Quotientenregel und Potenzgesetze

Es gibt zwei verschiedene Wege, die Ableitung von $f(x)$ zu bestimmen.

Variante 1

Bei der ersten Möglichkeit nutzt du die Quotientenregel.

$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =\frac{x\cdot 0-1\cdot 1}{x^2}\\ & =-\frac{1}{x^2}\end{array}$

Vereinfache nun den Zähler.

Variante 2

Bei der zweiten Möglichkeit nutzt du zunächst das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um den Funktionsterm umzuformen.

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}=x^{-1}$

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =-1\cdot x^{-2}\\ & =-\frac{1}{x^2}\end{array}$

Zuletzt kannst du den Term wieder als Quotienten schreiben.

Beide Varianten liefern das Endergebnis $-x^{-2}$ bzw. $-\frac{1}{x^2}$.

Tipp: Löse die Aufgabe mit Hilfe der Kettenregel.

Ableiten einer Wurzelfunktion

Die Ableitung von $g(x)$ bestimmst du mithilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen und der Kettenregel.

$g^{\prime }(x)=(\sqrt{2x+1}{)}^{\prime }$

Verwende das Potenzgesetz zu Einheitsbrüchen im Exponenten.

$\phantom{g^{\prime }(x)}=((2x+1{)}^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }$

Leite mit der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen und der Kettenregel ab.

$\phantom{g^{\prime }(x)}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (2x+1{)}^{-\frac{1}{2}}\cdot 2$

Kürze mit 2.

$\phantom{g^{\prime }(x)}=(2x+1{)}^{-\frac{1}{2}}$

Verwende das Potenzgesetz zu negativen Exponenten.

$\phantom{g^{\prime }(x)}={\displaystyle \frac{1}{(2x+1{)}^{\frac{1}{2}}}}$

Verwende das Potenzgesetz zu Einheitsbrüchen im Exponenten.

$\phantom{g^{\prime }(x)}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x+1}}}$

Die gesuchte Funktion ist also $g^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x+1}}}$.

Tipp: Bilde die Kompositionen bzw. Verkettungen der Funktionen $f(x)$ und $g(x)$.

Wenn du nicht genau weißt, was eine Komposition (oder Verkettung) von Funktionen ist, dann schau doch hier nach.

Kompositionen von Funktionen

Um die erste der beiden Kompositionen der Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ zu erhalten, musst du $g(x)$ in $f(x)$ einsetzen.

$(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{2x+1})={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x+1}}}$

Die andere Komposition der Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ erhältst du, wenn du $f(x)$ in $g(x)$ einsetzt.

$(g\circ f)(x)=g(f(x))=g\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)=\sqrt{2\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}+1}$

Ergänzung

Man sieht, dass sich die Ergebnisse unterscheiden: ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x+1}}}\ne \sqrt{2\cdot \frac{1}{x}+1}$.

Es kommt also bei der Verkettung von Funktionen auf die Reihenfolge an!

Tipp: Nutze für $f(g(x))$ zuerst die Quotientenregel und dann die Kettenregel und für $g(f(x))$ erst die Kettenregel und dann die Quotientenregel.

Teil 1

Wende die Quotientenregel auf $\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$ und dabei die Kettenregel auf $\sqrt{2x+1}$ an, um die Ableitung zu bestimmen.

$f(g(x){)}^{\prime }={\displaystyle \frac{\sqrt{2x+1}\cdot 0-1\cdot \frac{1}{2}\cdot (2x+1{)}^{-\frac{1}{2}}\cdot 2}{2x+1}}$

Vereinfache nun den Zähler.

$\phantom{f(g(x){)}^{\prime }}={\displaystyle \frac{-(2x+1{)}^{-\frac{1}{2}}}{2x+1}}$

Verwende das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um $(2x+1)$ in den Nenner zu schreiben.

$\phantom{f(g(x){)}^{\prime }}={\displaystyle \frac{-1}{(2x+1)(2x+1{)}^{\frac{1}{2}}}}$

Verwende das Potenzgesetz zur Multiplikation bei gleicher Basis.

