Gegeben sind die Funktionen %%f(x)=\frac{1}{x}%% und %%g(x)=\sqrt{2 x+1}%%.

Leite %%f(x)%% auf zwei verschiedene Arten ab.

Quotientenregel und Potenzgesetze

Es gibt zwei verschiedene Wege, die Ableitung von %%f(x)%% zu bestimmen.

Variante 1

Bei der ersten Möglichkeit nutzt du die Quotientenregel.

%%\begin{align} f'(x) &= \frac{x \cdot 0 - 1 \cdot 1}{x^2} \\ &=-\frac{1}{x^2} \end{align}%%

Vereinfache nun den Zähler.

Variante 2

Bei der zweiten Möglichkeit nutzt du zunächst das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um den Funktionsterm umzuformen.

%%f(x)=\dfrac{1}{x}=x^{-1}%%

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

%%\begin{align}f'(x) &= -1 \cdot x^{-2} \\ &= -\frac{1}{x^2}\end{align}%%

Zuletzt kannst du den Term wieder als Quotienten schreiben.

Beide Varianten liefern das Endergebnis %%-x^{-2}%% bzw. %%-\frac{1}{x^2}%%.

Bestimme die Ableitung der Funktion %%g(x)%%.

Ableiten einer Wurzelfunktion

Die Ableitung von %%g(x)%% bestimmst du mithilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen und der Kettenregel.

%%g'(x) = (\sqrt{2x+1})'%%

Verwende das Potenzgesetz zu Einheitsbrüchen im Exponenten.

%%\phantom{g'(x)} = ((2x+1)^{\frac{1}{2}})'%%

%%\phantom{g'(x)}=\dfrac{1}{2} \cdot (2x+1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2%%

Kürze mit 2.

%%\phantom{g'(x)}=(2x+1)^{-\frac{1}{2}}%%

Verwende das Potenzgesetz zu negativen Exponenten.

%%\phantom{g'(x)}=\dfrac{1}{(2x+1)^{\frac{1}{2}}}%%

Verwende das Potenzgesetz zu Einheitsbrüchen im Exponenten.

%%\phantom{g'(x)}=\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}%%

Die gesuchte Funktion ist also %%g'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}%%.

Bilde die Kompositionen bzw. Verkettungen der Funktionen %%f(x)%% und %%g(x)%%.

Kompositionen von Funktionen

Um die erste der beiden Kompositionen der Funktionen %%f(x)%% und %%g(x)%% zu erhalten, musst du %%g(x)%% in %%f(x)%% einsetzen.

%%(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(\sqrt{2 x+1}) = \dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}%%

Die andere Komposition der Funktionen %%f(x)%% und %%g(x)%% erhältst du, wenn du %%f(x)%% in %%g(x)%% einsetzt.

%%(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g\left(\dfrac{1}x \right) = \sqrt{2 \cdot \dfrac{1}{x}+1}%%

Ergänzung

Man sieht, dass sich die Ergebnisse unterscheiden: %%\frac{1}{\sqrt{2x+1}} \neq \sqrt{2\cdot\frac{1}{x}+1}%%.

Es kommt also bei der Verkettung von Funktionen auf die Reihenfolge an!

Leite die Kompositionen aus Teilaufgabe c) ab.

Zwischenergebnis von Teilaufgabe c)

%%f(g(x))=\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}%% und %%g(f(x))=\sqrt{\dfrac{2}{x}+1}%%

Teil 1

Wende die Quotientenregel auf %%\frac{1}{\sqrt{2x+1}}%% und dabei die Kettenregel auf %%\sqrt{2x+1}%% an, um die Ableitung zu bestimmen.

%%f(g(x))'= \dfrac{\sqrt{2x+1}\cdot0-1\cdot\frac12\cdot (2x+1)^{-\frac12}\cdot2}{2x+1}%%

Vereinfache nun den Zähler.

%%\phantom{f(g(x))'}= \dfrac{-(2x+1)^{-\frac12}}{2x+1}%%

Verwende das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um %%(2x+1)%% in den Nenner zu schreiben.

%%\phantom{f(g(x))'}= \dfrac{-1}{(2x+1)(2x+1)^{\frac{1}{2}}}%%

Verwende das Potenzgesetz zur Multiplikation bei gleicher Basis.

