Wie man im Artikel Lagebeziehungen von zwei Geraden nachlesen kann, können zwei Geraden entweder

Zwei parallele Geraden

Ob zwei Geraden parallel sind, lässt sich so feststellen: Artikel zum Thema

Da der Abstand zwischen beiden Geraden immer gleich groß ist, wählt man auf einer der beiden Geraden einen Punkt aus und berechnet den Abstand zwischen der anderen Gerade und diesem Punkt. Artikel zum Thema

Zwei windschiefe Geraden

Ob zwei Geraden windschief sind, lässt sich so feststellen: Artikel zum Thema

Berechnung mit Formel

Seien %%\mathbf g\boldsymbol\;\boldsymbol:\boldsymbol\;\boldsymbol\;\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf x}\boldsymbol\;\boldsymbol=\boldsymbol\;\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf a}\boldsymbol+\boldsymbol\;\mathbf\lambda\boldsymbol\;\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf b}%%   und  %%\mathbf h\boldsymbol\;\boldsymbol:\boldsymbol\;\boldsymbol\;\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf x}\boldsymbol\;\boldsymbol=\boldsymbol\;\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf c}\boldsymbol+\boldsymbol\;\mathbf\lambda\boldsymbol\;\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf d}%% windschiefe Geraden  und  %%\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf n}\boldsymbol\;\boldsymbol=\boldsymbol\;\boldsymbol\;\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf b}\boldsymbol\;\boldsymbol\times\boldsymbol\;\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf d}%% , das bedeutet, dass %%\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf n}\boldsymbol\;%% senkrecht auf beiden Richtungsvektoren steht, dann ist der Abstand d zwischen den Geraden:

%%\mathbf d\boldsymbol=\boldsymbol\;\frac{\left|\boldsymbol(\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf a}\boldsymbol\;\boldsymbol-\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf c}\boldsymbol\;\boldsymbol)\boldsymbol\circ\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n}\right|}{\left|\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\mathbf n}\right|}%%

Nachweis, dass Formel korrekt

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7784_aJ3tv4MF0v.xml

Als erstes erstellt man eine Ebene , die die Richtungsvektoren der beiden Geraden und einen Aufpunkt enthält.

%%\mathbf G\boldsymbol\;\boldsymbol:\boldsymbol\;\boldsymbol\;\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf x}\boldsymbol\;\boldsymbol=\boldsymbol\;\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf a}\boldsymbol+\boldsymbol\;\mathbf\lambda\boldsymbol\;\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf b}\boldsymbol+\boldsymbol\;\mathbf\mu\boldsymbol\;\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf d}%%

Danach berechnet man den Abstand des anderen Aufpunktes %%\boldsymbol\;\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf c}%% zur Ebene G.

Dazu verwenden wir die Volumenformel für der Pyramide.

%%\mathbf V\boldsymbol=\boldsymbol\;\frac{\mathbf1}{\mathbf3}\boldsymbol\;\mathbf g\boldsymbol\;\mathbf h\boldsymbol\;%% aus der Mittelstufe

%%\mathbf V\boldsymbol=\boldsymbol\;\left|\frac{\mathbf1}{\mathbf6}\boldsymbol\;\mathbf d\mathbf e\mathbf t\boldsymbol(\boldsymbol\;\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf a}\boldsymbol-\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf c}\boldsymbol,\boldsymbol\;\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf b}\boldsymbol,\boldsymbol\;\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf d}\boldsymbol\;\boldsymbol)\right|%% aus der Analytischen Geometrie

gleichsetzen nach h auflösen:

%%\boldsymbol h\boldsymbol=\boldsymbol\;\boldsymbol\;\frac{\left|\frac{\mathbf1}{\mathbf6}\boldsymbol\;\mathbf d\mathbf e\mathbf t\boldsymbol(\boldsymbol\;\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf a}\boldsymbol-\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf c}\boldsymbol,\boldsymbol\;\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf b}\boldsymbol,\boldsymbol\;\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf d}\boldsymbol\;\boldsymbol)\right|\boldsymbol\;}{{\displaystyle\frac{\mathbf1}{\mathbf3}}{\displaystyle\frac{\mathbf1}{\mathbf2}}\boldsymbol\;\left|\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf b}\boldsymbol\times\boldsymbol\;\boldsymbol\;\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf d}\right|}\boldsymbol\;\boldsymbol=\boldsymbol\;\frac{\left|\boldsymbol\;\boldsymbol(\boldsymbol\;\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf a}\boldsymbol-\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf c}\boldsymbol)\boldsymbol\circ\boldsymbol\;\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf b}\boldsymbol\times\boldsymbol\;\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf d}\boldsymbol\;\right|\boldsymbol\;}{\left|\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf b}\boldsymbol\times\boldsymbol\;\boldsymbol\;\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf d}\right|}\boldsymbol\;%%

Schrittweise Berechung

Schematisches Vorgehen:

Als erstes erstellt man eine Ebene , die die Richtungsvektoren der beiden Geraden und einen Aufpunkt enthält.

%%\mathbf G\boldsymbol\;\boldsymbol:\boldsymbol\;\boldsymbol\;\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf x}\boldsymbol\;\boldsymbol=\boldsymbol\;\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf a}\boldsymbol+\boldsymbol\;\mathbf\lambda\boldsymbol\;\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf b}\boldsymbol+\boldsymbol\;\mathbf\mu\boldsymbol\;\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf d}%%

Danach berechnet man den Abstand des anderen Aufpunktes %%\boldsymbol\;\overset{\boldsymbol\rightharpoonup}{\mathbf c}%% zur Ebene G. Artikel zum Thema

Berechnung anhand eines Beispiels:

Weitere Beispielaufgaben
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