$\phantom{f(g(x){)}^{\prime }}={\displaystyle \frac{-1}{(2x+1{)}^{1+\frac{1}{2}}}}$

Addiere $1$ und $\frac{1}{2}$ im Exponenten.

$\phantom{f(g(x){)}^{\prime }}=-{\displaystyle \frac{1}{(2x+1{)}^{\frac{3}{2}}}}$

Teil 2

Wende hier die Kettenregel auf $\sqrt{\frac{2}{x}+1}$ und dabei die Quotientenregel auf $\frac{2}{x}$ an, um die Ableitung zu bestimmen.

$g(f(x){)}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {({\displaystyle \frac{2}{x}}+1)}^{-\frac{1}{2}}\cdot (-{\displaystyle \frac{2}{x^2}})$

Kürze die $2$.

$\phantom{g(f(x){)}^{\prime }}={({\displaystyle \frac{2}{x}}+1)}^{-\frac{1}{2}}\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{x^2}})$

Verwende das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um $({\displaystyle \frac{2}{x}}+1)$ in den Nenner zu schreiben.

$\phantom{g(f(x){)}^{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{(\frac{2}{x}+1{)}^{\frac{1}{2}}}}\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{x^2}})$

Verwende das Potenzgesetz zu Einheitsbrüchen im Exponenten.

$\phantom{g(f(x){)}^{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{x}+1}}}\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{x^2}})$

$\phantom{g(f(x){)}^{\prime }}=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{x}+1}\cdot x^2}}$

Fasse beide Faktoren zu einem Bruch zusammen.

Die gesuchten Funktionen sind $g(f(x){)}^{\prime }=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{x}+1}\cdot x^2}}$ und $f(g(x){)}^{\prime }=-{\displaystyle \frac{1}{(2x+1{)}^{\frac{3}{2}}}}$

Du hast eine weitere Variante gefunden diese Aufgabe zu lösen? Dann schreib uns gerne in die Kommentare oder füge deine Variante der Lösung hinzu.

Tipp: Deine Ergebnisse aus Teilaufgabe a) und b) können dir hier helfen.

Kettenregel

Teil 1

Um die Ableitung von $f(g(x))$ zu bestimmen, wendest du die Kettenregel an.

$f(g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$

Setze $f^{\prime }(x)$ und $g^{\prime }(x)$ ein.

$\phantom{f(g(x){)}^{\prime }}=-{\displaystyle \frac{1}{(g(x){)}^2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x+1}}}$

Setze $g(x)$ ein.

$\phantom{f(g(x){)}^{\prime }}=-{\displaystyle \frac{1}{(\sqrt{2x+1}{)}^2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x+1}}}$

Fasse beide Faktoren zu einem Bruch zusammen und vereinfache.

$\phantom{f(g(x){)}^{\prime }}=-{\displaystyle \frac{1}{(2x+1)\cdot \sqrt{2x+1}}}$

Verwende die Potenzgesetze.

$\phantom{f(g(x){)}^{\prime }}=-{\displaystyle \frac{1}{(2x+1{)}^{\frac{3}{2}}}}$

Teil 2

Um die Ableitung von $g(f(x))$ zu bestimmen, wendest du ebenfalls die Kettenregel an.

$g(f(x){)}^{\prime }=g^{\prime }(f(x))\cdot f^{\prime }(x)$

Setze $g^{\prime }(x)$ und $f^{\prime }(x)$ ein.

$\phantom{g(f(x){)}^{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\cdot f(x)+1}}}\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{x^2}})$

Setze $f(x)$ ein.

$\phantom{g(f(x){)}^{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{x}+1}}}\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{x^2}})$

Fasse beide Faktoren zu einem Bruch zusammen.

$\phantom{g(f(x){)}^{\prime }}=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{x}+1}\cdot x^2}}$

Die gesuchten Funktionen sind also $g(f(x){)}^{\prime }=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{x}+1}\cdot x^2}}$ und $f(g(x){)}^{\prime }=-{\displaystyle \frac{1}{(2x+1{)}^{\frac{3}{2}}}}$