Aufgaben

In einer Klinik wird eine Statistik über das Geschlecht von Neugeborenen geführt. Gib jeweils den Ergebnisraum und die Mächtigkeit an, und zwar bei:

Münze und Würfel werden gleichzeitig geworfen. Wie lautet ein Ergebnisraum? Wie viele Elemente enthält er?

%%\Omega=\left\{\left(K;1\right)\left(K;2\right)\left(K;3\right)\left(K;4\right)\left(K;5\right)\left(K;6\right)\left(Z;1\right)\left(Z;2\right)\left(Z;3\right)\left(Z;4\right)\left(Z;4\right)\left(Z;5\right)\left(Z;6\right)\right\}%%

%%\Rightarrow\;2\cdot 6=%% 12 Elemente, da es für einen Münzwurf 2 und bei einem Würfel 6 mögliche Ergebnisse gibt.

Der Gewinner bei einer Lotterie darf aus 5 DVDs (a,b,c,d,e) 3 auswählen. Gib den Ergebnisraum und seine Mächtigkeit an, wenn

beliebig ausgewählt werden darf.

Gib alle möglichen Kombinationen an, wie man 3 aus den 5 DVD's auswählen kann.

%%\Omega=\left\{\left\{a,b,c\right\};\left\{a,b,d\right\};\left\{a,b,e\right\};\left\{a,c,d\right\};\left\{a,c,e\right\};\left\{a,d,e\right\};\left\{b,c,e\right\};\left\{b,c,d\right\};\left\{b,d,e\right\};\left\{c,d,e\right\}\right\}%%   

Zähle die Anzahl der Möglichkeiten um die Mächtigkeit zu bestimmen.

%%\left|\Omega\right|=\left|\left\{\left\{a,b,c\right\};\left\{a,b,d\right\};\left\{a,b,e\right\};\left\{a,c,d\right\};\left\{a,c,e\right\};\left\{a,d,e\right\};\left\{b,c,e\right\};\left\{b,c,d\right\};\left\{b,d,e\right\};\left\{c,d,e\right\}\right\}\right|=10%%

grundsätzlich e gewählt werden muss.

Gib alle Möglichkeiten an, wie man 3 aus den 5 DVD's auswählen kann, wobei e immer dabei sein muss.

%%\Omega=\left\{\left\{e,a,b\right\};\left\{e,a,c\right\};\left\{e,a,d\right\};\left\{e,b,c\right\};\left\{e,b,d\right\};\left\{e,c,d\right\}\right\}%%

Zähle die Möglichkeiten und gib so die Mächtigkeit an.

%%\left|\Omega\right|=\left|\left\{\left\{e,a,b\right\};\left\{e,a,c\right\};\left\{e,a,d\right\};\left\{e,b,c\right\};\left\{e,b,d\right\};\left\{e,c,d\right\}\right\}\right|=6%%

bei Wahl von a stets auch b gewählt werden muss.

Gib alle möglichen Kombinationen an, wie man 3 aus den 5 DVD's auswählen kann, wobei wenn a gewählt wird, auch b gewählt werden muss. Schreibe also sämtliche Möglichkeiten heraus und streiche jene, welche a jedoch nicht b enthalten.

%%\Omega_{Gesamt}=\left\{\left\{a,b,c\right\};\left\{a,b,d\right\};\left\{a,b,e\right\};\underline{\left\{a,c,d\right\}};\underline{\left\{a,c,e\right\}};\underline{\left\{a,d,e\right\}};\left\{b,c,e\right\};\left\{b,c,d\right\};\left\{b,d,e\right\};\left\{c,d,e\right\}\right\}%%

%%\Rightarrow\;\;\Omega=\left\{\left\{a,b,c\right\};\left\{a,b,d\right\};\left\{a,b,e\right\};\left\{b,c,e\right\};\left\{b,c,d\right\};\left\{b,d,e\right\};\left\{c,d,e\right\}\right\}%%

Gibt die Mächtigkeit an, indem du die Möglichkeiten zählst.

%%\left|\Omega\right|=\left|\left\{\left\{a,b,c\right\};\left\{a,b,d\right\};\left\{a,b,e\right\};\left\{b,c,d\right\};\left\{b,c,e\right\};\left\{b,d,e\right\};\left\{c,d,e\right\}\right\}\right|=7%%

In einer Urne liegen vier mit 1 bis 4 nummerierte Kugeln. Man zieht zwei Kugeln auf einmal. Gib einen Ergebnisraum an!

Beim Werfen zweier Würfel bietet jemand die folgende Menge als Ergebnisraum an. Entscheide, ob wirklich ein Ergebnisraum vorliegt und gib die Mächtigkeit an.

%%\operatorname{\Omega} = \{ (1,1); (1,2); (1,3);\;…\;;(6,5); (6,6)\} = \{{(a,b)\mid 1 \leq a, b  \leq6} \}%%

Ja, es handelt sich um einen Ergebnisraum, wenn die beiden Würfel unterscheidbar sind, da die Reihenfolge bei der Auflistung eine Rolle spielt.

Die Mächtigkeit ist 36, da jede Zahl eines Würfels mit allen anderen Zahlen des zweiten Würfels kombiniert werden kann. Die 6 Zahlen des ersten Würfels multipliziert mit den Möglichkeiten des zweiten Würfels ergibt 36.

