Aufgaben

Bestimme bei folgenden Funktionen die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

%%f(x)=(x-2)^2-1%%

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Um die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen zu berechnen, wird eine der Variablen in der Funktion (%%x%%, %%y%%) gleich %%0%% gesetzt.

Schnittpunkte mit der x-Achse

Die Schnittpunkte mit der %%x%%-Achse sind die Nullstellen der Funktion. Man erhält sie, indem man die Funktion bzw. den %%y%%-Wert gleich Null setzt.

%%\begin{array}{rcl} f(x)=(x-2)^2-1&=&0&|+1\\ (x-2)^2&=&1&|\sqrt{}\\ x_{1,2}-2&=&\pm1&|+2\\ x_{1,2}&=&\pm1+2\\ x_{1}&=&1\\ x_{2}&=&3 \end{array}%%

Die Schnittpunkte mit der %%x%%-Achse liegen bei %%A(1\vert0)%% und %%B(3\vert0)%%.

Schnittpunkt mit der y-Achse

Um den Schnittpunkt mit der %%y%%-Achse zu ermitteln, muss für den %%x%%-Wert %%0%% eingesetzt werden.

%%f(0)=(0-2)^2-1%%

%%\phantom{f(0)}=(-2)^2-1%%

%%\phantom{f(0)}=4-1=3%%

Der Schnittpunkt mit der %%y%%-Achse liegt bei %%C(0\vert3)%%.

%%\;%%

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

%%g(x)=x^3+2x^2-3x%%

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Um die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen zu berechnen, wird eine der Variablen in der Funktion (%%x%%, %%y%%) gleich %%0%% gesetzt.

Schnittpunkte mit der x-Achse

Die Schnittpunkte mit der %%x%%-Achse sind die Nullstellen der Funktion. Man erhält sie, indem man die Funktion bzw. den %%y%%-Wert gleich Null setzt.

%%g(x)=x^3+2x^2-3x=0%%

Kleinste Potenz von %%x%% ausklammern.

%%0=x\cdot(x^2+2x-3)%%

Ein Produkt wir dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.

%%\Rightarrow x_1=0%%

Setze die Klammer gleich Null.

%%x^2+2x-3=0%%

%%\displaystyle x_{2,3}=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot 1}%%

%%\displaystyle \phantom{x_{2,3}}=\frac{-2\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{-2\pm4}{2}%%

%%x_2=\dfrac{2}{2}=1%%

%%x_3=\dfrac{-6}{2}=-3%%

Die Schnittpunkte mit der %%x%%-Achse liegen bei %%A(-3\vert0)%% und %%B(0\vert0)%% und %%C(1\vert0)%%.

Schnittpunkt mit der y-Achse

Um den Schnittpunkt mit der %%y%%-Achse zu ermitteln, muss für den %%x%%-Wert %%0%% eingesetzt werden.

%%g(0)=0^3+2\cdot0^2-3\cdot0%%

%%\phantom{g(0)}=0+0-0=0%%

Der Schnittpunkt mit der %%y%%-Achse liegt bei %%B(0\vert0)%%.

%%\;%%

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

%%h(x)=0{,}5x^4-8%%

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Um die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen zu berechnen, wird eine der Variablen in der Funktion (%%x%%, %%y%%) gleich %%0%% gesetzt.

Schnittpunkte mit der x-Achse

Die Schnittpunkte mit der %%x%%-Achse sind die Nullstellen der Funktion. Man erhält sie, indem man die Funktion bzw. den %%y%%-Wert gleich Null setzt.

%%\begin{array}{rcl} h(x)=0{,}5x^4-8&=&0&|+8\\ 0{,}5x^4&=&8&|\cdot2\\ x^4&=&16&|\sqrt[4]{}\\ x_{1,2}&=&\pm2\\ x_{1}&=&-2\\ x_{2}&=&2 \end{array}%%

Die Schnittpunkte mit der %%x%%-Achse liegen bei %%A(-2\vert0)%% und %%B(2\vert0)%%.

