Seien f und g Funktionen. Mit Komposition oder Verkettung von Funktionen wird %%(f\circ g)(x)=f(g(x))%% bezeichnet.

Eine weitere Formulierung ist "f nach g".

Beispiel:

Sei %%f(x)=x^2%% und %%g(x)=x+1%%

dann ist %%(f\circ g)(x)=f(x+1)=(x+1)^2%%

Weitere Beispiele

In diesem Video wird die Komposition bzw. die Verkettung von Funktionen anhand von 10 Beispielen erklärt.

Eigenschaften

Assoziativität

Die Komposition von Funktionen ist assoziativ. Das heißt für Funktionen f, g und h gilt:

%%(\mathrm f\circ\mathrm g)\circ\mathrm h=\mathrm f\circ(\mathrm g\circ\mathrm h)\;%%

Beweis:

%%\begin{array}{l}((f\circ g)\circ h)(x)=(f\circ g)(h(x))=f(g(h(x)))\\(f\circ(g\circ h))(x)=f(g\circ h)(x)=f(g(h(x)))\end{array}%%

Beispiel:

Sei %%f(x)=x^{3\;}%% und %%\;g(x)=x+4\;%% und %%\;h(x)=x-1%% ,

dann ist:
%%(\mathrm f\circ\mathrm g)\circ\mathrm h=(\mathrm f(x+4))\circ(x-1)=(x+4)^3\circ(x-1)=((x-1)+4)^3=(x+3)^3\;%%

%%\;\mathrm f\circ(\mathrm g\circ\mathrm h)=f\circ(g(x-1)=x^3\circ((x+4)\circ(x-1))=x^3\circ((x-1)+4)=x^3\circ(x+3)=(x+3)^3\;%%

Keine Kommutativität

Kompositionen von Funktionen sind im allgemeinen nicht kommutativ.

Als Gegenbeispiel kann %%\text{f(x)=x}^2%% und%%\;\mathrm g(\mathrm x)\;=\;\mathrm x+1%% gewählt werden:

%%(f\circ g)(x)=f(x+1)=(x+1)^2=x^2+2x+1%%       aber

%%(g\circ f)(x)=g(x^2)=x^2+1%%

offensichtlich sind %%(f\circ\;g)(x)=x^2+2x+1%% und %%(g\circ f)(x)=x^2+1%%   verschieden, also nicht kommutativ.

Ableitung einer Komposition von Funktionen: Kettenregel

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