%%\operatorname{\Omega} = \{(1,1); (1,2); (1,3); \;…\;;(5,6); (6,6)\} = \{(a,b) \mid 1 \leq a \leq b \leq 6 \}%%

Ja, dieser Ergebnisraum ist möglich, da die Würfel der Angabe nach nicht unterschieden werden. Die zweite Zahl in dem Tupel muss in jedem Fall größer oder gleich der ersten Zahl sein, deshalb können 2 Ziffern nicht in unterschiedlicher Reihenfolge angegeben werden.

Die Mächtigkeit ist 21, da die erste Ziffer mit 6 anderen des zweiten Würfels kombiniert werden kann. Die Zweite nur noch mit 5, die Dritte nur noch mit 4 usw.. 

%%\Rightarrow%% 6+5+4+3+2+1=21

3 Münzen werden gleichzeitig geworfen. Gib einen geeigneten Ergebnisraum und seine Mächtigkeit an. Die drei Münzen sollen dabei nicht unterschieden werden.

Da die drei Münzen nicht unterschieden werden sollen, kommt es auf die Reihenfolge der K bzw. Z nicht an, d.h. man braucht außer KKZ nicht auch noch KZK usw.

%%\mathrm\Omega=\left\{\mathrm{KKK},\;\mathrm{KKZ},\;\mathrm{KZZ},\;\mathrm{ZZZ}\right\}%%

Gib die Mächtigkeit des Ergebnisraumes an, indem du die Möglichkeiten zählst.

%%\left|\mathrm\Omega\right|=4%%

 

Jemand hat drei Lose gekauft. Sie werden in Treffer (T) und Niete (N) unterschieden. Wie lautet der Ergebnisraum  %%\Omega%% , wenn

die drei Lose unterscheidbar sind,

Gib alle möglichen Kombinationen bei drei Losen an. Jedes Los kann entweder Niete (N) oder Treffer (T) sein. Beachte dabei nach Aufgabestellung die Reihenfolge.

%%\mathrm\Omega=\left\{\left(\mathrm T,\mathrm T,\mathrm T\right);\left(\mathrm T,\mathrm T,\mathrm N\right);\left(\mathrm T,\mathrm N,\mathrm T\right);\left(\mathrm N,\mathrm T,\mathrm T\right);\left(\mathrm T,\mathrm N,\mathrm N\right);\left(\mathrm N,\mathrm T,\mathrm N\right);\left(\mathrm N,\mathrm N,\mathrm T\right);\left(\mathrm N,\mathrm N,\mathrm N\right)\right\}%%

die drei Lose nicht unterschieden werden?

Gib alle möglichen Kombinationen bei drei Losen an. Jedes Los kann entweder Niete (N) oder Treffer (T) sein. Beachte, dass hier die Reihenfolge keine Rolle spielt.

%%\Omega=\left\{\left(\mathrm T,\mathrm T,\mathrm T\right);\left(\mathrm T,\mathrm T,\mathrm N\right);\left(\mathrm N,\mathrm N,\mathrm T\right);\left(\mathrm N,\mathrm N,\mathrm N\right)\right\}%%

In den Spielregeln für ein Würfelspiel steht: „Man werfe beide Würfel und bilde aus den beiden oben liegenden Augenzahlen die größtmögliche Zahl.“ (Beispiel: Bei den Augenzahlen „2“ und „4“ ist das die Zahl „42“.)

Gib folgende Ereignisse in Mengenschreibweise an:
A: Die gebildete Zahl besteht aus zwei gleichen Ziffern.
B: Die Zahl enthält mindestens eine 4.
C: Die Einerziffer ist halb so groß wie die Zehnerziffer.
D: Die Zahl ist größer als 10.
E: Die Quersumme der Zahl ist 6.
F: Die Zahl ist eine Primzahl.

Untersuche die Ereignisse A bis F auf paarweise Unvereinbarkeit.

paarweise Unvereinbarkeiten

Unter Unvereinbarkeit versteht man, dass das gleichzeitige Eintreten zweier Ereignisse (z.B %%\ A \cap B%% ) unmöglich ist.

%%\ A \cap B= \{ 44\}%%

%%\ A \cap C= \{\}%%

%%\ A \cap D= \{11; 22; 33; 44; 55; 66\}%%

%%\ A \cap E= \{33\}%%

%%\ A \cap F= \{11\}%%

%%\ B \cap C= \{42\}%%

%%\ B \cap D= \{41; 42; 43; 44; 54; 64\}%%

%%\ B \cap E= \{42\}%%

%%\ B \cap F= \{41; 43\}%%

%%\ C \cap D= \{21; 42; 63\}%%

%%\ C \cap E= \{42\}%%

%%\ C \cap F= \{\}%%

%%\ D \cap E= \{33; 42; 51\}%%

%%\ D \cap F= \{11; 31; 41; 43; 53; 61\}%%

%%\ E \cap F= \{\}%%

Paarweise Unvereinbarkeiten sind also bei: %%\ A \cap C%%, %%\ C \cap F%%, %%\ E \cap F%%

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