Schnittpunkt mit der y-Achse

Um den Schnittpunkt mit der %%y%%-Achse zu ermitteln, muss für den %%x%%-Wert %%0%% eingesetzt werden.

%%h(0)=0{,}5\cdot0^4-8%%

%%\phantom{h(0)}=0-8=-8%%

Der Schnittpunkt mit der %%y%%-Achse liegt bei %%C(0\vert-8)%%.

%%\;%%

Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen

Berechne die Schnittpunkte der gegebenen Funktionspaare:
f(x)=14x2+11,9x+6,7f(x)=\frac14x^2+11,9x+6,7 und g(x)=11,75x+10,48g(x)=11,75x+10,48

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte berechnen

Um die Schnittpunkte zu berechnen, musst du zuerst die y-Werte gleich setzten und alles auf eine Seite bringen.
f(x)=g(x)f(x)=g(x)
14x2+11,9x+6,7=11,75x+10,48\frac14x^2+11,9x+6,7=11,75x+10,48 11,75x\left|-11,75x\right.
14x2+0,15x+6,7=10,48\frac14x^2+0,15x+6,7=10,48 10,48\left|-10,48\right.
14x2+0,15x3,78=0\frac14x^2+0,15x-3,78=0
Nun haben wir so aufgelöst, dass auf der einen Seite nur noch die Null steht. Jetzt kann man die Mitternachtsformel anwenden.
x1,2=0,15±0,152414(3,78)214=0,15±1,950,5\displaystyle x_{1,2}=\frac{-0,15\pm\sqrt{0,15^2-4\cdot{\displaystyle\frac14}\cdot(-3,78)}}{2\cdot{\displaystyle\frac14}}=\frac{-0,15\pm1,95}{0,5}
Somit ergeben sich die zwei x-Koordinaten: x1=3,6x_1=3,6 und x2=4,2x_2=-4,2
Diese Werte muss man nun noch in eine der beiden Ausgangsfunktionen einsetzen.
x1:\begin{array}{l}x_1:\\\end{array}
g(3,6)=11,753,6+10,48=52,78g(3,6)=11,75\cdot3,6+10,48=52,78
=>  S1(3,6/52,78)=>\;S_1(3,6/52,78)
x2:\begin{array}{l}x_2:\\\end{array}
g(4,2)=11,75(4,2)+10,48=38,87g(-4,2)=11,75\cdot(-4,2)+10,48=-38,87
=>S2(4,2/38,87)=>S_2(-4,2/-38,87)
Somit hat man die beiden Schnittpunkte der Funktionen: S1(3,652,78)S_1(3,6\vert52,78) und S2(4,238,87)S_2(-4,2|-38,87).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte berechnen

Um die Schnittpunkte zu berechnen, musst du zuerst die y-Werte gleich setzten und alles auf eine Seite bringen.
t(x)=h(x)t(x)=h(x)
x2+3x+14=2,5x+8x^2+3x+14=-2,5x+8 +2,5x\left|+2,5x\right.
x2+5,5x+14=8x^2+5,5x+14=8 8\left|-8\right.
x2+5,5x+6=0x^2+5,5x+6=0
Nun haben wir soweit aufgelöst, dass auf der einen Seite nur noch die Null steht. Jetzt kann man die Mitternachtsformel anwenden.
x1,2=5,5±5,5241621=5,5±2,52\displaystyle x_{1,2}=\frac{-5,5\pm\sqrt{5,5^2-4\cdot1\cdot6}}{2\cdot1}=\frac{-5,5\pm2,5}{2}
Somit ergeben sich zwei x-Koordinaten: x1=1,5x_1=-1,5 und x2=4x_2=-4
Diese Werte muss man nur noch in eine der beiden Ausgangsfunktionen einsetzen.
x1:x_1:
h(1,5)=2,5(1,5)+8=11,75h(-1,5)=-2,5\cdot(-1,5)+8=11,75
=>S1(1,511,75)=>S_1(-1,5\vert11,75)
x2:x_2:
h(4)=2,5(4)+8=18h(-4)=-2,5\cdot(-4)+8=18
=>S2(418)=>S_2(-4\vert 18)
Somit hat man die Schnittpunkte der beiden Funktionen: S1(1,511,75)S_1(-1,5\vert11,75) und S2(418)S_2(-4\vert18).
e(x)=14x2+2x4,36e(x)=\frac14x^2+2x-4,36 und h(x)=1,2x+4h(x)=1,2x+4

