Eine Funktion %%f%% heißt genau dann stetig an einer Stelle %%x_0%%, wenn der Funktionswert an dieser Stelle mit sowohl dem links- als auch rechtsseitigem Grenzwert identisch ist, d.h. wenn gilt:

%%f(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_{0}^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}^+}f(x)%%

Eine an allen Stellen des Definitionsbereichs stetige Funktion wird allgemein als stetig bezeichnet.

Umgekehrt nennt man eine Funktion unstetig, wenn obige Bedingung an mindestens einer Stelle ihres Definitionsbereichs nicht erfüllt ist.

Anschauliche Darstellung

Eine stetige Funktion hat die Eigenschaft, dass ihr Graph an keiner Stelle einen Sprung macht. Entsprechend besitzt eine unstetige Funktion sogenannte Unstetigkeitsstellen (z.B. Sprünge).

Please don't use injections for images. Change >[...](...) to ![...](...)
Please don't use injections for images. Change >[...](...) to ![...](...)

Epsilon-Delta-Definition der Stetigkeit

Alternative Definition von Stetigkeit

Eine Funktion %%f%% nennt man stetig im Punkt %%x%%, wenn es für jedes %%\varepsilon>0%% ein %%\delta>0%% gibt, sodass für alle %%x'\in\;\rbrack x-\delta,x+\delta\lbrack%% gilt: %%\left|f(x)-f(x')\right|<\varepsilon%%

 

Ausführliche Erläuterung der Epsilon-Delta-Definition

Der Ausdruck %%\left|f(x)-f(x')\right|%% ganz am Schluss bezeichnet den Abstand der Funktionswerte von %%x%% und %%x'%%. Wir wollen, dass stetige Funktionen folgende Eigenschaft haben: Wenn uns jemand einen Abstand %%\varepsilon%% vorgibt, können wir einen Bereich um %%x%% wählen, in dem der Abstand der Funktionswerte niemals größer als dieses %%\varepsilon%%  wird. Diesen Bereich wählen wir symmetrisch um %%x%% durch das Intervall %%\rbrack x-\delta,x+\delta\lbrack%%. Wenn wir für jedes %%\varepsilon%% so eine Delta-Umgebung von x finden können, in der die Funktionswerte den %%\varepsilon%% -Abstand einhalten, dann ist die Funktion im Punkt %%x%% stetig.

Kommentieren Kommentare

Zu article Stetigkeit: Youtube links
Tinsaye 2015-10-19 16:58:42
Erstens nehmen wir ja ungern nicht freie lizensierte Videos. Es gibt sicher einige gute freie videos über stetigkeit.
Vor allem aber kommt da bei mir keine Weiterleitung sondern ein Download-Fenster ! Und wenn wir nur links Einfügen dann in den relatede content damit...
Renate 2015-10-19 21:33:04
Soweit ich es erinnere, sollten diese Videos eigentlich alle entfernt worden sein; anscheinend ist das in diesem Artikel übersehen worden.
Ich habe die Links jetzt gelöscht und archiviere die Diskussion dann.