%%\phantom{f(g(x))'}= \dfrac{-1}{(2x+1)^{1+\frac{1}{2}}}%%

Addiere %%1%% und %%\frac{1}{2}%% im Exponenten.

%%\phantom{f(g(x))'} = - \dfrac{1}{(2x+1)^{\frac{3}{2}}}%%

Teil 2

Wende hier die Kettenregel auf %%\sqrt{\frac{2}{x}+1}%% und dabei die Quotientenregel auf %%\frac{2}{x}%% an, um die Ableitung zu bestimmen.

%%g(f(x))'=\dfrac{1}{\color{#FF6600} {2}}\cdot \left(\dfrac{2}{x}+1\right)^{-\frac12} \cdot \left(-\dfrac{\color{#FF6600} {2}}{x^2}\right)%%

Kürze die %%\color{#FF6600} {2}%%.

%%\phantom{g(f(x))'}=\left(\dfrac{2}{x}+1\right)^{-\frac12} \cdot \left(-\dfrac{1}{x^2}\right)%%

Verwende das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um %%\left(\dfrac{2}{x}+1\right)%% in den Nenner zu schreiben.

%%\phantom{g(f(x))'}=\dfrac1{(\frac{2}{x}+1)^{\frac{1}{2}}}\cdot\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)%%

Verwende das Potenzgesetz zu Einheitsbrüchen im Exponenten.

%%\phantom{g(f(x))'}=\dfrac1{\sqrt{\frac{2}{x}+1}}\cdot\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)%%

%%\phantom{g(f(x))'}= -\dfrac{1}{\sqrt{\frac{2}{x}+1} \cdot x^2}%%

Fasse beide Faktoren zu einem Bruch zusammen.

Die gesuchten Funktionen sind %%g(f(x))'= -\dfrac{1}{\sqrt{\frac{2}{x}+1} \cdot x^2}%% und %%f(g(x))' = - \dfrac{1}{(2x+1)^{\frac{3}{2}}}%%

Du hast eine weitere Variante gefunden diese Aufgabe zu lösen? Dann schreib uns gerne in die Kommentare oder füge deine Variante der Lösung hinzu.

Leite die Kompositionen aus Teilaufgabe c) ohne Anwendung der Quotientenregel ab.

Kettenregel

Teil 1

Um die Ableitung von %%f(g(x))%% zu bestimmen, wendest du die Kettenregel an.

%%f(g(x))'= f'(g(x)) \cdot g'(x)%%

Setze %%f'(x)%% und %%g'(x)%% ein.

%%\phantom{f(g(x))'}= -\dfrac{1}{(g(x))^2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}%%

Setze %%g(x)%% ein.

%%\phantom{f(g(x))'}= -\dfrac{1}{(\sqrt{2x+1})^2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}%%

Fasse beide Faktoren zu einem Bruch zusammen und vereinfache.

%%\phantom{f(g(x))'}= -\dfrac{1}{(2x+1) \cdot \sqrt{2x+1}}%%

Verwende die Potenzgesetze.

%%\phantom{f(g(x))'} = - \dfrac{1}{(2x+1)^{\frac{3}{2}}}%%

Teil 2

Um die Ableitung von %%g(f(x))%% zu bestimmen, wendest du ebenfalls die Kettenregel an.

%%g(f(x))' = g'(f(x)) \cdot f'(x)%%

Setze %%g'(x)%% und %%f'(x)%% ein.

%%\phantom{g(f(x))'} = \dfrac{1}{\sqrt{2 \cdot f(x)+1}} \cdot \left( -\dfrac{1}{x^2} \right)%%

Setze %%f(x)%% ein.

%%\phantom{g(f(x))'} = \dfrac{1}{\sqrt{\frac{2}{x}+1}} \cdot \left( -\dfrac{1}{x^2} \right)%%

Fasse beide Faktoren zu einem Bruch zusammen.

%%\phantom{g(f(x))'}= -\dfrac{1}{\sqrt{\frac{2}{x}+1} \cdot x^2}%%

Die gesuchten Funktionen sind also %%g(f(x))'= -\dfrac{1}{\sqrt{\frac{2}{x}+1} \cdot x^2}%% und %%f(g(x))' = - \dfrac{1}{(2x+1)^{\frac{3}{2}}}%%