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte berechnen

Um die Schnittpunkte zu berechnen, musst du zuerst die yy-Werte gleich setzten und alles auf eine Seite bringen:
e(x)=h(x)14x2+2x4,36=1,2x+41,2x14x2+0,8x4,36=4414x2+0,8x8,36=0\begin{array}{cccc} e\left(x\right)&=& h\left(x\right)&\\\frac14x^2+2x-4,36&=& 1,2x+4&\vert-1,2x\\\frac14x^2+0,8x-4,36&=&4&\vert- 4\\ \frac14x^2+0,8x-8,36&=&0&\end{array}
Jetzt lassen sich die Nullstellen mit der Mitternachtsformel bestimmen.
x1,2=0,8±0,82414(8,36)214=0,8±312\displaystyle x_{1,2}=\frac{-0,8\pm \sqrt{0,8^2-4\cdot\frac14\cdot(-8,36)}}{2\cdot\frac14}=\frac{-0,8\pm3}{\frac12}
x1=4,4;x2=7,6\displaystyle\Rightarrow x_1=4,4; x_2=-7,6
Einsetzen dieser zwei xx-Werte in eine der Funktionen liefert die zugehörigenyy-Werte und damit die Schnittpunkte A und B:
h(4,4)=9,28A(4,49,28)h(7,6)=5,24B(7,65,24)\begin{array}{cccl}\mathrm h\left(4,4\right)&=&9,28&\Rightarrow\mathrm A\left(4,4\,|\,9,28\right)\\\mathrm h\left(-7,6\right)&=&-5,24&\Rightarrow\mathrm B\left(-7,6\,|\,-5,24\right)\end{array}
m(x)=94x26,25x9,2m(x)=\frac94x^2-6,25x-9,2 und n(x)=1,3x2n(x)=-1,3x-2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte berechnen

Um die Schnittpunkte zu berechnen, musst du zuerst die yy-Werte gleich setzten und alles auf eine Seite bringen:
m(x)=n(x)94x26,25x9,2=1,3x2+294x26,25x7,2=1,3x+1,3x94x24,95x7,2=0\begin{array}{cccc} m\left(x\right)&=& n\left(x\right)&\\ \frac94x^2-6,25x-9,2&=& -1,3x-2&\vert+ 2\\ \frac94x^2-6,25x-7,2&=&-1,3x&\vert+1,3x\\ \frac94x^2-4,95x-7,2&=&0&\end{array}
Jetzt lassen sich die Nullstellen mit der Mitternachtsformel bestimmen.
x1,2=4,95±(4,95)2494(7,2)294=4,95±9,4592\displaystyle x_{1,2}=\frac{4,95\pm \sqrt{(-4,95)^2-4\cdot\frac94\cdot(-7,2)}}{2\cdot\frac94}=\frac{4,95\pm9,45}{\frac92}
x1=3,2;x2=1\displaystyle\Rightarrow x_1=3,2; x_2=-1
Einsetzen dieser zwei xx-Werte in eine der Funktionen liefert die zugehörigenyy-Werte und damit die Schnittpunkte A und B:
n(3,2)=6,16A(3,26,16)n(1)=0,7B(10,7)\begin{array}{cccl}\mathrm n\left(3,2\right)&=&-6,16&\Rightarrow\mathrm A\left(3,2\,|\,-6,16\right)\\\mathrm n\left(-1\right)&=&-0,7&\Rightarrow\mathrm B\left(-1\,|\,-0,7\right)\end{array}
In dieser Aufgabe kreuzen sich jeweils zwei Parabeln. Berechne ihre Schnittpunkte.
f(x)=12x2+2x10f(x)=\frac12x^2+2x-10 und g(x)=12x2+5g(x)=-\frac12x^2+5

