%% Wasser pro Einwohner verbraucht.

Eine Parabel ist gegeben durch die Gleichung %%\;y=\frac{1}{2}x^2+2x-6%%.

a) Geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der Parabel mit der y-Achse an. (1 BE)

b) Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse. (2 BE)

Eine Parabel ist gegeben durch die Gleichung %%y=\frac12x²+2x-6%%.

Für diese Aufgabe musst Du wissen, wie man die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen berechnet.

Teilaufgabe a)

Für die Berechnung des Schnittpunktes der Parabel mit der y-Achse setzte %%x=0%%.

=> %%y=-6%%

Der Schnittpunkt der Parabel mit der y-Achse liegt bei %%y=-6%%.

Teilaufgabe b)

Für die Berechnung des Schnittpunktes der Parabel mit der x-Achse setzte %%y=0%% .

%%0=\frac12x²+2x-6%%

%%0=(\frac16x+1)\cdot(3x-6)%%

Das Produkt aus den beiden Klammern wird %%0%%, wenn der Wert mindestens einer der beiden Klammern %%0%% ist.

%%=>x=-6%% oder %%x=2%%

Die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse liegen bei %%x=-6%% und %%x=2%%.

Zu einer vorgegebenen Strecke [EG] sollen Punkte F und H so konstruiert werden, dass sie gemeinsam mit den Punkten E und G ein Quadrat mit Diagonale [EG] bilden. Beschreiben Sie in Kurzform die dazu nötigen Konstruktionsschritte. (2 BE)

Hinweis: In der geforderten Kurzform müsste z. B. die Konstruktion einer Parallelen nicht beschrieben werden.

Für diese Aufgabe musst Du die Mittelsenkrechte einer Strecke konstruieren können.

Um die Punkte F und H konstruieren zu können, konstruiere zunächst die Mittelsenkrechte zu der Strecke [EG] wie folgt: Zeichne einen Kreis um E, dessen Radius größer als der halbe Abstand von E zu G ist. Zeichne einen gleich großen Kreis um G. Markiere die beiden Schnittpunkte. Die Mittelsenkrechte zur Strecke [EG] ist die Gerade, die durch diese beiden Schnittpunkte geht. Bezeiche den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit der Stecke [EG] mit M.

Zeichne nun einen Kreis um M, der durch die Punkte E und G geht. Dieser Kreis schneidet die Mittelsenkrechte der Strecke [EG] in den beiden Punkten F und H.

Die beiden Schnittpunkte dieses Kreises um M mit der Mittelsenkrechten der Strecke [EG] sind die gesuchten Punkte F und H. Die Punkte E,F,G und H sind die Eckpunkte eines Quadrates und die Strecke [EG] ist eine der beiden Diagonalen dieses Quadrates.

Jakob behauptet, dass %%\sqrt {a^2}=a%% für alle reellen Zahlen a gilt. Nehmen Sie zu Jakobs Be- hauptung Stellung. Veranschaulichen Sie Ihre Stellungnahme durch ein Zahlenbeispiel. (1 BE)

Für diese Aufgabe musst Du wissen was man unter einer Quadratwurzel versteht und wie eine Funktion definiert ist.

Die Quadratwurzel einer Zahl a ist diejenige Zahl, die man quadrieren muss, um a zu erhalten.

Beispiel:

%%a=9%%

%%\sqrt9=3%%

Allerdings gilt auch

%%(-3)\cdot(-3)=9%%.

Da die Quadratwurzel aber auch als eine Funktion definiert werden kann, muss jedem Wert aus dem Definitionsbereich genau eine Zahl aus der Wertemenge zugeordnet werden.

Um einen eindeutigen Ausdruck zu erhalten wird die Quadratwurzel einer Zahl immer als eine positive reelle Zahl oder 0 definiert.

Vereinfachen Sie den Term so weit wie möglich. (2 BE) $$\frac{z^3-z}{z^2-z}=$$

Für eine annähernd punktförmige Lichtquelle wird die Intensität y des Lichts im Abstand x von der Lichtquelle durch die Funktionsgleichung %%\;y=\frac{2}{x^2}%% beschrieben.

a) Einer der abgebildeten Graphen kann zur Funktionsgleichung %%\;y=\frac{2}{x^2}%% gehören. Kreuzen Sie an. (1 BE)

b) Bestimmen Sie die zu %%x=a%% und %%x=5a%% gehörenden y-Werte. Geben Sie mithilfe Ihrer Ergebnisse an, um wie viel Prozent die Intensität des Lichts abnimmt, wenn man den Abstand zur Lichtquelle verfünffacht. (2 BE)

c) Lösen Sie die Gleichung %%\;y=\frac{2}{x^2}%% nach x auf. (1 BE)

Gegeben ist die Funktionsgleichung %%y=\frac2{x²}%%

Teilaufgabe a)

Um zu erkennen, welcher Graph zu der Funktionsgleichung gehört, setze in die Gleichung verschiedene Werte für %%x%% ein und berrechne %%y%%.