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte berechnen

Um die Schnittpunkte zu berechnen, musst du zuerst die y-Werte gleich setzten und alles auf eine Seite bringen.
f(x)=g(x)f(x)=g(x)
12x2+2x10=12x2+5\frac12x^2+2x-10=-\frac12x^2+5 +12x2\left|+\frac12x^2\right.
x2+2x10=5x^2+2x-10=5 5\left|-5\right.
x2+2x15=0x^2+2x-15=0
Nun haben wir so aufgelöst, dass auf der einen Seite nur noch die Null steht. Jetzt kann man jetzt die Mitternachtsformel anwenden.
x1,2=2±2241(15)21=2±82\displaystyle x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-15)}}{2\cdot1}=\frac{-2\pm8}{2}
Somit ergeben sich die beiden x-Koordinaten: x1=5x_1=-5 und x2=3x_2=3
Diese Werte muss man nur noch in eine der beiden Ausgangsfunktionen einsetzen.
x1x_1 :
g(5)=12(5)2+5=7,5g(-5)=-\frac12\cdot(-5)^2+5=-7,5
=>S1=(57,5)=>S_1=(-5\vert-7,5)
x2x_2 :
g(3)=1232+5=0,5g(3)=-\frac12\cdot3^2+5=0,5
=>S2=(30,5)=>S_2=(3\vert0,5)
Somit hat man die beiden Schnittpunkte der Funktionen S1(57,5)S_1(-5\vert-7,5) und S2(30,5)S_2(3\vert0,5).
e(x)=2x24x+1,9e(x)=2x^2-4x+1,9 und l(x)=x2+0,1x0,2l(x)=x^2+0,1x-0,2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte berechnen

Um die Schnittpunkte zu berechnen, musst du zuerst die y-Werte gleich setzten und alles auf eine Seite bringen.
e(x)=l(x)e(x)=l(x)
2x24x+1,9=x2+0,1x0,22x^2-4x+1,9=x^2+0,1x-0,2 x2\left|-x^2\right.
x24x+1,9=0,1x0,2x^2-4x+1,9=0,1x-0,2 0,1x\left|-0,1x\right.
x24,1x+1,9=0,2x^2-4,1x+1,9=-0,2 +0,2\left|+0,2\right.
x24,1x+2,1=0x^2-4,1x+2,1=0
Nun haben wir so aufgelöst, dass auf der einen Seite nur noch die Null steht. Jetzt kann man die Mitternachtsformel anwenden.
x1,2=(4,1)±(4,1)2412,121=4,1±2,92\displaystyle x_{1,2}=\frac{-(-4,1)\pm\sqrt{(-4,1)^2-4\cdot1\cdot2,1}}{2\cdot1}=\frac{4,1\pm2,9}{2}
Somit ergeben sich die zwei xx-Koordinaten:x1=3,5x_1=3,5 und x2=0,6x_2=0,6
Diese Werte muss man nun noch in eine der beiden Ausgangsfunktionen einsetzen.
x1x_1 :
l(3,5)=3,52+0,13,50,2=12,4l(3,5)=3,5^2+0,1\cdot3,5-0,2=12,4
=>  S1(3,512,4)=>\;S_1(3,5\vert12,4)
x2x_2 :
l(0,6)=0,62+0,10,60,2=0,22l(0,6)=0,6^2+0,1\cdot0,6-0,2=0,22
=>  S2(0,60,22)=>\;S_2(0,6\vert0,22)
Somit hat man die beiden Schnittpunkte der Funktionen S1(3,512,4)S_1(3,5\vert12,4) und S2(0,60,22)S_2(0,6\vert0,22).
r(x)=34x2+2x10r(x)=\frac34x^2+2x-10 und s(x)=14x2+1,5x4s(x)=\frac14x^2+1,5x-4

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte berechnen

Um die Schnittpunkte zu berechnen, musst du zuerst die yy-Werte gleich setzten und alles auf eine Seite bringen:
r(x)=s(x)34x2+2x10=14x2+1,5x4+434x2+2x6=14x2+1,5x1,5x34x2+0,5x6=14x214x224x2+0,5x6=0\begin{array}{cccc} r\left(x\right)&=& s\left(x\right)&\\\frac34x^2+2x-10&=& \frac14x^2+1,5x-4&\vert+4\\ \frac34x^2+2x-6&=&\frac14x^2+1,5x&\vert-1,5x\\\frac34x^2+0,5x-6 &=&\frac14x^2&\vert-\frac14x^2\\ \frac24x^2+0,5x-6&=&0\end{array}
Nun suchst du die Nullstellen der neuen Funktion 24x2+0,5x6\frac24x^2+0,5x-6.Da es sich hierbei um eine quadratische Funktion handelt, kann man die Nullstellen durch die Mitternachtsformel berechnen.
x1,2=0,5±0,52424(6)224=0,5±3,51\displaystyle x_{1,2}=\frac{-0,5\pm \sqrt{0,5^2-4\cdot\frac24\cdot(-6)}}{2\cdot\frac24}=\frac{-0,5\pm3,5}{1}
x1=3;x2=4\displaystyle\Rightarrow x_1=3; x_2=-4
Einsetzen dieser zwei xx-Werte in eine der Funktionen liefert die zugehörigenyy-Werte und damit die Schnittpunkte A und B:
s(3)=2,75A(32,75)s(4)=6B(46)\begin{array}{cccl}\mathrm s\left(3\right)&=&2,75&\Rightarrow\mathrm A\left(3\,|\,2,75\right)\\\mathrm s\left(-4\right)&=&-6&\Rightarrow\mathrm B\left(-4\,|\,-6\right)\end{array}
t(x)=109x243x11t(x)=\frac{10}{9}x^2-\frac43x-11 und u(x)=x22x8u(x)=x^2-2x-8

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte berechnen

Um die Schnittpunkte zu berechnen, musst du zuerst die yy-Werte gleich setzten und alles auf eine Seite bringen:
t(x)=u(x)109x243x11=x22x8+8109x243x3=x22x+2x109x2+23x3=x2x219x2+23x3=0\begin{array}{cccc} t\left(x\right)&=& u\left(x\right)&\\\frac{10}{9}x^2-\frac43x-11&=& x^2-2x-8&\vert+8\\ \frac{10}{9}x^2-\frac43x-3&=&x^2-2x&\vert+2x\\\frac{10}{9}x^2+\frac23x-3 &=&x^2&\vert-x^2\\ \frac{1}{9}x^2+\frac23x-3&=&0\end{array}
Nun suchst du die Nullstellen der neuen Funktion 19x2+23x3\frac{1}{9}x^2+\frac23x-3.Da es sich hierbei um eine quadratische Funktion handelt, kann man die Nullstellen durch die Mitternachtsformel berechnen.
x1,2=23±232419(3)219=23±4329\displaystyle x_{1,2}=\frac{-\frac23\pm \sqrt{\frac23^2-4\cdot\frac19\cdot(-3)}}{2\cdot\frac19}=\frac{-\frac23\pm\frac43}{\frac29}
x1=3;x2=9\displaystyle\Rightarrow x_1=3; x_2=-9
Einsetzen dieser zwei xx-Werte in eine der Funktionen liefert die zugehörigenyy-Werte und damit die Schnittpunkte A und B:
u(3)=5A(35)u(9)=91B(991)\begin{array}{cccl} u\left(3\right)&=&-5&\Rightarrow\mathrm A\left(3\,|\,-5\right)\\ u\left(-9\right)&=&91&\Rightarrow\mathrm B\left(-9\,|\,91\right)\end{array}
Gegeben ist die Gleichung der Geraden   g:  y=x+3g:\;y=-x+3   
und die Gleichung der ganzrationalen Funktion   f:  y=0,5x33x2+4,5xf:\;y=0,5x^3-3x^2+4,5x.