%%x=1%% => %%y=\frac2{1²}=\frac21=1%%

%%x=2%% => %%y=\frac2{2²}=\frac24=\frac12%%

%%x=3%% => %%y=\frac2{3³}=\frac29%%

Zu der Funktionsgleichung %%y=\frac2{x²}%% gehört der 3. Graph von links.

Teilaufgabe b)

Bestimmen Sie die zu %%x=a%% und %%x=5a%% gehörenden y-Werte

Gleichung 1) %%x=a%% => %%y=\frac2{a²}%%

Gleichung 2) %%x=5a%% => %%y=\frac2{(5a)²}=\frac2{25a²}%%

Berechne nun um wie viel Prozent die Intensität des Lichts abnimmt, wenn man den Abstand zur Lichtquelle verfünffacht.

Für diese Aufgabe musst Du die Prozentrechnung mittels Dreisatz anwenden.

Setzte zum Beispiel in beiden Gleichungen %%a=1%%

Gleichung 1) %%a=1%% => %%y=2%%

Gleichung 2) %%a=1%% => %%y=\frac2{25}%%

%%2\widehat=100\% %%

%%\frac2{100}\widehat=1\% %%

%%\frac2{25}:\frac2{100}=\frac{100}{25}=4%%

Die Intensität des Lichtes nimmt um %%4\% %% ab, wenn man den Abstand zur Lichtquelle verfünfacht.

Teilaufgabe c)

Löse %%y=\frac2{x²}%% nach x auf.

%%y=\frac2{x²}%%

|%%\cdot x²%%

%%y\cdot x²=2%%

|%%:y%%

%%x²=\frac2y%%

ziehe die Wurzel

%%x=\sqrt{\frac2y}%%

Wenn man die Gleichung %%y=\frac2{x²}%% nach %%x%% auflöst, ergibt sich %%x=\sqrt{\frac2y}%%.

Das abgebildete Verkehrsschild gibt am Fuß einer Bergstraße deren Steigung an. Hannah sagt: „Wenn man auf dieser Straße 20 m zurücklegt, so gewinnt man dabei 5 m an Höhe.“ Ist Hannahs Behauptung richtig? Begründen Sie Ihre Antwort anhand einer geeigneten Skizze. (2 BE)

Verkehrschild als Steigung interpretieren.

Für diese Aufgabe musst du wissen, wie man die Steigung in Prozentzahlen berechnet.

Welche Aussage beinhaltet das folgende Verkehrsschild?

Steigung

Man berechnet die Steigung, indem man den Anteil der zurückgelegten Höhe im Vergleich zu der zurückgelegten Strecke im Waagrechten ausmacht, also

senkrecht : waagrecht

%%25:100=0,25=25\% %%

Das heißt: Bei einer Steigung von %%25\% %% gewinnt man %%25m%% an Höhe, wenn man %%100m%% in der Waagrechten zurücklegt.

In unserem Fall sieht die Straße so aus:

Überprüfe Hannahs Aussage:

Hannah will bei einer Steigung von %%25\% %% %%5m%% an Höhe gewinnen. Berechne nun, welche Strecke sie in der Waagrechten zurücklegen muss.

$$0,25=\frac{5m}{x}$$

$$\vert \cdot x$$

$$0,25 \cdot x=5m$$

$$\vert :0,25$$

$$x=20m$$

Die Aussage von Hannah ist falsch. Wenn sie %%5m%% an Höhe gewinnen will, muss sie %%20m%% in der Waagrechten zurücklegen. Die Katheten des Dreiecks haben also eine Länge von %%5m%% und %%20m%%. Hannah behauptet allerdings, dass sie %%20m%% auf der Straße zurücklegt. Die Straße ist jedoch die Hypotenuse. Da die Hypotenuse die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ist, ist sie auf jeden Fall länger als die Katheten. Die Hypotenuse ist also länger als %%20m%%.

Hannah muss mehr als %%20m%% auf der Straße zurücklegen, um %%5m%% an Höhe zu gewinnen.

Zusatzbemerkung

Mit dem Satz des Pythagoras kannst du die genaue Strecke berechnen, die Hannah auf der Straße zurücklegen muss, um %%5m%% an Höhe zu gewinnen. (Danach wird in dieser Aufgabe aber gar nicht gefragt.)

Kommentieren Kommentare