Berechne die Schnittpunkte von GfG_f und GgG_g .

Errate dazu eine Lösung der Schnittgleichung und berechne die weiteren Lösungen mit Hilfe der Polynomdivision.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision

Schnittpunkte berechnen

Die beiden Funktionen haben einen Schnittpunkt, wenn sie für einen gleichen x-Wert denselben y-Wert haben. Setze also die Funktionen ff und gg gleich. Die Funktionen lauten:
f(x)=g(x)0,5x33x2+4,5x=x+33+x0,5x33x2+5,5x3=0\begin{array}{rcl} &&&f(x)&=&g(x)&\\0,5x^3&-3x^2&+4,5x& &=&-x+3&|-3+x\\ 0,5x^3&-3x^2&+5,5x&-3&=&0\end{array}
Für Polynome vom Grad 3 musst du eine Nullstelle erraten. Alle weiteren Nullstellen lassen sich dann mit einer Polynomdivision ermitteln.
Eine Nullstelle von 0,5x33x2+5,5x30,5x^3-3x^2+5,5x-3 ist x1=1x_1=1, denn
0,513312+5,513=0,53+5,53=0\displaystyle 0,5 \cdot 1^3-3 \cdot 1^2+5,5 \cdot 1-3 = 0,5 - 3 + 5,5 -3 =0
Um den ersten Schnittpunkt von ff und gg zu bestimmen, kannst du nun x1=1x_1=1 entweder in ff oder gg einsetzen.
Einsetzen in ff ergibt:
f(1)=1+3=2f\left(1\right)=-1+3=2
Der Schnittpunkt ist dann: S1=(12)S_1=\left(1\vert2\right)

Polynomdivision

Wende nun die Polynomdivision auf folgende Gleichung an:
0,5x33x2+5,5x3=00,5x^3-3x^2+5,5x-3=0
      (0,5x33x2  +5,5x3):(x1)=0,5x22,5x+3(0,5x30,5x2)                                              2,5x2+5,5x                    (2,5x2+2,5x    )                                                                3x3                                                      (3x3)                                                                                0\begin{array}{l}\;\;\;(0,5x^3-3x^2\;+5,5x-3):(x-1)=0,5x^2-2,5x+3\\\underline{-(0,5x^3-0,5x^2)\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-2,5x^2+5,5x\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-2,5x^2+2,5x\;\;)\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3x-3\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(3x-3)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}

Verbleibende Nullstellen berechnen

Von 0,5x22,5x+30,5x^2-2,5x+3 kannst du nun noch die beiden Nullstellen bestimmen. Nutze hierfür beispielsweise die Mitternachtsformel.
0,5x22,5x+3=00,5x^2-2,5x+3=0
x2,3=2,5±(2,5)240,53(20,5)=2,5±0,251=2,5±0,51\begin{array}{rcl}\Rightarrow x_{2,3}&=&\frac{2,5\pm\sqrt{(-2,5)^2-4\cdot0,5\cdot3}}{(2\cdot0,5)}\\&=&\frac{2,5\pm\sqrt{0,25}}1\\&=&\frac{2,5\pm0,5}1\end{array}
x2=2,5+0,51=31=3x_2=\frac{2,5+0,5}1=\frac31=3
x3=2,50,51=21=2x_3=\frac{2,5-0,5}1=\frac21=2
Die Nullstellen von 0,5x33x2+5,5x30,5x^3-3x^2+5,5x-3 sind also:
x1=1;      x2=3;      x3=2;\displaystyle x_1=1;\;\;\; x_2=3;\;\;\; x_3=2;

weitere Schnittpunkte berechnen

Den zweiten und dritten Schnittpunkt von ff und gg, kannst du nun bestimmen, indem du x2=3x_2=3 und x3=2x_3=2 in ff oder gg einsetzt.
Einsetzen in ff ergibt:
  • f(3)=3+3=0S2(30)f(3)=-3 +3 = 0 \Rightarrow S_2(3|0)
  • f(2)=2+3=1S3(21)f(2)=-2+3=1 \Rightarrow S_3(2|1)

Schnittpunkte

Die Schnittpunkte der beiden Funktionen liegen bei S1(12)S_1(1\vert2), S2(30)S_2(3\vert0) und S3(21)S_3(2\vert1).
Die beiden Funktionen f(x)=3x32x2xf(x)=3x^3-2x^2-x und g(x)=4x35x2+3x12g(x)=4x^3-5x^2+3x-12 sind gegeben. Es gilt xRx \in \mathbb {R}. Berechne die Schnittpunkte von f(x)f(x) und g(x)g(x).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte von Funktionen

Tipp: Schneiden sich zwei Funktionen haben ihre xx- und yy-Koordinaten an diesem Punkt denselben Wert. Folglich muss man beide Funktionen gleichsetzen und auf eine Seite bringen, um nach xx aufzulösen.
Zuerst wird ein Schnittpunkt berechnet. Mit diesem werden anschließend die weiteren Schnittpunkte mithilfe der Polynomdivision berechnet.
f(x)=3x32x2xf(x)=3x^3-2x^2-x
g(x)=4x35x2+3x12g(x)=4x^3-5x^2+3x-12

%%\begin{array}{rcl}4x^3-5x^2+3x-12&=&3x^3-2x^2-x&|-3x^3\\x^3-5x^2+3x-12&=&-2x^2-x&|+2x^2\\x^3-3x^2+3x-12&=&-x&|+x\end{array}%%
x33x2+4x12=0x^3-3x^2+4x-12 = 0
x1=3x_1=3                         \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; durch Taschenrechner
Funktionen gleichsetzten und nach 00 auflösen.
Die so enstandene Funktion mit table im Taschenrechner berechnen und eine passende Nullstelle heraussuchen.
%%\begin{array}{l}\;\;\;(x^3-3x^2+4x-12):(x-3)=x^2+4\\\underline{-(x^3-3x^2)}\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\;\;+4x-12\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(4x-12)}\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\\\end{array}%%
Neue Funktion: x2+4x^2+4
Mit dieser Nullstelle wird die Polynomdivision gemacht.
%%\begin{array}{rcl}x^2+4&=&0&|-4\\x^2&=&-4&|\sqrt{}\\x&=&\sqrt{-4}\end{array}%%
Die neue Funktion nach xx auflösen.
Da nun unter der Wurzel eine negative Zahl steht, gibt es keine weiteren Lösungen und damit auch keine weiteren xx-Koordinaten der Schnittpunkte.
Die vorher ausgerechnete xx-Koordinate 33 ist somit die einzige Koordinate.
\Rightarrow Es gibt nur einen Schnittpunkt

Setze den xx-Wert in eine der beiden Funktionen f(x)f(x) oder g(x)g(x) ein.
y=f(3)=3332323y=f(3)=3\cdot3^3-2\cdot3^2-3
y=f(3)=81183\phantom{y=f(3)}=81-18-3
y=f(3)=60\phantom{y=f(3)}=60

Der Schnittpunkt der beiden Funktionen liegt bei A(360)A(3\vert60) .
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